2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[深圳专用 北师大版九上第1~4.2章]

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2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：90 分钟，分值：100 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章 4.2．
第一部分（选择题 共 24 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．已知线段 c 是线段 a 、b 的比例中项，若 则 ( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A ．y = x2 B ．x + 2 = x2 C ． D ．2x +1 = 5
3 ．如图，l1 ∥l2 ∥l3 ，两条直线与这三条平行线分别交于点 A 、B 、C 和 D 、E、F．已知
则 的值为 ( )
B ． C ． D ．
4 ．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点 O，再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD 是正方形的是( )
A ．AB = AD B ．OA = OB C ．AC = BD D ．DC 丄 BC
5．《九章算术》中记载： 今有户不知高、广， 竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺， 那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是： 现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知 道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿比门高长出2 尺；斜放， 竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为 x 尺，则 下列正确的方程是( )
A ．(x - 4)2 + (x - 2)2 = x2 B ．(x + 4)2 = x2 + (x - 2)2
C ．(x - 4)2 = x2 + (x + 2)2 D ．(x + 4)2 = x2 + (x + 2)2
6 ．如图，某城市中有如图所示的公路AB ，BC ，它们互相垂直，公路AC 的中点M 与点B 被湖隔开，若测得AC 的长为2.4km ，则 M ，B 两点间的距离为( )
A ．2.4km B ．0.6km C ．1km D ．1.2km
7．本学期学校大课间开设了四种运动游戏，分别为“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”，学校规定 每人只能选择自己喜欢的一种参加．小明与小亮对这四种运动都感兴趣，在没有沟通的情况 下，这两人选择同种运动的概率是( )
1 3 1 1
A ． B ． C ． D ．
4 8 3 2
8 ．如图，在正方形ABCD 中，E，F，G 三点分别在边AD ，AB ，CD 上，且 △EFG 为等边
三角形，若AF = 5 ，DG = 6 ，则 的值为( )
A ． B ． C ． D ．
第二部分（非选择题 共 76 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
9 ．把一元二次方程x2 + 6x + 4 = 0化成(x + m)2 = n 的形式，则m + n 的值为 ．
10 ．若m ，n 是方程x2 + x - 2025 = 0 的两个实数根，则m2 + 2m + n 的值为 ．
11．在一个不透明的盒子中装有 3 个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将 球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球 的频率稳定在 0.2 左右，则这个盒子中大约有 个白球．
12 ．如图，有两个边长为 2 的正方形，其中正方形EFGH 的顶点E 与正方形ABCD 的中心 重合．在正方形EFGH绕点E 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
13．已知菱形ABCD 的一个内角上BAD = 80° , 对角线AC, BD 相交于点 O，点 E 在菱形ABCD 的边上，且与顶点不重合，若OE = OB ，则 上EOA 的度数为 度．
三、解答题：本大题共 7 小题，共 61 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
14 ．解下列一元二次方程．
(1) (x - 2)2 - 9 = 0
(2) 2x2 - 6x +1 = 0
15 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (2m + 1)x + m2 - 2 = 0 有两个不相等的实数根，它们分别 为a, β .
