2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[广州专用 人教版九上第21~22章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[广州专用 人教版九上第21~22章]，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟，分值：120 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：人教版九上第 21~22 章．
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列方程是一元二次方程的是( )
A ．ax2 + bx + c = 0 B ．x2 - y +1 = 0
C ．x2 = 1 D ．
2 ．把方程x2 + 2x = 5x - 2化成一般式，则a ，b ，c 的值分别是( )
A ．1 ，-3 ，-2 B ．1 ，7 ，-2
C ．1 ，-5 ，2 D ．1 ，-3 ，2
3 ．函数y = -2(x -1)2 + 3 的顶点坐标是( )
A ．(-1, 3) B ．(1, 3) C ．(1, -3) D ．(-1, -3)
4 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + 6x + m = 0有实数根，则m 的取值范围是( )
A ．m < 9 B ．m ≤ 9 C ．m > 9 D ．m ≥ 9
5 ．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 36 元降到每件 25 元，设该商品平均每次 降价的百分率为x(x >0) ，则( )
A ．36(1- x)2 = 25 B ．25(1 - x)2 = 36
C ．25(1+ x)2 = 36 D ．36(1 + x)2 = 25
6 ．“科教兴国，强国有我” ．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水
火箭”的升空高度 h（单位：m ）与飞行时间 t（单位：s ）满足的关系为h = -t2 + 12t + 11．若“水 火箭”的升空高度为4.75m ，则此时的飞行时间为( )
A ．0.5s B ．2.5s C ．12.5s D ．0.5s 或12.5s
7 ．已知 m 是关于 x 的一元二次方程x2 - 3x + a + 2 = 0 的一个实数根，且满足 (m2 - 3m +1)(a +1) = -4 ，则 a 的值为( ).
A ．-3 B ．1 C ．-3 或-1 D ．-3 或 1
8 ．在同一平面直角坐标系中，函数y = ax + b 与函数y= bx2 - ax 的图象可能是( )
A ． B．
C．
D．
9 ．定义：由a, b 构造的函数y = ax3 + (a - b)x + b 叫做有序数对(a, b) 的“衍生函数” ．若有序 数对(a, b) 的“衍生函数”y = ax3 + 3x - a -1，当关于x 的方程ax2 + bx + m = 4 (m < 0) ．有三 个实数根时，m 的值为( )
A ．-1 B ．-2 C ．-3 D ．-4
10 ．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，对称轴是直线x = 1 ，下列结论：① abc < 0 ；②方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 必有一个根大于 2 且小于 3；③若(0, y1 ), , y2 ö,÷ 是抛
物线上的两点，那么y1 < y2 ；④对于任意实数m ，都有 m (am + b) ≥ a + b ，其中正确结论的 个数是( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11．若关于 x 的一元二次方程(a -1)x2 + (a + 4)x + a2 - 5a + 4 = 0 的一个解为x = 0 ，则 a 的值 是 ．
12 ．若 x1 ，x2 是一元二次方程x2 - x - 2 = 0 的两个根，则x - x1 - x1x2 的值是 ．
13 ．如图，二次函数y = ax2 + bx + c 的部分图象与 x 轴的一个交点的横坐标是-3 ，顶点坐标 为(-1, 4) ，二次函数图象与 x 轴的另一个交点的横坐标是 ．
14．如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐 标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间的关系是
, 则铅球推出的水平距离OA 的长是 m，铅球推出的过程中最大高 度是 m．
15．已知矩形的一边长为 2，另一边长为 1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的 2 倍，面积是已知矩形面积的k 倍(k > 0) ，则 k 的取值范围是 ．
16 ．已知抛物线y = -x2 + bx - 5(b > 0) 上有A(t, y1 ), B (3, y2 ), C (t + 2, y1 ) 三点，且 y1 > y2 > -5 ，则 t 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
17 ．解方程：
(1) x2 - 4x + 2 = 0 ；
(2) x2 + 6x - 7 = 0 ．
18 ．若一元二次方程的右边被墨水污染2x2 + 1 = ▊ .
