初中数学华东师大版（2024）九年级上册配方法课后测评

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册配方法课后测评，文件包含专题227配方法的应用八大题型华东师大版原卷版docx、专题227配方法的应用八大题型华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc6296" 【题型1 利用配方法求字母的值】 PAGEREF _Tc6296 \h 1
\l "_Tc11878" 【题型2 利用配方法求代数式的值】 PAGEREF _Tc11878 \h 4
\l "_Tc14605" 【题型3 利用配方法比较大小】 PAGEREF _Tc14605 \h 7
\l "_Tc26641" 【题型4 利用配方法进行证明】 PAGEREF _Tc26641 \h 10
\l "_Tc5264" 【题型5 利用配方法求最值】 PAGEREF _Tc5264 \h 14
\l "_Tc12065" 【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】 PAGEREF _Tc12065 \h 17
\l "_Tc22836" 【题型7 利用配方法确定三角形形状】 PAGEREF _Tc22836 \h 18
\l "_Tc8151" 【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】 PAGEREF _Tc8151 \h 21
知识点：配方法
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【题型1 利用配方法求字母的值】
【例1】（23-24九年级·福建莆田·阶段练习）小明在学习配方法时，将关于x的多项式x2-2x+3配方成x-12+2，发现当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2-2x+3的值是相等的．例如：当x-1=±2时，即x=3或-1时，x2-2x+3的值均为6；当x-1=±3时，即x=4或-2时，x2-2x+3的值均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对偶，例如x2-2x+3关于x=1对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式x2-8x+10关于 对偶；
(2)当x=m或9-m时，关于x的多项式x2+2bx+c的值相等，求b的值；
(3)若整式x2+8x+16x2-4x+4关于x=n对偶，求n的值．
【答案】(1)x=4
(2)b=-4.5
(3)n=-1
【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，整式乘法，正确理解新定理，判断出对称轴是解题关键．
（1）将多项式配方得x-42-6，再根据新定义判定即可；
（2）将多项式配方得x+b2-b2+c，再根据新定义，得到m+b+9-m+b=0，求解即可得到b的值；
（3）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可．
【详解】（1）解：∵ x2-8x+10=x-42-6，
∴当x-4取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
∴多项式x2-8x+10关于x=4对偶，
故答案为：x=4
（2）解：∵x2+2bx+c=x+b2-b2+c，
∴当x+b取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
∵当x=m或9-m时，关于x的多项x2+2bx+c的值相等，
∴m+b+9-m+b=0，
解得：b=-4.5；
（3）解：x2+8x+16x2-4x+42
=x+42x-22
=x+4x-22
=x2+2x-82
=x+12-92
∵整式x2+8x+16x2-4x+4关于x=n对偶，
∴n=-1．
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】利用配方法将-x2+mx+4进行配方，即可得出答案.
【详解】解：-x2+mx+4=-x-m22+m24+4,
故m24+4=5,
解得：m=±2.
故选B.
【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键.
【变式1-2】（23-24九年级·山西吕梁·期中）若关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成(x-n)2=0的形式，那么下列关于m,n的值正确的是（ ）
A．m=25,n=5B．m=20,n=5C．m=100,n=10D．m=20,n=-5
【答案】A
【分析】根据完全平方公式展开即可得解；
【详解】∵(x-n)2=0，
∴x2-2xn+n2=0，
又∵一元二次方程x2-10x+m=0，
∴2n=10，m=n2，
∴n=5，m=25；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确分析计算是解题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣12x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣9B．m＜﹣92C．m＜9D．m＜92
【答案】B
【分析】首先判断出：﹣12x2+3x+m＝﹣12（x﹣3）2+m+92，然后根据偶次方的非负性质，可得-12（x﹣3）2+m+92≤m+92，再根据无论x为何值，﹣12x2+3x+m＜0，推得m+92＜0，据此判断出常数m的取值范围即可．
【详解】解：∵﹣12x2+3x+m＝﹣12（x2﹣6x+9）+m+92＝﹣12（x﹣3）2+m+92
∵﹣12（x﹣3）2≤0，
∴﹣12（x﹣3）2+m+92≤m+92，
∵无论x为何值，﹣12x2+3x+m＜0，
∴m+92＜0，
解得m＜﹣92．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键．
【题型2 利用配方法求代数式的值】
【例2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知关于x的多项式ax2-2bx+ca≠0，当x=a时，该多项式的值为c-a，则多项式a2+b2+3的值可以是（ ）
A．3.5B．3.25C．3D．2.75
【答案】A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将x=a代入原式，可整理得a2=2b-1>0，再代入到a2+b2+3，配方得b+12+1，进而求解即可．
【详解】∵当x=a时，该多项式的值为c-a，
∴a3-2ab+c=c-a，
整理得a3-2ab+a=0，即aa2-2b+1=0
∵a≠0，
∴a2-2b+1=0，即a2=2b-1>0，
∴b>12，
∴a2+b2+3=b2+2b-1+3=b+12+1>3.25，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若a，b满足2a2+b2+2ab-4a+4=0，则a+3b的值为 ．
【答案】-4
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：已知等式变形得：a2+2ab+b2+a2-4a+4=0，
即a+b2+a-22=0，
∵a+b2≥0，a-22≥0，
∴a+b=0，a-2=0，
解得：a=2，b=-2，
则a+3b=2-6=-4．
故答案为：-4．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
x2-8x+17=x2-8x+16+1=x-42+1，
∵x-42≥0
∴x-42+1≥1
∴x2-8x+17≥1
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)如果4a2+6a+1=b+c4b2+6b+1=c+a4c2+6c+1=a+b,，那么a+b+c的值为 ．
(2)已知x2+8x+y2+2y+17=0，求x+y的值；
【答案】(1)-32
(2)-5
【分析】（1）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解；
（2）先配方，再根据非负数的性质求值即可；
【详解】（1）4a2+6a+1=b+c①4b2+6b+1=c+a②4c2+6c+1=a+b③,
①+②+③，得：4a2+4b2+4c2+6a+6b+6c+3=2a+2b+2c,
∴4a2+4a+1+4b2+4b+1+4c2+4c+1=0,
∴2a+12+2b+12+2c+12=0,
∴2a+12=0,2b+12=0,2c+12=0,
∴2a+1=0,2b+1=0,2c+1=0,
∴a=-12,b=-12,c=-12,
∴a+b+c=-12-12-12=-32，
故答案为：-32；
【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2-2mn+2n2-6n+9=0，我们可以求出m，n的值．
解法是：∵m2-2mn+2n2-6n+9=0，∴m2-2mn+n2+n2-6n+9=0，
即m-n2+n-32=0，∴m-n=0，n-3=0，∴m=n=3．
根据这样的解法，完成：
(1)若x2+y2+8x-2y+17=0，求x+3y的值；
(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b-25，求该△ABC的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11