(1)求 m 的取值范围；
(2)若a2 + β2 = 11，求 m 的值．
16 ．某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校 20 名九年级学生进 行测试（测试满分为 10 分），并将这 20 名学生分成甲、乙两组， 每组各 10 人．对测试成绩 进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表：
根据以上信息，回答下列问题．
(1)填空：a = ________ ，b = ________ ，c = _________；
(2)该校九年级共有 360 名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9 分 及以上的人数；
(3)现在准备从甲、乙两组满分为 10 分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表 法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
17．在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中 国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国
平均数/ 分
中位数/ 分
众数/ 分
甲 组
a
8
8
乙 组
8.3
b
c
乒乓球在奥运项目上的全面覆盖．
(1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6 月共销售乒 乓球拍500 副，每月的月销售增长率相同，8 月共销售720 副，求该乒乓球拍6 月份到8 月份 销售量的月平均增长率．
(2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售40 副，每副盈利40 元，每下降2 元，则每天 可多售10 副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到3000 元？如果能，请求出每副乒乓球拍的 售价；如果不能，请说明理由．
18．如图，已知在。ABCD 中，点 E、F 分别是边AD、CD 的中点，过点 E、F 的直线交BA、BC 的延长线于点 G 、H，连接 AC ．
(1)求证：四边形ACHE 是平行四边形；
(2)连接CE ，如果 CE = AE ，求证：四边形 ACFG 是矩形．
19 ．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB = 8cm ，AD = 3cm ，动点P 、Q 分别从 A 、C 同时出发，点P 以1 cm / s 的速度向点B 移动，点Q 以相同的速度向点D 移动，当点P 到达点B 时，点P 、Q 均停止运动，设运动时间为t 秒．
(1)当t = ________秒时，四边形PBCQ 为矩形．
(2)运动过程中，四边形PBQD 可能为菱形吗？若能，求出运动时间t ，若不能，请说明理由．
(3)运动过程中，点P 和点Q 的距离可能是3 cm 吗？若能，求出运动时间t ，若不能，请
说明理由．
20 ．如图 1，已知正方形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，且BE = AB ，M、N 分别为AE 、 BC 的中点，连接DE 交AB 于 O ，MN 交ED 于 H 点．
(1)求证：AO = BO ；
(2)求证：上HEB = 上HNB ；
(3)过 A 作AP 丄 ED 于 P 点，连接BP ，则 的值．
1 ．B
a c
【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或 = ，那么
c b
线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项”进行解答即可得．
本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义解题的关键． 【详解】解：:线段 c 是线段 a 、b 的比例中项，
又 ，
故选：B．
2 ．B
【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且 未知数的最高次数为 2 的整式方程．对各选项逐一判断即可．
【详解】解：选项 A：方程 y= x2 中含有两个未知数y 和x ，不符合“一元”条件，排除．
选项 B：方程x + 2 = x2 可整理为x2 - -x 2 = 0 ，仅含未知数x ，且最高次数为 2 ，是整式方程， 符合定义．
选项 C：方程 中含分式 ，不是整式方程，排除．
选项 D：方程 2x +1 = 5 为一次方程，最高次数为 1，排除．
故选：B．
3 ．D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，直接利用平行线分线段成比例定理即可 求解．
【详解】解：:l1 ∥ l2 ∥ l3 ，
故答案为：D．
4 ．A
【分析】此题考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理才可正确解答．
根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利 用排除法求解．
【详解】解：A 、AB = AD ，不能判定是正方形，故本选项符合题意；
B 、OA = OB ，根据菱形的对角线互相平分，AC = BD ，对角线相等的菱形是正方形可得菱 形ABCD 是正方形，故本选项不符合题意；
C 、AC = BD ，根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意；
D 、DC 丄 BC ，则 上BCD = 90° ,根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形ABCD 是正 方形，故本选项不符合题意．
故选：A．
5 ．A
【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用 勾股定理，关系是解答本题的关键．
设门对角线长为x 尺，表示出门高和门宽，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：:设门对角线长为x 尺，
:竿的长度为x 尺，门高为尺(x - 2) ，门宽为(x - 4) 尺， 根据题意得：(x - 4)2 + (x - 2)2 = x2 ，
故选：A．
6 ．D
【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半求解即可.