(1)若方程的一个解为x = -1 时，求“▊”的值；
(2)若“▊”表示3x ，求 x ．
19．数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当x = -1 ，2，4 时，二次函数y = x2 + mx + n 的值，甲、乙两同学正确算得当x = -1 时，y = 6 ；当x =2 时，y = 3 ．丙同学由于看错了 n 而算得当x = 4 时，y = 5 ．
(1)求 m ，n 的值；
(2)丙同学把 n 看成了什么数？请你通过计算把它求出来．
20 ．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的， 其市场需求逐年上升．
(1)某品牌新能源汽车 1 月份销售量为 30 万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽 车的销售量逐月递增，3 月份的销售量达到 36.3 万辆．求从 1 月份到 3 月份该品牌新能源汽 车销售量的月平均增长率．
(2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为 12 万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时 间后发现：当该款汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 1 万元，平 均每周多售出 2 辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为 144 万元．为了推广新能 源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价．
21 ．已知抛物线y = ax2 - 2ax + 5 ．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线图象经过点(1, 6), t 是抛物线y = ax2 - 2ax + 5 与x 轴交点的横坐标，记
比较T 与 的大小．
22．为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其 布局如图所示．已知停车场的长为 52 米，宽为 34 米，阴影部分设计为停车位，其余部分是 等宽的通道，已知停车位占地面积为880m2 ．
(1)求通道的宽是多少米；
(2)该停车场共有 64 个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为 400 元时，可全部租出； 当每个车位的月租金每上涨 10 元时，就会少租出 1 个车位．
①当每个车位的月租金为500 元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元；
@当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车 位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入 10 元（每月 按 30 天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？
23 ．材料一：定义：若关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实数根x1, x2 ，且
满足 x1 + x2 = x1 . x2
,则称此类方程为“和积方程”．
例如： 即 解得
是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于 x 的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1 ，x2 ，则 这就是一元二次 方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程x2 - 5x + 6 = 0 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于 x 的方程x2 - (n + 3)x + 3n = 0 是“和积方程”，则 n = _____
(3)若关于 x 的一元二次方程x2 + (2m +1)x + m2 + 2m = 0 是“和积方程”，求 m 的值．
24．在矩形ABCD 中，AB = 10cm ，BC = 12cm ，点 P 从点 A 开始沿边AB 向终点 B 以2cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边BC 向终点 C 以4cm/s 的速度移动．如果 P、 Q 分别从 A 、B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动．设运动时间为 t 秒．
(1)填空：BQ = ________ cm ，PB = ________ cm （用含 t 的代数式表示）；
(2)当 t 为何值时，PQ 的长度等于10cm ？
(3)是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于104cm2 ？若存在，请求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由．
(4)是否存在 t 的值，使 △BPQ 的面积 S 最大，若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说 明理由．
25 ．已知抛物线 与x 轴交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴 交于点A ．
(1)判断△ABC 的形状，并说明理由．
(2)设点P(m, n)是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH丄 x 轴于H ，交 AC 于点Q ， 设四边形OAPC 的面积为 S，求 S 关于m 的函数关系式，并求使 S 最大时P 的坐标和 S 的最 大值；
1 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的 最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个 方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知 数且未知数的最高次数是 2．
【详解】解：A、当 a =0 时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C．
2 ．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式为ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中+bx 叫做一次项，+b 叫作一次项系数，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 及其相关概念，熟练掌握定义是 解题的关键．
