2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[贵州专用 北师大版九上第1~2章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[贵州专用 北师大版九上第1~2章]，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：北师大版 2024 九年级上册第一章~第二章．
第一部分（选择题 共 36 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．在下列方程中，是一元二次方程的是( )
A ．x3 - x2 = 0 B ． C ．x2 = 2 + 3x D ．2x2 + y - 3 = 0
2 ．如图，在菱形ABCD 中，点O 为AC 和BD 的交点，则下列结论不一定成立的是( )
A ．AC = BD B ．AD = BC C ．OA = OC D ．AC ^ BD
3 ．下列各数中，哪个是方程x (2 - x ) = 1 的解( )
A ．-1 B ．1 C ．0 D ．2
4 ．如图，小红想将一张矩形纸片沿AD, BC 剪下后得到一个。ABCD ，若∠1 = 70° ,则 上2 的度数是( )
A ．20° B ．70° C ．80° D ．110°
5 ．已知一元二次方程x2 - 5x + 2m = 0 有一个根为 2，则另一根为( )
A ．-7 B ．-3 C ．7 D ．3
6 ．将方程x2 + 4x +1 = 0配方后，原方程变形为( )
A ．(x + 3)2 = 3 B ．(x + 4)2 = 3 C ．(x + 3)2 = -3 D ．(x + 2)2 = 3
7 ．下列说法正确的是( )
A ．四边相等的四边形是正方形
B ．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8．党的二十大报告指出：从 2020 年到 2035 年基本实现社会主义现代化，从 2035 年到本世 纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022 年我国GDP 约为
121 万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024 年我国GDP 约为 135 万亿元，若设每年 增长率为 x，则方程可列为( )
A ．121+121(1+ x) = 135 B ．121(1+ x) = 135
C ．121(1+ x)2 = 135 D ．121(1+ x) +121(1+ x)2 = 135
9 ．观察下列表格，可知一元二次方程：x2 - x = 1.2的一个近似解是( )
A ．x ≈0.24 B ．x ≈ 1.69 C ．x ≈ 1.71 D ．x ≈ 1.19
10．如图，四边形ABCD 是菱形，AC = 6 ，BD = 8 ，AE 丄 BC 于点 E，则AE 的长是( )
A ． B ．6 C ． D ．12
11 ．如图，点E ，F ， G ，H 分别为四边形 ABCD 的四条边 AB ，BC ， CD ，DA 的中点， 则关于四边形EFGH ，下列说法正确的是( )
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2
x - x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
A ．一定不是平行四边形 B ．一定是菱形
C ．可能是轴对称图形 D ．当AC = BD 时，它为矩形
12 ．如图，在边长为 2 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且 BE = CF ，连接 BF ，DE ，则 BF + DE 的最小值为( )
A ． B ．2 C ．2 D ．4
第二部分（非选择题 共 114 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
13 ．一元二次方程x2 - 5x + 1 = 0的常数项是 ．
14 ．如图，。ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，要使得。ABCD 为菱形，可添加的一个条 件是 ．（写一个即可）
15 ．2022 版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已 纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地， 长36m， 宽24m ，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如 果种植区的总面积为805m2 ，则所修道路的宽为 m ．
16．如图，在。ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，BD = 2AD ，E，F，G 分别是OC, OD, AB 的中点，连接EF、FG、EG, FG 交BD 于点 N．下列结论 丄 GF ；
③ CA 平分上BCD ；④ GN = NE ．其中正确的是 ．
三、解答题：本题共 9 小题，共 98 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．
17 ．解方程：
(1) x2 - 3x +1 = 0 （公式法）；
(2) 2x2 - 3x = 1 - 2x （因式分解法）．
18 ．如图，菱形花坛ABCD 的边长为20m ，上ABC = 60° ,沿着菱形的对角线修建了两条小 路AC 和BD，求：
(1)两条小路的长度；
(2)菱形花坛的面积．（结果保留根号）
19 ．若关于x 的一元二次方程x2 + (2k + 3)x + k2 = 0 有两个不相等的实数根 x1 ，x2 ．
(1)求k 的取值范围；
(2)若x1 + x2 + x1x2 = 0 ，求 k 的值．
20 ．如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 在边BC 上，连接AE, DF ，上BAE = 上CDF ．
(1)求证： △ABE ≌△DCF ．
(2)当AB = 12 ，DF = 13 时，求BE 的长．
21 ．如图，正方形ABCD 的顶点 C 在直线a 上，且BM 丄 直线a 于 M，DN ^直线a 于 N．
(1)求证：MN = BM + DN
(2)若点 B ，D 到 a 的距离分别是 1 ，2，求正方形 ABCD 的面积．
22．某超市于今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品．当商品售价为 40 元时，一月份销 售 256 件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销 售量达到 400 件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价 1 元， 销售量在 400 件的基础上增加5 件，当商品降价多少元时，超市获利 4250 元？