【详解】解：由题意可得：上ABC = 90°, AM = CM ，
所以 故选：D．
7 ．A
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式， 画树状图可得出所有等可能的结果数以及 这两人选择同一种运动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”分别记为 A，B ，C，D， 画树状图如下：
共有 16 种等可能的结果，其中这两人选择同一种运动的结果有 4 种，
:这两人选择同一种运动的概率为 ．
故选：A．
8 ．B
【分析】在直线AD 上构造上M = 上N = 60° , 连接MF ，NG ，根据含 30 度角的直角三角形 的性质和勾股定理可得 ，DN = 2 ，得到 然后证明△EFM≌△GEN(AAS) ，可得ME = NG = 4 ， 进而可以解决问题． 【详解】解：如图，在直线 AD 上构造上M = 上N = 60° ,连接MF ，NG ，
:四边形ABCD 是正方形
: 上BAD = 上ADC = 90°
: 上MAF = 上GDN = 90°
: 上M = 上N = 60°
: 上AFM = 上DGN = 30°
: MF = 2AM ，GN = 2DN
: AM 2 + AF2 = MF2 ，DN2 + DG2 = NG2
: AM2 + 52 = (2AM)2 ，DN2 + 62 = (2DN)2
: MF = 2AM = ，GN = 2DN = 4 Q 上FEN = 上EFM + 上M = 上FEG + 上GEN ， Q△EFG 为等边三角形，
:上GEF = 60° , EF = EG ，
上FEG = 上M = 60° ,
:上EFM = 上GEN ，
在△EFM 和 △GEN 中，
ì上M = 上N
ï
í上EFM = 上GEN ， ïlEF = EG
: △EFM≌△GEN(AAS) ，
:ME = NG = 4 ， ，
5 7 10 4
: AE = ME - AM = 4 - = ，DE = EN - DN = - 2 = ，
3 3 3 3
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质， 等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性 质等知识，解决本题的关键是得到△MFE≌△NEG ．
9 ．8
【分析】根据 x2 + 6x + 4 = 0得x2 + 6x = -4故(x + 3)2 = 5 ，类比 (x + m)2 = n ，得到 m = 3, n = 5 ，解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：根据 x2 + 6x + 4 = 0得x2 + 6x = -4 ，
故(x + 3)2 = 5 ， 类比(x + m)2 = n ， 得到m = 3, n = 5 ，
故 m + n = 3 + 5 = 8 ．
故答案为：8．
10 ．2024
【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据m ，n 是方程 x2 + x - 2025 = 0 的两个实数根，可得m2 + m - 2024 = 0， 即m2 + m = 2025 ，根据一元二次方 程根与系数的关系可知m + n = -1，将 m2 + 2m + n 变形为(m2 + m) + (m + n) ，即可求出
m2 + 2m + n 的值．
【详解】解：Qm ，n 是方程x2 + x - 2025 = 0 的两个实数根， : m2 + m - 2025 = 0 ，即 m2 + m = 2025 ，m + n = -1，
:m2 + 2m + n = (m2 + m) + (m + n) = 2025 -1 = 2024 ， 故答案为：2024 ．
11 ．12
【分析】此题考查了利用频率估计概率， 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的 频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减 去红球的个数即可得到白球的个数．
【详解】解：∵有 3 个红球，摸到红球的频率稳定在 0.2 左右，
:这个盒子中大约有3 ÷ 0.2 = 15 个球， :15 - 3 = 12 （个），
:这个盒子中大约有 12 个白球．
故答案为：12．
12 ．1
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象， 旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过
点 E 作EP 丄 CD 于点 P ，EQ 丄 BC 于点 Q，则可证明 △PEN≌△QEM (ASA ) ，得出 S△PEN = S△QEM ，根据S四边形MENC = S矩形EPCQ 得出答案即可．
【详解】解：如图，过点 E 作EP 丄 CD 于点 P ，EQ 丄 BC 于点 Q，
则上EPC = 上EQC = 90° ,
