2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[武汉专用 人教版九上第21章~第22章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[武汉专用 人教版九上第21章~第22章]，共38页。试卷主要包含了填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年七年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟，分值：120 分）注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：人教版 2012 第 21 章~第 22 章．
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )
A ．x + = 2 B ．2x2 - x = 1 C ．3x3 = 1 D ．xy = 2
2．把方程x2 - 6x = 3 (x - 2) 化成ax2 + bx + c = 0 的形式，其中a、b、c 的值分别是( )
A ．1 ，3 ，2 B ．1 ，-3 ，6 C ．1 ，-9 ，-6 D ．1 ，-9 ，6
3 ．已知 a 是方程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根，则(a + 4)(a -1) 的值为( )
A ．1 B ．3 C ．-3 D ．-5
4 ．关于 x 的一元二次方程x2 + 4x - 2m = 0 中，若m < -3 ，则该一元二次方程根的 情况为( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 D ．无法判断
5 ．将抛物线y = ax2 - 4ax + c (a < 0) 向左平移t (t > 0) 个单位长度后得到新抛物线，若 新抛物线与直线l 相交于P (t, m) ，Q (t - 2, m)，则 t 的值为( )
A ．3 B ．2 C ． D ．
6 ．二次函数y = ax2 + bx 的图象如图所示，则一次函数y = x + b 的图象一定不经过 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7 ．已知二次函数y = -mx2 + 2(m + 1)x + 3 的图象上有四个点：
A(a, p), B(b, p), C(c, q), D(d, q) ，其中 p < q ，下列结论一定不正确的是( )
A ．若m > 1，则a + b + c + d > 0 B ．若m > 1，则 d < a < b < c
C ．若m < -1，则a + b + c + d > 0 D ．若m < -1，则c < b < a < d
8 ．如图，某养鸡户用一段14m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m ）的矩 形鸡舍ABCD ，其面积为 28m2 ．在鸡舍的AB 边中间位置留一个1m 宽的门（由其 他材料制成），则 BC 的长为( )
A ．3.5m 或4m B ．7m 或8m C ．4m D ．7m
9．关于x 的一元二次方程有一个根是 -1，若二次函数 的图象的顶点在第一象限，设t = 2a + b ，则 t 的取值范围是( )
A ． B ． C ． D ．
10．如图，抛物线y = x2 - 4x + 3 与y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，E，线段CD 在 抛物线的对称轴上移动（点 C 在点 D 下方），且CD = BE ．当AD + BC 的值最小时， 点 C 的坐标是( )
A ．(2,1) B ．(çè 2, C ．(çè 2, D ．(çè 1,
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）．
11 ．写出一个开口向上，且与y 轴的正半轴相交的抛物线的表达式：
12 ．二次函数y = x2 -2x+1在-5 ≤ x ≤ 3范围内的最大值与最小值的差为 ．
13．用公式法解一元二次方程，得 则该一元二次方程是 ．
14．若一个三角形的两条边分别是 5 和 7，另一条边是一元二次方程x2 -10x +16 = 0 的根，则这个三角形的周长为 ．
15 ．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手 78 次，则这次 会议参加的人数是 ．
16 ．函数y = x2 + 2x + b （ b 为常数）有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是 直线x = -1 ；②当函数最小值为0 时，b = 1 ；③若-1 < x < 0时， y 随x 的增大而减 少，则b = 0 ；④若关于x 的方程x2 + 2x + b = m 有四个实数根，则这四个根之和一 定为-4，其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题（共 8 小题，共 72 分，下列各题需要写出文字说明、证明过程、演 算步骤或画出图形）
17 ．已知一元二次方程(a - 3)x2 - 4x + 2 = 0 ．
(1)若方程的一个根为x = -1，则a 的值为______；
(2)若方程有相等的实数根，求a 的值．
18 ．如图，抛物线y = -x2 + mx + 6经过点M (-4, 6)．
(1)求m 的值，并求出此抛物线的顶点坐标．
(2)当-4 ≤ x ≤ 1 时，求y 的取值范围．
19．已知关于x 的一元二次方程(a + c)x2 - 2bx + (a - c) = 0 ，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．
(1)如果x = 1 是方程的根，试判断 △ABC 的形状，并说明理由；
