江西省九江市柴桑区五校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

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一、单选题
1．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．语句“的与的和不超过5”可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，，若，，，则（ ）
A．26°B．29°C．58°D．32°
4．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2－c2＝0B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5D．∠A＋∠B＝∠C
5．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
7．等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为： ．
8．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设 ．
9．如图1，是某超市自动扶梯，如图2，是其的示意图，大厅两层之间的距离米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒.
10．已知和关于原点对称，则 ．
11．如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ．
12．如图，等腰中，，点是边上的一个动点，直线垂直平分，垂足为，当是等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题
13．（1）解下列不等式组并将解集在数轴上表示出来：；
（2）因式分解：．
14．已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值．
15．如图，将直角三角形（）沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置，与交于点G，，，．
(1)求平移的距离．
(2)若，求阴影部分的面积．
16．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
17．若不等式组无解，求出的取值范围．
18．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
求证：AD＝AE．
19．如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长．
20．某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条的定价为50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：
方案一：购买一套服装赠送一条领带；
方案二：服装和领带均按定价的九折出售．
某商店老板现要到服装厂采购服装30套，领带条，请根据x的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点，与一次函数的图象相交于点A，点A的横坐标为4．
(1)求k，b的值；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)设点E在直线上，且，求点E的坐标．
22．如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线．
23．已知是的平分线，点P是射线上一定点，点C、D分别在射线、上，连接、．
(1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________；
(2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由．
(3)在问题（2）中，若，则四边形的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
参考答案
1．A
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意，
故选：A．
2．D
由题意可得，可以表示为，
故选：D．
3．B
，
平分，
．
故选：B．
4．C
解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合题意；
B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意；
C. ，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合题意；
D.，，故是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
5．C
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7，
∴，
故选：C．
6．D
解：由题意得，
则
，
故选：D．
7．等边对等角
解：等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：等边对等角，
故答案为：等边对等角
8．这五个数都小于
解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五个数都小于，
故答案为这五个数都小于.
9．26
解：∵30°锐角所对直角边等于斜边的一半，
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为2h=13米，
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为13÷0.5=26秒．
10．-1
解：和关于原点对称，
则，
；
故答案为：-1
11．
解：∵根据函数的图像，可知不等式的解集就是函数在函数的下面，且它们的值小于，
又∵，，
不等式的解集是．
故答案为：．
12．或或
解：∵是等腰三角形，
∴如图所示：当时，
∵，
∴，
∵直线垂直平分，垂足为，
∴
∵等腰中，，
∴，
∴．
如图所示：当时，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
则，
∴，
∵直线垂直平分，垂足为，
∴，
则；
如图所示：当点与点重合时，
此时；
综上：当是等腰三角形时，的长为或或，
故答案为：或或．
13．（1）；（2）
（1）解：解不等式，得
解不等式，得，
所以不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示出来：
（2）
．
14．
解：
．
∵可因式分解成，
∴，
∴．
15．(1)平移的距离为
(2)阴影部分的面积为
（1）解：，
∴，
∵平移得到，
∴点与点，点与是对应点，
∴根据平移的性质得，，
∴，
∴平移距离为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，且，且，
∴四边形是梯形，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
16．(1)图见解析，点C1的坐标为（﹣3，3）
(2)图见解析，点C2的坐标为（﹣3，﹣3）
（1）如图，△A1B1C1即为所求，
∵△A1B1C1是△ABC向左平移4个单位得到的，点C的坐标为（1，3）
∴点C1的坐标为（﹣3，3）；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求，
∵△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，点的坐标为（-3，3）
∴点C2的坐标为（﹣3，﹣3）．
17．
解：解一元一次不等式组，
得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
18．见解析
解析：∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵AE⊥EB,∴∠E=∠ADB=90°.
∵AB平分∠DAE,∴∠BAD=∠BAE.
在△ADB和△AEB中,∠E=∠ADB,∠BAD=∠BAE,AB=AB,
∴△ADB≌△AEB(AAS),∴AD=AE.
19．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)
（1）为等腰三角形，
理由：的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2），
，
的周长是10，
，
．
20．当时，全部按方案一购买更省钱；当时，先按方案一购买30套西服，然后余下的条领带按方案二购买更省钱
解：全部按方案一购买，应付款：（元），
全部按方案二购买，应付款：（元），
如果同时选择方案一和方案二，那么为了获得厂方赠送领带的数量最多，同时享有9折优惠，可考虑按如下方案购买：
先按方案一购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的条领带按方案二购买，
此时应付款：（元），
∵，
∴此时比全部按方案二购买更省钱，
当时，
解得，
∴当时，按方案一购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的条领带按方案二购买比全部按方案一购买更省钱；
当时，
解得，即按方案一购买30套西服，并获赠30条领带，
∴当时，全部按方案一购买更省钱；
答：当时，全部按方案一购买更省钱；当时，先按方案一购买30套西服，然后余下的条领带按方案二购买更省钱．
21．(1)
(2)
(3)或
（1）解：∵直线经过和，
∴，
解得：．
即；
（2）解：∵点A的横坐标为4，
∴根据函数图象可知，不等式的解集是；
（3）解：把代入得：，
解得：，
∴点，
∵点，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点E的纵坐标为m，
则，
解得：或，
∵一次函数的解析式为，点E在直线上，
∴把代入得：，
解得：，
∴此时点E的坐标为；
把代入得：，
解得：，
∴此时点E的坐标为；
综上分析可知，点E的坐标为或．
22．见解析
如图，延长、交于点F．
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
又，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
23．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)四边形的面积S为定值9
（1）解：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）成立，理由如下：
过点P作于点E，于点F，
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（3）由（2）可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵．
∴四边形的面积S为定值9．