∵点 E 是正方形ABCD 的中心，
∵上C = 上EPC = 上EQC = 90° ,
:四边形EPCQ 为矩形，
∵ 上MEN = 90 ° ,
:上MEQ + 上NEQ = 上NEQ + 上PEN = 90° , :上PEN = 上MEQ ，
: △PEN≌△QEM (ASA ) ， : S△PEN = S△QEM ，
: S四边形MENC = S△QEM + S四边形EMCQ = S△PEN + S四边形EMCQ = S矩形EPCQ = 1 × 1 = 1．
故答案为：1．
13 ．10 或 170##170 或 10
【分析】本题考查了菱形的性质， 等腰三角形的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握知识并 能够分类讨论是解题的关键．分点 E 在BC 上时和点E¢ 在AD 上时两种情况讨论即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD 是菱形，
: 上BAD + 上ABC = 180°, OB = OD，AC 丄 BD ， : 上AOB = 90° = 上AOD ，
∵上BAD = 80° ,
: 上ABC = 100° ,
:上OBE = 上ABC = 50°, 上OAD = 上BAD = 40° 当点 E 在BC 上时，
∵ OE = OB ，
: 上OBE = 上OEB = 50° ,
: 上BOE = 180° - 上OBE - 上OEB = 80° , : 上AOE = 上AOB + 上BOE = 170° ;
当点E¢ 在AD 上时，
∵ 上BOE = 上DOE¢ = 80° ,
: 上AOE¢ = 上AOD - 上DOE¢ = 90° - 80° = 10° , 综上，上EOA 的度数为10° 或170° ,
故答案为：10 或 170．
14 ．(1) x1 = 5 ；x2 = -1
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，包括直接开平方法和公式法．解题的关键是根据 方程的特点选择合适的解法，直接开平方法适用于形如(x + a )2 = b 的方程，公式法适用于所 有一元二次方程．
（1）对于方程(x - 2)2 - 9 = 0, 先移项将其化为(x - 2)2 = 9, 再利用直接开平方法求解；
（2）对于方程 2x2 - 6x +1 = 0, 先确定二次项系数、一次项系数和常数项，再代入求根公式
【详解】（1）解：(x - 2)2 - 9 = 0 ， : (x - 2)2 = 9 ，
直接开方得：x - 2 = 3 或x - 2 = -3 ，
解得：x1 = 5 ，x2 = -1；
（2）解：2x2 - 6x +1 = 0 ，
其中a = 2 ，b = -6 ，c = 1，
: Δ = b2 - 4ac = 36 - 8 = 28 > 0 ，
15 ． (2)1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关 键在于利用韦达定理将a2 + β2 = 11 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值．
（1）利用判别式 Δ > 0 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围；
（2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件 a2 + β2 = 11 转化为关于 m 的 方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件．
【详解】（1）解：a = 1, b = - (2m +1) , c = m2 - 2 ，
:一元二次方程有两个不相等的实数根，
:b2 - 4ac = [-(2m + 1)]2 - 4× 1 × (m2 - 2) = 4m + 9 > 0 ，
:m 的取值范围为
（2）解：:关于 x 的一元二次方程x2 - (2m + 1)x + m2 - 2 = 0 有两个实数根分别为a, β ,
: a + β = 2m +1, a . β = m2 - 2 ， Qa2 + β2 = (a + β)2 - 2a . β = 11， :(2m +1)2 - 2(m2 - 2) = 11，
: m2 + 2m - 3 = 0 ，
解得：m1 = 1, m2 = -3 （不符合题意，舍去），
:m 的值为 1．
16 ．(1)8.3 8.5 7
(2)估计测试成绩达到 9 分及以上的人数有 144 名
【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得7 分的有1人，得8 分的有6 人，得9 分的 有2 人，得10 分的有1人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以 看出，乙组中得7 分的有4 人，得8 分的有1人，得9 分的有3 人，得10 分的有2 人；根据中 位数的定义可以得到乙组的中位数为8.5 、众数为7 ；