(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20 ．景点商店销售某种纪念品，每件成本为 50 元，经市场调研，该纪念品的月 销售量y （件）与销售单价x （元）(x ≥ 50) 之间满足一次函数关系，其图像如图 所示．
(1)求该纪念品的月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
(2)若商店某月销售这种纪念品共获利 12000 元，求该纪念品当月的销售单价．
21 ．如图，正方形ABCD 的顶点 A 在抛物线y = x2 上，顶点 B ，C 在 x 轴的正半轴 上，且点 B 的坐标为(1,0) ．
(1)求点 D 的坐标；
(2)将抛物线y = x2 沿 x 轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点 B，求平移
后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点 D 在新抛物线上吗？
22．课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y = (x + t - 6)(x - t + 2) 的最值问题．
(1)当t = 3 时，求该二次函数的最值．
(2)当t 取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面
存在一个最大值，这个最大值为 0 ．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由．
23 ．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的 一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部（原
点 O 处），石块从投石机竖直方向上的点 C 处被投出，在斜坡上的点A 处建有垂 直于水平面的城墙AB ．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50, 25) ， OC = 5，OD = 75，AD = 12，AB = 9 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．
24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L1 : y = ax2 - 2ax + a - 4(a > 0) 与 x 轴交于 点 A、B（点 A 在点 B 的左边），与y 轴交于点 C，顶点为 D；抛物线L2 与抛物线 L1 关于y 轴对称，抛物线L2 与 x 轴交于点 M、N（点 M 在点 N 的左边）．
(1)用配方法求抛物线L1 : y = ax2 - 2ax + a - 4(a > 0) 的顶点坐标；
(2)求线段AM 的长；
(3)如果BN = AN ，平移抛物线L1 : y = ax2 - 2ax + a - 4(a > 0) ，使所得新抛物线的顶点 E 在其关于y 轴对称抛物线L2 的对称轴上，当 时，求平移后新抛物线的 表达式．
1 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是 2 的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【详解】解：A ．x + = 2 不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
B ．2x2 - x = 1 符合一元二次方程定义，是一元二次方程；
C ．3x3 = 1 中未知数 x 的最高次数是 3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
D ．xy = 2 中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B．
2 ．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的 关键．把方程x2 - 6x = 3 (x - 2) 化成ax2 + bx + c = 0的形式，即可求解．
【详解】解：把方程x2 - 6x = 3 (x - 2) 化成ax2 + bx + c = 0的形式：x2 - 9x + 6 = 0 ，其中a、b、c 的值分别是 1 ，-9 ，6，
故选：D．
3 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据 a 是方 程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根，可得出a2 + 3a = 1，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵a 是方程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根， : a2 + 3a = 1
: (a + 4)(a -1) = a2 + 4a - a - 4 = a2 + 3a - 4 = 1- 4 = -3 故选：C．
4 ．C
【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与
Δ = b2 - 4ac 有如下关系：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两 个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根．
先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2 + 4x - 2m = 0 中a = 1 ，b = 4 ，c = -2m ， : Δ = b2 - 4ac = 42 - 4× 1 × (-2m) = 16 + 8m ，
∵ m < -3 ，
: Δ = 16 + 8m < 0 ，即方程无实数根．
故选：C．
5 ．C
