2024-2025学年内蒙古锡林郭勒盟三县联考八年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年内蒙古锡林郭勒盟三县联考八年级（下）期中数学试卷，文件包含数学试题卷答案pdf、数学试题卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
1．（3分）代数式a−1在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．a＝1D．a＞0
2．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则△ABE的面积为（ ）
A．10B．9C．8D．7
3．（3分）下列三边组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝4，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝8，b＝6，c＝10D．a＝5，b＝12，c＝13
4．（3分）若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ）
A．82B．15
C．82或37D．以上都不对
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6；D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，连接AD、EF，有下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S△DEF=14S△ABC，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①②③D．①③④⑤
7．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，AB＝4．按下列步骤作图：
（1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D；
（2）作射线AD，并在射线AD上截取DE＝AD；
（3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF．则BF的长为（ ）
A．32B．23C．7D．27
8．（3分）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小B．一直减小后增大
C．一直不变D．先增大后减小
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9．（3分）在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为 cm2．
10．（3分）已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝8，CD＝10，则这个四边形的面积是 ．
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为CD上的一点，且DE＝5，F为AE的中点，若△DEF的周长为30，则OF的长为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，AD平分∠BAC，连接CD，把△ADC沿CD折叠，AC落在CE处，交AB于F，恰有CE⊥AB．若BC＝14，AD＝17，则EF＝ ．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．（6分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
14．（5分）计算：|12−3|−(−14)−1+(3−1)2．
15．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝10．AD＝8，AC⊥BC，AC，BD相交于点O．
（1）求CD，OC的长；
（2）求▱ABCD面积．
16．（13分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．
（1）当t＝3秒时，求△BPA的面积；
（2）若AP平分∠CAB，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
17．（12分）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是 （用a，b表示）．
（2）已知：两数x，y满足x+y＝14，xy＝24，求x﹣y的值．
（3）如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是 ．（用a，b，c表示，结果化到最简）
18．（18分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．
例如：如图1，在三角形ABC中，如果AD是AB边上的中线，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，则有S△ACD＝S△ABD．
应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：三角形AOE和三角形AOB是“朋友三角形”．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，AD＝DC＝8，BC＝12，点G在BC上，点E在AD上，DG与CE交于点F，GF＝DF．
①求证：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；
②连接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四边形ABGF的面积．
（3）在三角形ABC中，∠B＝30°，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于三角形ABC面积的14，则三角形ABC的面积是 （请直接写出答案）．
2024-2025学年内蒙古锡林郭勒盟三县联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一项符合题目要求）
1．（3分）代数式a−1在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．a＝1D．a＞0
【答案】A
【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可．
【解答】解：根据题意得a﹣1≥0，