（2）计算出抽取的20 人中得9 分及以上的人的数量占总人数的比例为 ，用九年级总人数 计算出九年得9 分及以上的人的数量；
（3）运用列表法表示出随机抽出 2 人总共有6 种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自 甲组，另一人来自乙组的有4 种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人 来自乙组的概率为 ．
【详解】（1）解：从折线统计图中可以看出，甲组中得7 分的有1人，得8 分的有6 人，得9 分的有2 人，得10 分的有1人，
: 甲组的平均数为
从条形统计图中可以看出，乙组中得7 分的有4 人，得8 分的有1人，得9 分的有3 人，得10 分的有2 人，
: 乙组的中位数为 乙组中出现次数最多的数据是7 ，
: 乙组的众数为c = 7 ，
故答案为8.3 ，8.5 ，7 ；
（2） （名）
答：估计测试成绩达到 9 分及以上的人数有 144 名；
（3）将甲组满分为 10 分的一名学生记为 A，乙组满分为 10 分的两名学生分别记为 B ，C，
列表如下：
A
B
C
A
(A, B )
(A, C )
共有 6 种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果 有共 4 种，
:所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体， 掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提， 列举出所有可能出现的结果是计算 概率的关键．
17 ．(1)该乒乓球拍6 月份到8 月份销售量的月平均增长率为20%
(2)日销售利润不能达到3000 元，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设平均每月增长率为x ，利用8 月销售量= 6 月销售量 ×(1+增长率)2 ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每副乒乓球拍降价y 元，则每副乒乓球拍盈利(40 -y ) 元，平均每天可售出
副，利用总利润= 每副的销售利润× 日销售量，即可得出关于y 的一元二次方 程，由 Δ < 0 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该乒乓球拍 6 月份到8 月份销售量的月平均增长率为x ． 根据题意，得500(1+ x )2 = 720 ．
解得x = 0.2 = 20% 或x = -2.2 （不合题意，舍去）．
答：该乒乓球拍6 月份到8 月份销售量的月平均增长率为20% ．
（2）解：不能．理由如下：
设每副乒乓球拍降价y 元，则每副乒乓球拍盈利(40 -y ) 元，平均每天可售出 副．
根据题意，得 整理得y2 - 32y + 280 = 0 ．
B
(B, A)
(B, C )
C
(C, A)
(C, B )
QΔ = 322 - 4× 280 = -96 < 0 ,
:此方程无解．
: 日销售利润不能达到3000 元．
18 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质， 矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角 形的性质等知识，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得出ABⅡCD ，根据平行线的性质得出上G = 上DFE ，根据AAS 证明 △AEG≌△DEF ，得出 AG = DF ，结合线段中点定义可得 AG = CF ，然后根据“一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形”先证明其为平行四边形，根据等边对等角可得出
上EAC = 上ECA ，上D = 上DCE ，结合三角形内角和定理可求出 上ACD=90° ,最后根据矩形 的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵ YABCD ， : AE ⅡCH ，
∵点 E、F 分别是边AD、CD 的中点， :EH Ⅱ AC ，
:四边形ACHE 是平行四边形；
（2）证明：∵ YABCD ， : ABⅡCD ，
: 上G = 上DFE ，
∵E 是AD 中点， : AE = DE ，
又∵ 上AEG = 上DEF ，
: △AEG≌△DEF (AAS) ， : AG = DF ，
∵F 是CD 的中点，
: CF = DF ，
: AG = CF ，
又∵ AG ⅡCF ，
:四边形ACFG 是平行四边形； 如图，
∵ CE = AE ，AE = DE ，
: 上EAC = 上ECA ，CE = DE ，
: 上D = 上DCE ，
∵ 上EAC + 上ACD + 上D = 上EAC + 上ECA + 上DCE + 上D = 180° , :2(上ECA + 上DCE) = 180° ,