【详解】解：由 x2 + 2x = 5x - 2 ， 得x2 - 3x + 2 = 0 ，
∴ a ，b ，c 的值分别是1 ，-3 ，2 ， 故选：D．
3 ．B
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，对于二次函数y= a (x - h)2 + k ，其顶点坐标为(h, k ) ， 根据二次函数的顶点式形式，直接读出顶点坐标即可．
【详解】解： 函数y = -2(x -1)2 + 3 的顶点坐标是(1, 3) ． 故选：B．
4 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 若 Δ = b2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数根，若 Δ = b2 - 4ac = 0，则方程有两个相等 的实数根，若 Δ = b2 - 4ac < 0，则方程无实数根．根据方程的系数结合根的判别式
Δ = b2 - 4ac ≥ 0，得出关于 m 的一元一次不等式，并解不等式得出m 的取值范围． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x2 + 6x + m = 0有实数根，
: Δ = 62 - 4× 1 . m = 36 - 4m ≥ 0 ， : m ≤ 9 ．
故选：B．
5 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用．解题的关键是理解连 续两次降价的含义，根据原价、降价百分率和现价之间的关系列出方程．
分析商品降价过程：原价为每件36 元，平均每次降价的百分率为 x，第一次降价后价格为 36 (1- x)元；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后价格为
36 (1- x )(1- x ) = 36 (1- x )2 元，而现价为25 元，由此可列出方程．
【详解】解：已知商品原价为每件 36 元，平均每次降价的百分率为 x． 第一次降价后，商品价格为36(1- x)元；
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后，商品价格为
36 (1- x ). (1- x ) = 36 (1- x )2 元．
又因为经过连续两次降价后，售价为每件25 元， 所以可列方程为36(1- x )2 = 25 ．
故选：A．
6 ．C
【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把h = 4.75m 代入 h = -t2 + 12t + 11，化为一元二次方程，求解即可．
【详解】解：将 h = 4.75m 代入h = -t2 + 12t + 11，得
-t2 +12t +11 = 4.75 ， 即t2 -12t - 6.25 = 0
(t + 0.5)(t -12.5) = 0 ，
解得t = -0.5 （不符合题意，舍去），或 t = 12.5 ．
故选 C．
7 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题 意可求得 m2 - 3m = -a - 2 ，a ≤ , 从而可得出方程 (-a - 2 +1)(a +1) = -4 ，解方程即可得解， 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵m 是关于 x 的一元二次方程x2 - 3x + a + 2 = 0 的一个实数根， : m2 - 3m + a + 2 = 0 ， Δ = (-3)2 - 4× 1 × (a + 2) ≥ 0 ，
: m2 - 3m = -a - 2 ，a ≤ , ∵ (m2 - 3m +1)(a +1) = -4 ，
:(-a - 2 +1)(a +1) = -4 ， 整理可得：a2 + 2a - 3 = 0 ，
解得：a = -3 或a = 1， ∵ a ≤ ,
: a = -3 ，
故选：A．
8 ．A
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据 a、b 的正负不同，则函数y = ax + b 与函数y= bx2 - ax 的图象所在的象限也不同，针对 a 、b 进行分类讨论，从而可以选出正确 选项．
【详解】解： 若a > 0 ，b > 0 ，则y = ax + b 经过一、二、三象限， y = bx2 - ax 开口向上，对
-a a
称轴为- = > 0 ，在 y 轴右侧，故 A 正确、C 错误；
2b 2b
若 a < 0 ，
-a a - =
2b 2b
b < 0 ，则 y = ax + b 经过二、三、四象限，y = bx2 - ax 开口向下，对称轴为
> 0 ，在 y 轴右侧，故 B 、D 错误；
故选：A．
9 ．C
【分析】本题综合考查了函数的定义以及一元二次方程根的判别式等知识，首先根据“衍生 函数”的定义，即可求出a 和 b 的值，a = 1，b = -2 ，然后把 a 和 b 的值代入关于 x 的方程
ax2 + bx + m = 4 (m < 0) ，得到 x2 - 2x + m = 4或x2 - 2x + m = -4 ，根据根的判别式，其中一
个方程根的判别式 Δ = 0 ，即可求得 m 的值．
【详解】解：“衍生函数”的定义，有序数对(a, b) 的“衍生函数”是y = ax3 + 3x - a -1，
,
: a - b = 3，- a -1 = b : a = 1，b = -2 ，
将a = 1，b = -2 代入
ax2 + bx + m = 4 ，得
x2 - 2x + m = 4 ，即x2 - 2x + m = 4或x2 - 2x + m = -4 ，
对于一元二次方程x2 - 2x + m - 4 = 0 ，其根的判别式Δ1 = 4 - 4m +16 = 20 - 4m ，
对于一元二次方程x2 - 2x + m + 4 = 0 ，其根的判别式Δ2 = 4 - 4m -16 = -12 - 4m ，
∵方程
x2 - 2x + m = 4 有三个实数根，所以其中一个方程根的判别式 Δ = 0 ，
:若 D1 = 0 ，即 20 - 4m = 0 ．解得m = 5 （不满足 m < 0 ，舍去）．
若Δ2 = 0 ，即-4m -12 = 0 ，解得m = -3 ，当m = -3 时， Δ1 = 32 > 0 ，满足m < 0 ，且满足关 于 x 的方程ax2 + bx + m = 4 (m < 0) 有三个实数根．
故答案为：C．
10 ．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， 包括开口方向、对称轴、与坐标轴交点， 结合 图象信息分析系数符号、利用对称性判断交点位置、通过距离对称轴远近比较函数值大小以 及转化不等式验证恒成立问题是解题的关键．
由抛物线开口向上得a > 0 ，对称轴x =1 得b= -2a < 0 ，与y 轴交于负半轴得c < 0 ，据此判 断①；根据抛物线与 x 轴交点关于对称轴对称，结合已知交点范围判断②；通过两点到对 称轴的距离及开口方向比较函数值大小判断③；将b= -2a 代入m (am + b) - (a + b) 结合平方 非负性判断④ .