解得a≥1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则△ABE的面积为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】根据折叠得到BE＝EF＝3，AB＝AF∠EFA＝∠EFC＝90°，结合AD＝8得到CE＝8﹣3＝5，即可求出CF，结合勾股定理即可求出AB，即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
∵折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，∠EFA＝∠EFC＝∠B＝90°，
∵AD＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，
∴CF=52−32=4，
在Rt△ABC中，
AB2+82＝（4+AF）2＝（4+AB）2，
解得：AB＝6，
∴S△ABE=12×3×6=9，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的应用，矩形的折叠，解题的关键是根据等积法求出△BCF的高．
3．（3分）下列三边组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝4，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝8，b＝6，c＝10D．a＝5，b＝12，c＝13
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否组成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段组成的三角形是直角三角形；
B、22+32≠42，故选项B中的三条线段组成的三角形不是直角三角形；
C、82+62＝102，故选项C中的三条线段组成的三角形是直角三角形；
D、122+52＝132，故选项D中的三条线段组成的三角形是直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4．（3分）若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ）
A．82B．15
C．82或37D．以上都不对
【答案】C
【分析】分腰长为4和腰长为6两种情况，进行讨论求解．
【解答】解：由题意得，当腰为4时，则第三边也为腰，为4，
此时6＜4+4＝8．
故以4，4，6可构成三角形，
如图1，
AB＝AC＝4，BC＝6，AD⊥BC，
则BD=12BC=3，
∴AD=42−32=7，
∴三角形的面积=12×6×7=37；
当腰为6时，则第三边也为腰，为6，
此时6＜4+6，故以4，6，6可构成三角形，
如图2，
AB＝AC＝6，BC＝4，AD⊥BC，
则BD=12BC=2，
∴AD=62−22=42，
则三角形的面积=12×4×42=82，
综上所述，三角形的面积为82或37，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质．勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键，注意分类讨论．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6；D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为P，首先证明CD＝DP，BC＝BP＝6，设CD＝PD＝x，在Rt△ADP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作AB的垂线，垂足为P，
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠PBD，
在△BDC和△BDP中，
∠CBD=∠PBD∠C=∠BPD=90°BD=BD，
∴△BDC≌△BDP（AAS），
∴BC＝BP＝6，CD＝PD，
设CD＝PD＝x，
在Rt△ADP中，PA＝AB﹣BP＝4，AD＝8﹣x，
由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴AD＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，连接AD、EF，有下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S△DEF=14S△ABC，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①②③D．①③④⑤
【答案】C
【分析】由AB＝AC得∠C＝∠B＝45°，则∠BAC＝90°，因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠EAD＝∠DAF＝45°，所以∠EAD＝∠C，∠B＝∠DAF，由∠EDF＝90°，推导出∠ADE＝∠CDF，∠BDE＝∠ADF，可证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF，AE＝CF，可判断①正确，②正确；再根据“ASA”证明△BDE≌△ADF，得BE＝AF，可判断③正确；由AF+AE≥EF，得BE+CF≥EF，可判断④错误；作DH⊥AB于点H，则AB＝2DH，所以S△ABC=12AB2＝2DH2，因为S△DEF=12DE•DF=12DE2，且DE≥DH，所以12DE2≥12DH2，即12DE2≥14×（2DH2），可知S△DEF≥14S△ABC，可判断⑤错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠C＝∠B＝45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD=12BC，∠EAD＝∠DAF=12∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠EAD＝∠C，∠B＝∠DAF，
∵直角∠MDN的两边DM、DN分别与边AB、AC交于点E、F，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°﹣∠ADF，∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDFAD=CD∠EAD=∠C，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，AE＝CF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确，②正确；
在△BDE和△ADF中，
∠BDE=∠ADFBD=AD∠B=∠DAF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
故③正确；
∴BE＝AF，
∵AF+AE≥EF，
∴BE+CF≥EF，
故④错误；
作DH⊥AB于点H，则DH＝AH＝BH=12AB，
∴AB＝2DH，
∴S△ABC=12AB•AC=12AB2=12×（2DH）2＝2DH2，