: 上ACD = 上ECA + 上DCE = 90° ,
∵四边形ACFG 是平行四边形， :平行四边形ACFG 是矩形．
19 ．(1)4
(2)能， (3)能，1 s 或7 s
【分析】本题是四边形综合题， 主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的 性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据当BP = CQ 时，四边形PBCQ 为矩形，列出方程，求出解即可；
（2）根据当BQ = DQ 时，四边形PBQD 为菱形，在Rt△BCQ 中，根据勾股定理列出方程， 求出解即可；
（3）先作出辅助线，表示 PE ，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点 P、Q 分别从点A 、C 同时出发，速度相同．
:PA = CQ = tcm ，
∵四边形ABCD 为矩形，
: 上B = 上C = 90° , BPⅡCQ ，AB = CD = 8cm ，
:则BP = DQ = (8 - t)cm ， 根据题意得，
:四边形ABCD 为矩形，
: 上B = 上C = 90° , BPⅡCQ ，
:当BP = CQ 时，四边形PBCQ 为矩形， 8 - t = t ，
解得t = 4 ，
: t = 4 秒时，四边形PBCQ 为矩形， 故答案为：4；
（2）解：运动过程中，四边形PBQD 可以为菱形，
连接BQ 、PD ，
:点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，速度相同，
:PA = CQ ，
:四边形ABCD 为矩形， : ABⅡCD ，AB = CD :PBⅡDQ ，PB = DQ ，
:四边形PBQD 为平行四边形，
:当BQ = DQ 时，四边形PBQD 为菱形
在Rt△BCQ 中，CQ = tcm ，DQ = (8 - t)cm ，BC = 3cm : CQ2 + BC2 = BQ2
即t2 + 32 = (8 - t)2
解得 ，
:运动时间为s 时，四边形PBQD 为菱形．
（3）点 P 和点Q 的距离可以是3 cm ， 过点Q 作QE 丄 AB于点E ，
则四边形EBCQ 为矩形，
: CQ = BE = tcm ，AP = tcm ，
:PE = AB - AP - BE = (8 - 2t)cm ，
在Rt△PEQ 中，有PE2 + QE2 = PQ2 ，
解得t1 = 1 ，t2 = 7 ．
:当运动时间为1 s 或7 s 时，点P 和点Q 的距离是3cm ．
20 ．(1)见解析
(2)见解析
(3) /2
【分析】（1）利用 ASA 证明△ ADO ≌△ BEO 即可；
（2）延长 BC 至 F，且使 CF = BE ，连接 AF 、DF ，利用SAS 证明△ABF ≌△DCE ，得出
上DEC = 上AFB ，由 MN 为△AEF 的中位线得MN Ⅱ AF ，利用平行线的性质即可证明
上HNB = 上AFB = 上HEB ；
（3）过点B 作BQ 丄 BP 交DE 于Q，利用ASA 证明△ BEQ ≌△ BAP ，推出PA = QE ，QB = PB ， 即可证明 △PBQ 是等腰直角三角形，则
【详解】（1）证明：:四边形ABCD 是正方形， : AD Ⅱ BC ，AB = AD ，
: 上DAB = 上ABE ，上ADO = 上BEO ，
: AB = BE ，
: AD = BE ，
: △ADO≌△BEO (ASA ) ， : AO = BO ；
（2）证明：延长 BC 至 F，且使 CF = BE ，连接 AF 、DF ，如图 1 所示：
则BF = CE ，
:四边形ABCD 是正方形，
: AB = DC ，AD Ⅱ BC ，上BAD = 上ABC = 上DCB = 90° , 在△ABF 和 △DCE 中，
ï
ì AB = DC
í上ABC = 上DCB ， ïl BF = CE
: △ABF≌△DCE (SAS) ， : 上DEC = 上AFB ，
: EB = CF ，BN = CN ， :N 为EF 的中点，
: MN 为△AEF 的中位线， : MN Ⅱ AF ，
: 上HNB = 上AFB ， : 上DEC = 上HNB ， 即上HEB = 上HNB ；
（3）解：过点 B 作BQ 丄 BP 交DE 于 Q，如图 2 所示：
则上PBQ = 90° ,
: 上ABE = 180° - 上ABC = 90° ,
:上EBQ = 上ABP ，
: ADⅡBC ，
:上ADP = 上BEQ ，
: AP 丄 DE ，上BAD = 90° ,
由角的互余关系得：上BAP = 上ADP ， :上BEQ = 上BAP ，
在 △BEQ 和△BAP 中，
: △BEQ≌△BAP (ASA )，
:PA = QE ，QB = PB ，
: △PBQ 是等腰直角三角形，
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与 性质、全等三角形的判定与性质等， 第 3 问有一定难度，正确作辅助线，证明 △PBQ 是等腰 直角三角形是解题的关键．