【详解】解：Q 抛物线开口向上， : a > 0 ；
Q对称轴为x = 1 ，即 ， : b = -2a < 0 ；
Q 抛物线与y 轴交于负半轴， : c < 0 ；
: abc > 0 ，故①错误．
Q 抛物线的一个根与 x 轴交于-1和0 之间，且对称轴为x = 1， : 另一个根在必然大于 2 小于 3，故②正确．
Q对称轴为x =1 ，点(0, y1 ) 到对称轴的距离为 1，点到对称轴的距离为 ，抛物线开 口向上，
: y1 > y2 ，故③错误．
Q b = -2a ，
:m(am + b) - (a + b)
= am2 + bm - a - b
= am2 - 2am - a + 2a
= am2 - 2am + a
= a (m -1)2 ≥ 0 ，
: m(am + b) ≥ a + b ，故④正确． 综上，正确结论为②④,共 2 个． 故选：A．
11 ．4
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得a2 - 5a + 4 = 0 ， a -1 ≠ 0 ，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程(a -1)x2 + (a + 4)x + a2 - 5a + 4 = 0 的一个解为x = 0 ， : a2 - 5a + 4 = 0 ，a -1≠ 0 ，
解得a = 4 ，
故答案为：4 ．
12 ．4
【分析】根据题意，得 x1.x2 = -2 ，x12 - x1 - 2 = 0 ，变形代入 x - x1 - x1x2 ，计算解答即可．
本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题 的关键．
【详解】解： x1 ，x2 是一元二次方程x2 - x - 2 = 0 的两个根，
则x1.x2 = -2 ，x12 - x1 - 2 = 0 ，
: x12 - x1 = 2 ，
: x - x1 - x1x2 = 2 - (-2) = 4 ，
故答案为：4．
13 ．1
【分析】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质， 解题时要熟练掌握并能灵 活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数y = ax2 + bx + c 的顶点坐标知对称轴 是直线x = -1 ，又图象与 x 轴的一个交点的横坐标是-3 ，从而根据对称性可得，二次函数 图象与 x 轴的另一个交点的横坐标．
【详解】解：由题意，Q 二次函数y = ax2 + bx + c 的顶点坐标为(-1, 4) ， :对称轴是直线x = -1 ．
又Q 图象与 x 轴的一个交点的横坐标是-3 ，
:二次函数图象与 x 轴的另一个交点的横坐标为：-1+ (-1+3) = 1 ． 故答案为：1．
14 ． 10 3
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由图可知，要求OA 的长实际是需要点A 的 横坐标，已知点 A 的纵坐标为 0，将y = 0 代入函数的解析式，求出 x 的值，再舍去不符合实 际的一个 x 的值即可；要求铅球推出的过程中最大高度，即求得顶点的纵坐标即可．
解：将y = 0 代入
整理得：x2 - 8x - 20 = 0 ， (x -10)(x + 2) = 0 ，
解得：x = 10 或x = -2 （舍去）
:铅球推出的水平距离OA 的长是10m ．
:顶点的坐标为(4, 3)，
:当x = 4 时，y 有最大值，最大值为 3， :铅球推出的过程中最大高度是3m ．
故答案为：10；3．
15 ．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，不等式的应用．根据题意得到矩形周长为 12， 面积为2k ，设矩形的一边长为x ，则另一边为(6 - x)，则x (6 - x) = 2k ，即x2 - 6x + 2k = 0 ， 根据方程有实数根列出不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为 (2 +1)×2 × 2 = 12 ，面积为 2k ， 设矩形的一边长为x ，则另一边为(6 - x)，
则x (6 - x) = 2k ，
整理得：x2 - 6x + 2k = 0 ， 由题意得原方程有实数根，
:(-6)2 - 4× 1 × 2k = 36 - 8k ≥ 0 ，
:k ≤ . 又Q k > 0 ，
即k 的取值范围为：0 < k ≤ .