【分析】本题考查了二次函数的平移以及二次函数的性质， 先求出平移前后的对称轴，然后 根据平移的性质列方程求解即可．
【详解】解：y = ax2 - 4ax + c (a < 0) 的对称轴是直线 ．
∵新抛物线与直线l 相交于P (t, m) ，Q (t - 2, m)， :新抛物线对称轴是直线，
∵抛物线y = ax2 - 4ax + c (a < 0) 向左平移t (t > 0) 个单位长度后得到新抛物线， : 2 - t = t -1，
故选 C．
6 ．D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a 、b 的正负情况，再由一次函数的 性质解答．
【详解】解：由图象开口向下可知 a < 0 ，
由对称轴 得b > 0 ．
:一次函数y= x + b 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a 、b 的正 负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
7 ．D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质， 已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性 质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据m > 1或m < -1 来判断出 对称轴在x 轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析， 即可作答．
【详解】解：∵ y = -mx2 + 2(m + 1)x + 3 ， :对称轴为直线 当m > 1时，则-m < 0 ，
:函数的图象开口向下 : > 0 ，
此时对称轴在x 轴的正半轴，抛物线的开口方向向下， :越靠近对称轴的x 所对应的函数值越大，
∵ A (a，p ) , B (b，p ) , C (c，q ) ，D (d，q ) ，
:点A 与点B 关于对称轴对称，点 C 与点 D 关于对称轴对称，
a + b c + d
: > 0, > 0 ，
2 2
a + b c + d
: + > 0 ，
2 2
即a + b + c + d > 0 ，故 A 选项不符合题意；
∵ p < q ，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越大，
: d < a < b < c 或 d < b < a < c 或 c < b < a < d 或 c < a < b < d ， 故 B 选项不符合题意；
当m < -1 时，则0 > m +1 ， : > 0 ，
此时对称轴在x 轴的正半轴，抛物线的开口方向向上， :越靠近对称轴的x 所对应的函数值越小，
∵ A (a，p ) , B (b，p ) , C (c，q ) ，D (d，q ) ，
:点A 与点B 关于对称轴对称，点 C 与点 D 关于对称轴对称，
a + b c + d
: > 0, > 0 ，
2 2
a + b c + d
: + > 0 ，
2 2
即a + b + c + d > 0 ，故 C 选项不符合题意；
∵ p < q ，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越小，
: a < d < c < b 或a < c < d < b 或b < c < d < a 或b < d < c < a ，
故 D 选项符合题意；
故选：D．
8 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设BC = xm ，则 根据矩形鸡 舍ABCD 的面积为28m2 ，列出关于x 的一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
解：设BC = xm ，则 根据题意得
整理得：x2 -15x + 56 = 0 ，
解得：x1 = 7 ，x2 = 8 ，
又Q 墙长7.5m ， :x = 7 ，
即BC 的长为7m ， 故选：D．
9 ．D
【分析】二次函数的图象过点(-1, 0) ，则 而t = 2a + b ，则 ,二次函数的图象的顶点在第一象限，则- > 0 ， - > 0 ，即可求解． 【详解】∵关于x 的一元二次方程ax2 + bx + = 0 有一个根是 -1，
:二次函数 的图象过点(-1, 0) ，
∵二次函数y = ax2 + bx + 的图象的顶点在第一象限， - > 0 ，
将 ，b = 代入上式得：
解得 ，
解得 或1< t < 3 ，
故： ， 故选 D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系， 以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
10 ．C
【分析】先求出点E(3, 0)，求出 BE = CD = 2 ，将点 A 沿y 轴向下平移2 个单位，得到点 F ，连接CE ，CF ，EF ，易证得四边形 CDAF 是平行四边形，于是可得AD = CF ，由轴 对称的性质可得BC = CE ，于是得到AD + BC = CF + CE ≥ EF ，即点C 是直线EF 与抛物线 对称轴的交点时，AD + BC 的值最小，利用待定系数法可求得直线EF 的解析式，然后求得 抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．
【详解】解：令 y = x2 - 4x + 3 = 0 ，
解得：x1 = 1, x2 = 3 ，
:B (1, 0) , E (3, 0) ，
:BE = 2 ，
QCD = BE ，
: CD = 2 ，
如图，将点A 沿y 轴向下平移2 个单位，得到点F ，连接CE ，CF ，EF ，
Q 点A 沿y 轴向下平移2 个单位得到点F ，
: AF = 2 ，
QCD = 2 ，
: AF = CD ，
Q 抛物线的对称轴∥y 轴，且线段CD 在抛物线的对称轴上，线段AF 在y 轴上， : CDⅡAF ，