23 ．如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD ，上C = 90° , AB = 6cm ，CD = 10cm ，
AD = 5cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2cm/s 的速度向点B 移动，点Q 以 1cm/s 的速度向点D 移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
(1)经过几秒钟，点P 、Q 之间的距离为5cm ？
(2)连接PD ，是否存在某一时刻，使得PD 恰好平分上APQ？ 若存在，求出此时的移动时间； 若不存在，请说明理由．
24 ．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒 等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中， 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式y2 + 4y + 8 的最小值．
解：y2 + 4y + 8 = y2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)2 + 4 ， ∵ (y + 2)2 ≥ 0 ，: (y + 2)2 + 4 ≥ 4
:当y = -2 时，y2 + 4y + 8 的最小值是 4．
(1)【类比探究】求代数式 x2 - 6x +12 的最小值；
(2)【举一反三】若代数式y = -x2 - 2x ；当x = ________时，y 有最________值（填“大”或
“小”），这个值是________；
(3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方 形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个 长方形，且长方形ABEF 与长方形EFCD 面积比为1: 2 ，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少 时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
25 ．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【问题探究】如图 1，已知四边形 ABCD 是垂美四边形，AC ^ BD ，垂足为 O．
（1）发现：由勾股定理得DO2 + AO2 = ________ ，BO2 + CO2 = ________；
（2）猜．想．并．证．明．：AB2 + CD2 ________ AD2 + BC2 ；（填“ > ”或“ < ”或“= ”）
【学以致用】如图 2，在△ADE 中，上ADE = 90° , 分别以AE 和ED 为边向外作等腰直角 △AEB 和等腰直角△EDC ，上AEB = 上DEC = 90° , BD 与AC 相交于点 O．
（3）求证： △BED≌△AEC ；
（4）①判断四边形ABCD 是不是垂美四边形？请说明理由；
②若 直接写出BC 的长．
1 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高 次为 2 的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案．
【详解】解：由一元二次方程的定义可知，四个选项中只有 C 选项中的方程是一元二次方 程，
故选：C．
2 ．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分，据此可得 答案．
【详解】解：∵在菱形ABCD 中，点O 为AC 和BD 的交点，
: AD = BC ，OA = OC ，AC ^ BD ， 根据现有条件不能得到AC = BD ， 故选：A．
3 ．B
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数 代入这个一元二次方程的左、右两边， 看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就 不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的x 的值一一 代入方程x (2 - x ) = 1 进行验证即可作出判断．
【详解】解：A ．当x = -1 时，
左边= (-1)(2 +1) = -3 ，右边 = 1，左边≠右边， : x = -1 不是方程的解，故此选项不符合题意；
B ． 当 x = 1 时，
左边= 1 × (2 -1) = 1，右边 = 1，左边＝右边， : x =1 是方程的解，故此选项符合题意；
C ． 当 x = 0 时，
左边= 0 × (2 - 0) = 0 ，右边 = 1，左边≠右边， : x =0 不是方程的解，故此选项不符合题意；
D ． 当 x = 2 时，
左边= 2 × (2 - 2) = 0 ，右边 = 1，左边≠右边， : x =2 不是方程的解，故此选项不符合题意．
故选：B．
4 ．B
【分析】本题考查平行四边形的性质， 根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即 可得出结果．
【详解】解：: 。ABCD ，
: AD ⅡBC ，
: 上2 = 上1 = 70° ;
故选 B．
5 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义．设另一根为 a，利用根与系数的关系得到关于 a 的方程，即可求出 a 的值．
【详解】解：设另一根为 a，
则 a + 2 = 5 ， 解得：a = 3， 故选 D．
6 ．D
【分析】本题考查配方法， 根据配方法的步骤，将常数项移动到等号的右侧，方程两边同时 加上一次项系数一半的平方，进行求解即可．
【详解】解：x2 + 4x +1 = 0 ，
x2 + 4x = -1 ，
x2 + 4x + 4 = -1 + 4 ， : (x + 2)2 = 3 ；
故选 D．
7 ．B
【分析】本题主要考查了菱形的判定， 矩形的判定，正方形的判定，根据菱形，矩形和正方 形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意；
B 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：B．
8 ．C
【分析】本题考查关于一元二次方程增长率的实际应用，设每年增长率为 x，根据 2022 年 我国GDP 约为 121 万亿元， 2024 年我国GDP 约为 135 万亿元，列出方程即可．