或t > 3
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次 函数的性质是关键．依据题意，由-1 < 0 ，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又 抛物线过A(t, y1 ), C (t + 2, y1 )，可得对称轴是直线 又y1 > y2 > -5 ，且抛物
线过(0, -5)，故
t +1- 0 >
t +1- t
t +1- 3 >
,再分类讨论判断即可得解．
【详解】解：由题意，∵ -1< 0 ，
:抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵抛物线过A(t, y1 ), C (t + 2, y1 )， :对称轴是直线
又∵y1 > y2 > -5 ，且抛物线过(0, -5)， : t +1- 0 > t +1- 3 > t +1- t ．
: t +1 > t - 2 > 1 ．
①当t > 2 时，t +1> t - 2 > 1， : t > 3 ；
②当-1 ≤ t ≤ 2 时，t +1 > 2 - t > 1，
③当t < -1 时，-t -1 > 2 - t > 1 ， :无解；
综上所述 或t > 3 ．
故答案为 或t > 3 ．
17 ．(1) x1 = 2 + ，x2 = 2 -
(2) x1 = -7，x2 = 1
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；
（1）把方程化为 x2 - 4x + 4 = 2 ，再利用配方法求解即可；
（2）把方程化为(x + 7)(x -1) = 0 ，再进一步求解即可.
【详解】（1）解： x2 - 4x + 2 = 0 ，
: x2 - 4x + 4 = 2 ， : (x - 2)2 = 2 ， : x - 2 = ± ,
: x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
（2）解：x2 + 6x - 7 = 0 ， : (x + 7)(x -1) = 0 ，
: x1 = -7，x2 = 1 .
18 ．(1) 3
【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的 解，解一元二次方程的方法．
（1）把 x = -1 代入2x2 + 1，解出▊,即可；
（2）根据题意，可得方程为 2x2 + 1 = 3x ，解出方程，即可． 【详解】（1）解：把 x = -1 代入2x2 + 1，
: 2 × (-1)2 +1 = 3 ， :“▊”的值为3 ．
（2）解：由题意得，方程为 2x2 + 1 = 3x ， : 2x2 - 3x +1 = 0 ，
: Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4× 2 × 1 = 1，
: x1 = 1 ，x2 = ．
(2)丙同学把 n 看成了-3
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，理解题意是解题的关键．
（1）把 x = -1 ，y = 6 和x = 2 ，y = 3 分别代入y = x2 + mx + n ，列出方程组求出 m ，n 的值 即可；
（2）由 m = -2 得y = x2 - 2x + n ，代入 x = 4 ，y = 5 求出此时n 的值，即可解答． 【详解】（1）解：把 x = -1 ，y = 6 和x = 2 ，y = 3 分别代入y = x2 + mx + n ，
得 í ,
ì 1- m + n = 6
l4 + 2m + n = 3
解得： í ;
ln = 3
ìm = -2
（2）解：由 m = -2 得y = x2 - 2x + n ， 把x = 4 ，y = 5 代入，得16 - 8 + n = 5 ， 解得n = -3 ，
所以丙同学把 n 看成了-3 ．
20 ．(1)10%
(2)20 万元
【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法 分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．
（1）设 1 月份到 3 月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x ， 则30(1+ x )2 = 36.3 ，直接开平方求解即可得到答案；
（2）设下调后每辆汽车降低a 万元，由等量关系列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设 1 月份到 3 月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x ， 则30(1+ x )2 = 36.3 ，
则x +1 = 1.1 或x +1= -1.1，
解得x1 = 0.1 = 10%，x2 = -2.1 （负值不符合题意，舍去），
答：1 月份到 3 月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 10%；