: 四边形CDAF 是平行四边形， : AD = CF ，
Q 抛物线是轴对称图形， :BC = CE ，
: AD + BC = CF + CE ≥ EF ，
: 当F 、C 、E 三点共线，即点C 是直线EF 与抛物线对称轴的交点时，AD + BC 的值最小， 在抛物线y = x2 - 4x + 3 中，
令 x = 0 ，则 y = 3 ，
: A(0, 3)，
由平移的性质可得：点F 的纵坐标= 3 - 2 = 1 ， :F (0,1) ，
设直线EF 的解析式为y = kx + b ， 将E(3, 0) ，F (0,1) 代入，得：
解得：
:直线EF 的解析式为 ，
在抛物线y = x2 - 4x + 3 中，其对称轴为直线 要使AD + BC 的值最小，则点C 的坐标应满足 ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质， 轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y 轴的交点坐标，求抛物线与x 轴的交 点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组， 两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题 的关键．
11 ．y = x2 +1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系 是解题的关键．
由“开口向上，且与y 轴的正半轴相交”可得二次项系数大于 0，常数项大于 0，据此解答即 可．
【详解】解： 开口向上，且与y 轴的正半轴相交的抛物线的解析式满足条件：二次项系数大 于 0，常数项大于 0，
如：y = x2 +1，
故答案为：y = x2 +1（答案不唯一）．
12 ．36
【分析】此题考查了二次函数的性质， 二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理 解函数的开口方向确定最值是解题的关键．
将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算x = -5 时，当x =3 时的函数值，得到 函数值的范围即可．
【详解】解：Q y = x2 - 2x +1 = (x -1)2 ，
:抛物线开口向上，抛物线对轴为直线x =1 ，当 x =1 时，有最小值 0， 当x = -5 时，y = (x -1)2 = 36 ，
当x = 3 时，y = (x -1)2 = 4 ，
: 当-5 ≤ x ≤ 3 时，最大值为 36，最小值为 0，
: 二次函数y = x2 -2x+1在-5 ≤ x ≤ 3 范围内的最大值与最小值的差为：36 - 0 = 36 ． 故答案为：36．
13 ．3x2 + 5x +1 = 0
【分析】根据求根公式 确定出方程即可．
【详解】解：根据题意得：a = 3 ，b = 5 ，c = 1，
则该一元二次方程是3x2 + 5x +1 = 0 ， 故答案为：3x2 + 5x +1 = 0 ．
【点睛】本题考查的是利用公式法额一元二次方程方程，掌握求根公式： 是解本题的关键．
14 ．20
【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，然 后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的 周长．
【详解】解：x2 -10x +16 = 0 ， (x - 2)(x - 8) = 0 ，
x - 2 = 0 或 x - 8 = 0 ，
x1 = 2，x2 = 8 ，
①三角形的三边是 5 ，7 ，2， : 5 + 2 = 7 ，
:此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
@三角形的三边是 5 ，7 ，8，此时符合三角形三边关系定理， :三角形的周长是5 + 7 + 8 = 20 ，
故答案为：20．
15 ．13
【分析】设参加会议有 x 人, 每个人都与其他 (x-1) 人握手,共握手次数为 x(x-1),根据题意 列方程.
【详解】解：设参加会议有 x 人,依题意得:x(x-1)=78,
整理得:x2-x-156=0
解得x1 =13, x2 =-12,(舍去).
答: 参加这次会议的有 13 人, 故答案为 13.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程式解题的关键.
16 ．①④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， 解一元二次方程，由函数解析式可画出二次函 数大致图象，根据图象可判断①；由绝对值的性质可得 y = x2 + 2x + b ≥ 0 ，即得函数最小 值为0 ，可知当抛物线经过(0, 0) 时，b = 0 ；当抛物线不经过(0, 0) 时，b ≠ 0 ，据此可判断
@；根据函数图象可判断③；求出方程
x2 + 2x + b = m 可判断④,综上即可求解，掌握数
形结合思想是解题的关键．
【详解】解：: b 为常数，对一次函数的对称性不具有影响，
如图，函数y = x2 + 2x + b的图象具有对称性，对称轴是直线x = -1 ，故①正确；
: y = x2 + 2x + b ≥ 0 ，
:函数最小值为0 ，此时 b = -x2 - 2x ，
当抛物线经过(0, 0) 时，b = 0 ；当抛物线不经过(0, 0) 时，b ≠ 0 ，故@错误；
由图象可知，若-1 < x < 0 时，y 随x 的增大而减少，则b 可以取任意实数，故③错误；
若关于x 的方程
x2 + 2x + b = m 有四个实数根，
当x2 + 2x + b = m 时，解得x1 = -
当x2 + 2x + b = -m 时，解得x3 =
1+
- -m - b +1
, x2 = -1
-1 ，x4 =
- m - b +1
-m - b +1
,
-1，
∴ x1 + x2 + x3 + x4 = -4 ，故④正确；
∴正确的结论是①④ , 故答案为：①④.