∵S△DEF=12DE•DF=12DE2，且DE≥DH，
∴12DE2≥12DH2，即12DE2≥14×（2DH2），
∴S△DEF≥14S△ABC，
故⑤错误，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、垂线段最短等知识，证明△ADE≌△CDF是解题的关键．
7．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，AB＝4．按下列步骤作图：
（1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D；
（2）作射线AD，并在射线AD上截取DE＝AD；
（3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF．则BF的长为（ ）
A．32B．23C．7D．27
【答案】C
【分析】如图，连接CD．首先证明△ADC是等边三角形，再证明∠ACE＝90°，求出AE，EC，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
由作图可知，AD＝CD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠A＝∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵DE＝DA＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠ADC＝∠DEC+∠DCE，
∴∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝90°，
∵AC＝CB＝2，
∴AE＝2AC＝4，
∴CE=AE2−AC2=42−22=23，
∵CF＝EF=3，∠FCB＝90°，
∴BF=CF2+CB2=3+4=7．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小B．一直减小后增大
C．一直不变D．先增大后减小
【答案】A
【分析】根据题意∠DFE+∠EPC＝∠DPC，作PH⊥BC交BC的延长线于H，证明CP是∠DCH的角平分线即可解决问题．
【解答】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠DAF＝∠ABE＝∠DCB＝∠DCH＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴DF＝AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF＝PE，∠DFE＝∠DPE，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠PEH＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，
∵∠ABE＝∠H＝90°，AE＝EP．
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴PH＝BE，AB＝EH＝BC，
∴BE＝CH＝PH，
∴∠PCH＝45°，
∵∠DCH＝90°，
∴∠DCP＝∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，
∵∠DFE+∠EPC＝∠DPE+∠EPC＝∠DPC，
观察图象可得，∠DPC一直减小，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9．（3分）在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为 10 cm2．
【答案】10
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，
∴由勾股定理可知正方形C、B的面积的和是10cm2，
则正方形A的面积为10cm2，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
10．（3分）已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝8，CD＝10，则这个四边形的面积是 40或88 ．
【答案】40或88．
【分析】分两种情况进行讨论，分别求解即可．
【解答】解：①如图，过点D作BC的垂线交于点E，则∠BED＝∠CED＝90°，
∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∵AB＝BC＝8，
∴DE＝AB＝8
又∵∠CED＝90°，CD＝10，
∴CE=CD2−DE2=6，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴S四边形ABCD=S矩形ABED+S△CED=8×2+12×6×8=40，
②如图，如图，过点C作AD的垂线交于点F，则∠AFC＝∠DFC＝90°，
∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABED是正方形，
∵AB＝BC＝8，
∴CF＝AB＝8
又∵∠CED＝90°，CD＝10，
∴DF=CD2−CF2=6，
∴S四边形ABCD=S正方形ABCF+S△CFD=8×8+12×6×8=88，
故答案为：40或88．
【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为CD上的一点，且DE＝5，F为AE的中点，若△DEF的周长为30，则OF的长为 106−52 ．
【答案】106−52
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和△DEF的周长，求出EF=DF=12×25=12.5，AE＝2EF＝25的长，勾股定理求出AD的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【解答】解：∵DE＝5，△DEF的周长为30，
∴DF+EF＝30﹣5＝25．
∵F为AE的中点，
∴AF＝EF．在正方形ABCD中，∠ADE＝90° DF=12AE=EF，
∴EF=DF=12×25=12.5，
∴AE＝2EF＝25，
∴AD=AE2−DE2=106．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD=106，
∵O为AC的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF=12(CD−DE)=12(106−5)=106−52，
故答案为：106−52．
【点评】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一 半，是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，AD平分∠BAC，连接CD，把△ADC沿CD折叠，AC落在CE处，交AB于F，恰有CE⊥AB．若BC＝14，AD＝17，则EF＝ 28925 ．