（2）解：设下调后每辆汽车降低a 万元， 则(25 - a -12)(8 + 2a ) = 144 ，
整理得a2 - 9a + 20 = 0 ， :(a - 5)(a - 4) = 0 ，
则 a - 5 = 0 或 a - 4 = 0 ， 解得a1 = 5，a2 = 4 ，
Q 此次销售尽量让利于顾客，
: a 应取5 ，
:25 - a = 25 - 5 = 20 （万元），
答：下调后每辆汽车的售价为 20 万元．
21 ．(1) x = 1
当 时 当 时 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式 求解即可．
（2）将已知点(1, 6) 代入解析式求 a，求出函数的解析式，然后令 y = 0 求 t 值，再对t 5 进行 变形化简，得出 T 关于 t 的表达式，最后分情况比较 T 与 的大小．
【详解】（1）解：Q 抛物线为y = ax2 - 2ax + 5 ，
:对称轴为直线x = - = 1 ． 即抛物线的对称轴为直线x = 1 ．
（2）解：Q 图象经过点(1, 6) ，把 (1, 6) 代入y = ax2 - 2ax + 5 ，则 6 = a × 12 - 2a × 1+ 5
解得：a = -1 ，
故抛物线解析式y = -x2 + 2x + 5 ，
Qt 是抛物线y = -x2 + 2x + 5 与x 轴交点的横坐标，
:0 = -t2 + 2t + 5 ，
解得：t = 1± ,
:t2 = 2t + 5 ，
2
= (28t + 45). t = 28t2 + 45t = 28 (2t + 5) + 45t
= 56t +140 + 45t = 101t +140 ，
:T = = = ，故
【点睛】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式， 抛物线与x 轴的交点以及代数 式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对t5 进行合理变形 ．
22 ．(1)通道的宽是 6 米；
(2)①此时月租金总收入为 27000 元；②每个车位月租金上涨 270 元时，停车场的总收入最 高，最高是 32890 元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、 一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵 活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，设通道的宽是x 米，则阴影部分可合成长为(52 - 2x) 米，宽为(34 - 2x) 米的 长方形，根据停车位占地面积为880m2 ，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意 的值，即可得出结论；
（2）①依据题意，由每个车位月租金从 400 元涨到 500 元，则上涨了(500 - 400) ÷ 10 = 10 个 10 元，故少租出 10 个车位，即租出的车位数量为64 -10 = 54 ，进而可以计算得解；
②依据题意，设每个车位的月租金上涨m 元，停车场的总收入为y 元，则可租出 个车位，进而可得 再结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】（1）解：设通道的宽是x 米，则阴影部分可合成长为(52 - 2x) 米，宽为(34 - 2x) 米 的长方形，
根据题意得：(52 - 2x)(34 - 2x) = 880 ， : x1 = 6, x2 = 37 （不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是 6 米．
（2）解：①由题意，:每个车位月租金从 400 元涨到500 元， :上涨了(500 - 400) ÷ 10 = 10 个 10 元，
:少租出 10 个车位，即租出的车位数量为64 -10 = 54 ．
:此时月租金总收入为500× 54 = 27000 （元）．
②由题意，设每个车位的月租金上涨m 元，停车场的总收入为y 元，
:可租出个车位．
:当m = 270 时，y 取得最大值，最大值为 32890，
:每个车位月租金上涨 270 元时，停车场的总收入最高，最高是 32890 元．
23 ．(1)不是
(3)m 的值为-1或 - 2 或- - 2 ．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新 定义是解题的关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到n + 3 = 3n ，据此计算即可求解；
（3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到 2m + 1 = m2 + 2m ，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程 x2 - 5x + 6 = 0 的两个实数根为 x1 ，x2 ，
: 5 ≠ 6 ，