【详解】解：设每年增长率为 x，根据题意可列方程为：
121(1+ x)2 = 135 ， 故选：C．
9 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当x =1.7 时， x2 - x = 1.19 ≈ 1.2 ，所以方程的一个近似解是x ≈ 1.71 ．
【详解】解：Q x2 - x = 1.2 ，
由表中数据可知：当x = 1.7 时，x2 - x = 1.19 ≈ 1.2 ， :一元二次方程x2 - x = 1.2的解是x ≈ 1.71 ．
故选：C．
10 ．A
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解本题的关键． 根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出BC 的长，利用 菱形面积为 △ABC 面积的两倍求出AE 即可．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，AC = 6 ，BD = 8 ， : AC 丄 ， :上BOC = 90° ,
Q AE 丄 BC 于点 E，
:5AE = 24 ， 故选：A．
11 ．C
【分析】根据三角形中位线定理， 平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定解答 即可．
本题考查的是中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩 形的判定，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：连接 AC, BD ，
QE ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，
:EF 是 △ABC 的中位线，EH 是△ABD 的中位线，GF 是 △BDC 的中
位线，GH 是 △ADC 的中位线，
:EF Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ : EF ∥ GH, EF = GH ，
:四边形EFGH是平行四边形；
故 A 错误；
当AC = BD 时，EF = GH = FG = EH :四边形EFGH是菱形，
:B ，D 都是错误的，
当四边形EFGH是菱形时，可以是轴对称图形， :C 正确；
故选：C．
12 ．C
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，连接 AE ， 利用 △ABE≌△BCF(SAS) 转化线段BF 得到BF + DE = AE + DE ，则通过作A 点关于BC 对称 点H ，连接DH 交BC 于E 点，利用勾股定理求出DH 长即可，解题的关键是理解两条线段
最短距离问题，都转化为一条线段． 【详解】解：如图，连接 AE ，
Q 四边形ABCD 是正方形，
:AB = BC ，上ABE = 上BCF = 90° ,
Q BE = CF ，
:△ABE≌△BCF(SAS) ，
: AE = BF ，
:BF + DE 的最小值等于AE + DE 的最小值，
如图，作点A 关于BC 的对称点H ，连接BH ，则A ，B ，H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的点E ，
根据对称性可知AE = HE ，HB = AB = 2，
: AE + DE = DH ，
在Rt△ADH 中，AH = 4 ，AD = 2 ，由勾股定理得
:BF + DE 的最小值为25 ， 故选：C．
13 ．1
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式中各部分 名称（二次项、一次项、常数项等） 是解题的关键．明确一元二次方程一般形式，找出方程
中常数项．
【详解】解：一元二次方程的一般形式是ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0 ），其中c 为常数项， 对于方程x2 - 5x +1 = 0 ，对比一般形式，a = 1 ，b = -5 ，c = 1，
∵ 此方程中符合常数项定义的是1， : 该一元二次方程的常数项是1．
故答案为：1 ．
14 ．AB = AD （答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件 AB = AD ，那么 。ABCD 为菱形．理由：
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB = AD ，
:根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知。ABCD 为菱形．
故答案为：AB = AD （答案不唯一）．
15 ．1
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的 性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设所修道路的宽为 xm ，根据题意得：
(36 - x) (24 - x) = 805 ， 整理得：x2 - 60x + 59 = 0 ，
解得：x1 = 1, x2 = 59 （舍去）， 答：所修道路的宽为1m ．
故答案为：1
16 ．②④
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质， 解题时要熟练掌握并能灵活运用平行四边形的性质是关键．
分别连接BE、AE ，结合四边形 ABCD 是平行四边形，可得AB∥CD，AD = BC ，
BD = 2OB = 2OD，上DAB = 上BCD ，再由BD = 2AD ，从而BC = AD = OB = OD ，进而结合 等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: AB∥CD，AD = BC ，BD = 2OB = 2OD，上DAB = 上BCD ，
又∵BD = 2AD ，
: BC = AD = OB = OD ． 又∵E 是OC 的中点，
:BE⊥AC．
又∵G 是AB 的中点，
又∵AB 与BC 不一定相等， :①不正确．
∵E，F 分别是OC、OD 的中点，
: EF∥DC，EF DC ．
又∵ AB∥CD ， : ABⅡEF ，
, :EF = AG = EG ，
Q EF Ⅱ AG
:四边形AGEF 是平行四边形． 又∵ AG = EG ，
:四边形AGEF 是菱形．
: AE 丄 GF ，故②正确．
∵四边形AGEF 是菱形．
: AC 平分上FAB ．
∵ 上FAB < 上DAB = 上BCD ，
: CA 不平分上BCD ，即③不正确． 由题意，
∵ EF∥BG，EF = GB ，
:四边形EBGF 是平行四边形， : GN = NE ，故④正确．
综上，正确的有②④ .