17 ．(1) a = -3
(2) a = 5
【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式 求法，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键．
（1）将 x = -1 代入一元二次方程(a - 3)x2 - 4x + 2 = 0 ，即可求出a 的值；
（2）根据“方程有相等的实数根”可得 Δ = 0 ，再结合二次项系数a - 3 ≠ 0 ，即可求出a 的值． 【详解】（1）解：方程的一个根为x = -1 ，
: a - 3 + 4 + 2 = 0 ，
解得：a = -3 ；
（2）解：根据题意，可得16 - 8(a - 3) = 0 且a - 3 ≠ 0 ，
解得：a = 5 ．
18 ．(1) m = -4 ，(-2,10)；
(2)1≤ y ≤ 10 ．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， 二次函数图象上点的坐标特征等知识，掌握相 关知识是解题的关键．
（1）根据题意，把M(-4, 6) 代入y = -x2 + mx + 6 得-16 - m + 6 = 6 ，解得 m = -4 ， 可得y = -x2 - 4x + 6 = - (x + 2)2 +10 ，即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）根据题意，由题意：y = - (x + 2)2 +10 ，得到抛物线开口向下，当x = -2 时，y 有最大
值10 ，当 x = -4 时，y = 6 ，当 x =1 时，y = 1，进而可以得出答案． 【详解】（1）解：把M(-4, 6) 代入y = -x2 + mx + 6 得：
-16 - m + 6 = 6 ，
解得：m = -4 ，
∴ y = -x2 - 4x + 6 = - (x + 2)2 +10 ，
:抛物线的顶点坐标为(-2,10)；
（2）解：由题意：y = - (x + 2)2 +10 ，
:抛物线开口向下，当x = -2 时，y 有最大值10 ， 当x = -4 时，y = - (-4 + 2)2 +10 = 6 ，
当x = 1 时，y = - (1+ 2)2 +10 = 1 ，
:当-4 ≤ x ≤ 1 时，求y 的取值范围是1≤ y ≤ 10 ．
19 ．(1)等腰三角形，理由见解析
(2) x1 = 0, x2 = 1
【分析】（1）将 x =1 代入方程，进行整理即可判断△ABC 的形状；
（2）根据等边三角形三边相等，用b 表示a, c ，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： △ABC 为等腰三角形，理由如下：
将x = 1 代入方程，得：(a + c) - 2b + (a - c) = 0 ， 整理，得：2a - 2b = 0 ，
即： a - b = 0 ， : a = b ，
: △ABC 为等腰三角形．
（2）解：: △ABC 是等边三角形， : a = b = c ，
: (a + c)x2 - 2bx + (a - c) = 0 ，
: (b + b)x2 - 2bx + (b - b) = 0 ，即：2bx2 - 2bx = 0 ， 2bx(x -1) = 0 ，
解得：x1 = 0, x2 = 1 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定 和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
20 ．(1) y = -20x + 2000
(2)70 或 80 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是：
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）令（1）中 y = 12000 ，然后解方程即可．
【详解】（1）解：设 y = kx + b ，代入(50,1000) ，(60,800)，
则 í
ì50k + b = 1000
.