: x1 + x2 ≠ x1 . x2 ，
:方程x2 - 5x + 6 = 0 不是“和积方程”， 故答案为：不是；
（2）解：:关于 x 的方程x2 - (n + 3)x + 3n = 0 是“和积方程” ， x1 + x2 = n + 3 ，x1 . x2 = 3n ， : n + 3 = 3n ，
当n + 3 = 3n 时，解得
当n + 3= -3n 时，解得
（3）解：:方程x2 + (2m +1)x + m2 + 2m = 0 有两个实数根， : Δ = (2m + 1)2 - 4(m2 + 2m) ≥ 0 ，
:方程x2 + (2m +1)x + m2 + 2m = 0 是“和积方程”，
: 2m + 1 = m2 + 2m ， 当2m + 1 = m2 + 2m 时， 整理得m2 = 1，
解得m = 1（舍去）或 m = -1； 当2m + 1 = -m2 - 2m 时，
整理得m2 + 4m +1 = 0 ，
解得m = - 2或m = - - 2 ；
:m 的值为-1或 - 2 或- - 2 ．
24 ．(1) 4t ，10 - 2t
(2) t = 0 或 2
(3)存在，t = 1秒
(4)存在，t =
【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；
（2）利用勾股定理得到方程 (4t)2 + (10 - 2t)2 = 102 ，求解即可得到结果；
（3）根据长方形 ABCD 的面积减去 △PBQ 的面积等于五边形APQCD 的面积，列出方程， 然后求解即可得到结果；
（4）根据（3）可知 △PBQ 的面积为 据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意：BQ = 4tcm, PB = (10 - t)cm ，
故答案为4t, (10 - t) ．
（2）解：由题意得：(4t)2 + (10 - 2t)2 = 102 ，
解得：t1 = 0 ，t2 = 2 ．
:t = 0 或 2 时，PQ = 10 ；
（3）解：存在 t = 1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于104cm2 ．
理由如下：长方形ABCD 的面积是：10 × 12 = 120 (cm2 ) ， Q 五边形APQCD 的面积= 104cm2 ，
:S△PBQ = 120 -104 = 16cm2 ，
解得：t1 = 4 （不合题意舍去）， t2 = 1 ．
即当t = 1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于104cm2 ．
（4）解：由题意得 S = × BQ . PB =
: 当 时， △BPQ 的面积最大．
【点睛】本题考查动态几何问题， 矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用 参数构建方程解决问题是解题的关键．
25 ．(1)△ABC 是直角三角形
(2) S = - (m - 2)2 + 8 ，S 的最大值为 8 ，P(2,3)
【分析】本题考查待定系数法， 二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，综合运用相 关知识是解题的关键．
（1）根据二次函数解析式求出点 A，B ，C 的坐标，表示出OA ，OB ，OC 的长度，根据勾 股定理求出AB ，BC ，AC ，利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）根据 A ，C 的坐标可得出直线AC 的解析式，由点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标，根据 S四边形OAPC = S△OAC + S△APC 可表示出四边形OAPC 的面积，利用二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解： △ABC 是直角三角形，理由如下：
∵抛物线+ 2 与 x 轴交于点 B 、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），与 y 轴交于点 A．
: 当 x = 0 时， y = 2 ，
则x = -1 或x = 4 ，
: A(0, 2) ，B(-1,0) ，C(4,0) ，
: OA = 2 ，OB = 1 ，OC = 4 ，
: AB2 + AC2 = BC2 ，
: △ABC 是直角三角形，且上BAC = 90° .
（2）解：设直线 AC 的解析式的解析式为：y = kx + b ， ∵直线AC 过点A(0, 2) ， C(4,0) ，
解得：
:直线AC 的解析式的解析式为： ∵点P(m, n)是抛物线在第一象限部分上的点，
∵ PH 丄 x 轴，PH 交直线AC 于点 Q，
: S四边形OAPC = S△OAC + S△APC = -m2 + 4m + 4 = - (m - 2)2 + 8 ， 即 S 关于 m 的函数关系式为S = - (m - 2)2 + 8 ，
: 当m = 2 时，S 的最大值为 8，此时P(2,3) ．