【答案】28925．
【分析】延长AD，交BC于点G，由等腰三角形的性质可得出∠B＝∠ACB，AG⊥BC，BG＝CG＝7，证明△CDG是等腰直角三角形，可求出AC＝AB＝CE＝25，则根据三角形面积求出CF的值，即可得解．
【解答】解：延长AD，交BC于点G，
由题意可得：∠B＝∠ACB，AG⊥BC，BG＝CG，
∵BC＝14，
∴BG=CG=12BC=7，
∵CE⊥AB，
∴∠BFC＝90°，
∴∠B+∠BCF＝90°，
∵∠B＝∠ACB＝∠BCF+∠ACD+∠ECD，
∴2∠BCF+∠ACD+∠ECD＝90°，
由题意可得：∠BCF+∠ECD＝45°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝7，
∴AG＝AD+DG＝17+7＝24，所以：
AC=CG2+AG2=72+242=25，
∴CE＝AB＝AC＝25，
∵S△ABC=12BC⋅AG=12AB⋅CF，
∴12×14×24=12×25×CF，
∴CF=33625，
∴EF=CE−CF=25−33625=28925．
故答案为：28925．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确进行计算是解题关键．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．（6分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴BC=AB2−AC2=52−4．82=1.4（m）．
答：梯子底端离墙的距离BC为1.4m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
14．（5分）计算：|12−3|−(−14)−1+(3−1)2．
【答案】5．
【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝23−3﹣（﹣4）+3﹣23+1
＝23−3+4+4﹣23
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
15．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝10．AD＝8，AC⊥BC，AC，BD相交于点O．
（1）求CD，OC的长；
（2）求▱ABCD面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝10，AD＝BC＝8，OA＝OC=12AC，根据勾股定理求出AC的长，即可求出OC的长；
（2）根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝10，OA＝OC=12AC，
∵AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：AC=AB2−BC2=6，
∴OC＝3；
（2）▱ABCD的面积是BC×AC＝8×6＝48．
答：OA的长是3，▱ABCD的面积是48．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC的长度是解此题的关键．
16．（13分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．
（1）当t＝3秒时，求△BPA的面积；
（2）若AP平分∠CAB，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出BP，再利用三角形的面积计算公式解答；
（2）作PM⊥AB于M，利用角平分线的性质分别求得BM、PM，再利用勾股定理PB2＝PM2+BM2，求出PC＝4.8，最后利用BP＝2t，求得t的值即可；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得BP＝2t，
∵t＝3，AC＝8，
∴BP＝2×3＝6，
∴S△BPA=12BP•AC=12×6×8＝24，
答：△BPA的面积为24；
（2）当线段AP恰好平分∠CAB时，作PM⊥AB于M，如图1，
∵线段AP平分∠CAB，∠ACB＝90°，PM⊥AB，
∴PC＝PM，
∵AP＝AP，
∴Rt△APC≌Rt△APM（HL），
∴AC＝AM＝8，
∵AB=AC2+BC2=82+152=17，
∴BM＝AB﹣AM＝17﹣8＝9，
在Rt△BPM中，PB2＝PM2+BM2，即（15﹣PC）2＝PC2+92，
解得，PC＝4.8，
∴BP＝2t＝15﹣4.8，
解得：t＝5.1；
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∵ED＝CD＝3，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴PE＝PC＝15﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE=AD2−DE2=52−32=4，
∴AP＝AE+PE＝4+15﹣2t＝19﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（15﹣2t）2＝（19﹣2t）2，
解得：t＝4.5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣15，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣15＝2t﹣11，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣15）2＝（2t﹣11）2，
解得：t＝10.5；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为4.5或10.5时，能使DE＝CD．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
17．（12分）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab （用a，b表示）．
（2）已知：两数x，y满足x+y＝14，xy＝24，求x﹣y的值．
（3）如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是 a2+b2＝c2 ．（用a，b，c表示，结果化到最简）
【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）±10；
（3）a2+b2＝c2．
【分析】（1）用两种不同的方法表示图2的面积，即可得到等式；
（2）根据（1）中的公式求解即可；
（3）用两种不同的方法表示图3的面积，即可得到a，b，c满足的关系．
【解答】解：（1）图2的面积＝（a+b）2，