l 60k + b = 800 解得
: y = -20x + 2000 ．
（2）解：(x - 50)(-20x + 2000) = 12000 ． 解得x1 = 70 ，x2 = 80 ，
答：当获利 12000 元时，该纪念品的销售单价是 70 或 80 元．
21 ．(1) (2,1) ；
(2) y = (x -1)2 ，原抛物线向右平移 1 个单位得到的，点 D 在新抛物线上．
【分析】（1）根据 AB 丄 BC ，B (1, 0)，点 A 在抛物线y= x2 上，得当x =1 时，y = 1，得 A (1,1) ， 得AB = 1，得CD = 1 ，OC = 2 ，即得D(2,1) ；
（2）根据抛物线 y= x2 沿 x 轴方向平移后经过点B(1, 0)，得平移后的抛物线表达式为 y = (x -1)2 ，抛物线向右平移 1 个单位．当x =2 时，y = 1，得点D(2,1) 在新抛物线上． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD 中，AB 丄 BC ，且B(1, 0)，点 A 在抛物线y= x2 上， :点A 的横坐标为 1，当 x =1 时，y = 1，
: A(1,1)，
: AB = 1，
: BC = CD = AB = 1 ， : OC = OB + BC = 2 ， ∵ CD 丄 BC ，
: D (2,1) ；
（2）解：∵抛物线y= x2 的顶点为原点，沿 x 轴方向适当平移后经过点 B，
:平移后的抛物线顶点为B(1, 0)，
:平移后的抛物线表达式为y = (x -1)2 ， :抛物线向右平移 1 个单位；
∵当x = 2 时，y = (2 -1)2 = 1， :点D(2,1) 在新抛物线上．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形， 熟练掌握抛物线性质，正方形性质，抛物线平移，点 和抛物线的位置关系，是解题的关键．
22 ．(1)最小值为-1；
(2)小滨的想法正确．理由见解析．
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，当 t = 3 时，y = (x - 2)2 -1，从而根据二次函数的性质求解即可；
（2）依据题意，由 y = (x - 2)2 - t2 + 8t -16 ，从而当 x =2 时，y 取最小值为
-t2 + 8t -16 = - (t - 4)2 ，进而根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，当 t = 3 时， y = (x + 3 - 6)(x - 3 + 2)
= (x - 3)(x -1)
= x2 - 4x + 3
= (x - 2)2 -1，
:当x =2 时，y 取最小值为-1；
（2）解：小滨的想法正确 ．理由如下：
由题意，y = (x + t - 6)(x - t + 2) = (x - 2)2 - t2 + 8t -16 ， :当x = 2 时，y 取最小值为-t2 + 8t -16 = - (t - 4)2 ．
∵ -1< 0 ，
:当t = 4 时，-t2 + 8t -16 有最大值 0，
:这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为 0．
故小滨的想法正确．
23 ．
(2)石块不能飞越城墙AB ，见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键．
（1）根据顶点坐标设出顶点式，将 C 点坐标代入求解；
（2）计算出x = 75 时对应的y 值，得出当到达城墙时，石块的高度，与BD 比较大小即可． 【详解】（1）解：:抛物线的顶点坐标是(50, 25) ，
:设抛物线的表达式为：y = a (x - 50)2 + 25 ， 将点C(0, 5) 代入得：5 = a (0—50)2 + 25 ，
:石块运动轨迹所在抛物线的表达式为
解：当x = 75 时
:当到城墙时，石块高度为20m ，
BD = AD + AB = 12 + 9 = 21(m)， : 20m 0) ，抛物线L2 与抛物线L1 关于y 轴对称， :抛物线L2 的解析式为L2 : y = a (x +1)2 - 4(a > 0)
当y = 0 时，0 = a (x +1)2 - 4 ，
解得
( 2 ö ( 2 ö ( 2 ö ( 2 ö
（3）由（2）得 Açè1- , 0,÷ , B èç1+ , 0,÷ , M çè-1- , 0,÷ , N çè-1+ , 0,÷ ,
: AN = BN ，
: A (-1, 0) , B (3, 0) ， : AB = 4 ，
: AE = 3 ，
∵抛物线L2 的对称轴为直线x = -1 ， :设E(-1, k) ，
: k = 3 ，得 k = ±3 ，
: E (-1, 3) 或E (-1, -3) ， ∵ a = 1
: y = (x +1)2 + 3 或y = (x +1)2 - 3 ，
:平移后新抛物线的表达式为y = x2 + 2x + 4 或y = x2 + 2x - 2 ．