图2的面积＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）∵x+y＝14，xy＝24，
由（1）中的公式可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝196﹣96＝100，
∴x﹣y＝±10；
（3）图3的面积=(a−b)2+4×12ab，
图3的面积＝c2，
∴(a−b)2+4×12ab=c2，
整理，得a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了完全平方公式，用两种不同的方法表示图中的面积是解题的关键．
18．（18分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．
例如：如图1，在三角形ABC中，如果AD是AB边上的中线，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，则有S△ACD＝S△ABD．
应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：三角形AOE和三角形AOB是“朋友三角形”．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，AD＝DC＝8，BC＝12，点G在BC上，点E在AD上，DG与CE交于点F，GF＝DF．
①求证：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；
②连接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四边形ABGF的面积．
（3）在三角形ABC中，∠B＝30°，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于三角形ABC面积的14，则三角形ABC的面积是 8或83 （请直接写出答案）．
【答案】（1）如图2，四边形ABCD为矩形，连接EF，
∴AD∥BC，
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴OE＝OB，即AO是△ABE的中线，
∴△AOE和△AOB是“朋友三角形”；
（2）①∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CGF，
又∵GF＝DF，∠DFE＝∠GFC，
∴△DFE≌△GFC（ASA），
∴EF＝CF，
∴△DFE和△DFC是“朋友三角形”；
②四边形ABGF的面积为48；
（3）8或83．
【分析】（1）连接EF，根据四边形ABCD为矩形，可知AD∥BC，再借助AE＝BF，可证明四边形ABFE为平行四边形，由平行四边形的性质“平行四边形的对角线相互平分”可知OE＝OB，即AO是△ABE的中线，即可证明△AOE和△AOB是“朋友三角形”；
（2）①先证明△DFE≌△GFC，可推导EF＝CF，即△DFE和△DFC是“朋友三角形”；
②由△AEF和△DEF是“朋友三角形”，可知AE=DE=12AD=4，再借助∠ADC＝90°，求得S△DCE＝16，根据△DFE和△DFC是“朋友三角形”、△AEF和△DEF是“朋友三角形”、△DFE≌△GFC，可依次求得△AEF、△DEF、△DCF、△GFC的面积，最后由四边形ABGF的面积＝S梯形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFE﹣S△DFC﹣S△GFC求解即可；
（3）根据题意画出符合条件的两种情况：①证明四边形AD'CB是平行四边形，求出BC、A'D并推导∠ACB＝90°，根据三角形面积公式求解即可；②求出高CQ、在求出△AD′C的面积，即可求出△ABC的面积．
【解答】（1）证明：如图2，四边形ABCD为矩形，连接EF，
∴AD∥BC，
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴OE＝OB，即AO是△ABE的中线，
∴△AOE和△AOB是“朋友三角形”；
（2）①证明：∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CGF，
又∵GF＝DF，∠DFE＝∠GFC，
∴△DFE≌△GFC（ASA），
∴EF＝CF，
∴△DFE和△DFC是“朋友三角形”；
②解：∵△AEF和△DEF是“朋友三角形”，
∴AE=DE=12AD=4，
∵∠ADC＝90°，S△DCE=12DE⋅CD=12×4×8=16，
∵△DFE和△DFC是“朋友三角形”，
∴S△DFE=S△DFC=12S△DCE=8，
∵△DFE≌△GFC，
∴S△DFE＝S△GFC＝8，
∵△AEF和△DEF是“朋友三角形”，S△AEF＝S△DFE＝8，
∴四边形ABGF的面积＝S梯形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFE﹣S△DFC﹣S△GFC=12×(8+12)×8−8−8−8−8=48；
（3）解：△ABC的面积是8或83．理由如下：
分为两种情况：①如图3，
∵S△ACD＝S△BCD，
∴AD=BD=12AB=4，
∵沿CD折叠A和A'重合，
∴AD=A′D=12AB=12×8=4，
∵△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14，
∴S△DOC=14S△ABC=12S△BDC=12S△ADC=12S△A′DC，
∴DO＝OB，A'O＝CO，
∴四边形A'DCB是平行四边形，
∴BC＝A'D＝4，过B作BM⊥AC于M，
∵AB＝8，∠BAC＝30°，
∴BM=12AB=4=BC，即C和M重合，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得AC=82−42=43，
∴△ABC的面积=12×BC×AC=12×4×43=83；
②如图4，
∵S△ACD＝S△BCD，
∴AD=BD=12AB，
∵沿CD折叠A和A'重合，
∴AD=A′D=12AB=12×8=4，
∵△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14，
∴S△DOC=14S△ABC=12S△BDC=12S△ADC=12S△A′DC，
∴DO＝OA'，BO＝CO，
∴四边形A'BDC是平行四边形，
∴A'C＝BD＝4，过C作CQ⊥A'D于Q，
∵A'C＝4，∠DA'C＝∠BAC＝30°，
∴CQ=12A′C=2，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2×12×A′D×CQ=2×12×4×2=8．
综上所述，△ABC的面积是8或83．
故答案为：8或83．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是理解“朋友三角形”的概念及利用分类讨论的思想分析问题．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
C
C
C
C
A