故答案为：②④。
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：公式法和因式分解法：
（1）利用公式法求解即可；
（2）整理后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵a = 1, b = -3, c = 1 ，
: Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4× 1 × 1 = 5 ，
（2）解：原方程化为 2x2 - x - 1 = 0 ，
(2x +1)(x -1) = 0 ，
2x +1 = 0 或x -1 = 0 ，
解得：
18 ．(1) 20m ，20 m
(2) 200 m2
【分析】(1) 根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ^ BD ，AC = 2AO ，BD = 2BO ，菱形 的对角线平分一组对角可得上上ABC = 30° , 根据直角三角形30 角所对的直角边等 于斜边的一半可得 ，再利用勾股定理列式求出 BO ，然后求出 AC, BD 即可；
(2) 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半，熟记 各性质是解题的关键．
【详解】（1）解：Q花坛ABCD 是菱形，
: AC 丄 BD ，AC = 2AO ，BD = 2BO ，上上
:RtVABO 中
:BO = = = 10 m ， : AC = 2AO = 20m ，BD = 2BO = 20 m ；
解：S菱形 答：菱形花坛的面积是200 m2 ．
19 ． (2)3
【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程x2 + (2k + 3)x + k2 = 0 有两个不相等的实数根， : Δ = (2k + 3)2 - 4k2 > 0 ，
解得：
（2）解：∵方程x2 + (2k + 3)x + k2 = 0 有两个不相等的实数根 x1 ，x2 ， : x1 + x2 = - (2k + 3), x1x2 = k2 ，
∵ x1 + x2 + x1x2 = 0 ，
: k2 - 2k - 3 = 0 ，
解得：k1 = 3, k2 = -1，
: k = 3 ．
20 ．(1)见解析 (2) 5
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点 并灵活运用是解题的关键．
（1）根据矩形得到 AB = CD, 上B = 上C = 90° ,再结合已知条件由 ASA 即可证明全等；
（2）根据全等三角形得到 AE = DF = 13 ，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
: AB = CD, 上B = 上C = 90° , ∵ 上BAE = 上CDF ，
: △ABE≌△DCF (ASA )；
（2）解：∵ △ABE ≌△DCF ， : AE = DF = 13 ，
∵ÐB = 90° , AB = 12 ，
: BE = = 5 ．
21 ．(1)见解析 (2) 5
【分析】（1）根据正方形的性质可得BC = DC, 上BCD = 90° ,从而得到
上BCM + 上DCN = 90° ,再由 BM 丄 直线，DN ^直线 a，可得 上BMC = 上CND = 90° ,从而 得到上DCN = 上CBM ，可证明 △BCM≌△CDN ，即可求证；
（2）根据题意可得BM = 1，DN = 2 ，从而得到CM = 2 ，再由勾股定理求出BC2 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
: BC = DC, 上BCD = 90° ,
: 上BCM + 上DCN = 90° ,
∵ BM 丄 直线，DN ^直线 a， : 上BMC = 上CND = 90° ,
: 上BCM + 上CBM = 90° , : 上DCN = 上CBM ，
在 △BCM 和△CDN中，
: △BCM≌△CDN (AAS)，
: BM = CN, CM = DN ，
: MN = CM + CN = BM + DN ；
（2）解：:点 B ，D 到 a 的距离分别是 1 ，2， : BM = 1, DN = 2 ，
: CM = DN ，
: CM = 2 ，
: 上BMC = 90° ,
: BC2 = CM 2 + BM2 = 5 ，
:正方形ABCD 的面积= BC2 = 5 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明
△BCM≌△CDN 是解题的关键．
22 ．(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)当商品降价 5 元时，商场获利 4250 元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x ，利用该商品三月份的销售量= 该商品一月份 的销售量×(1+ 二、三这两个月的月平均增长率)2 ，列出一元二次方程，解之取其符合题意的 值即可；
（2）设商品降价y 元，则每件的销售利润为(40 -y - 25) 元，月销售量为(400 + 5y) 件，根 据超市获利 4250 元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为 x ， 根据题意得：256 (1+ x )2 = 400 ，
解得：x1 = 0.25 = 25% ，x2 = -2.25 （不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）解：设商品降价y 元，则每件的销售利润为(40 -y - 25) 元，月销售量为(400 + 5y) 件，
根据题意得：(40 -y - 25)(400 + 5y) = 4250 ，
整理得：y2 + 65y - 350 = 0 ，
解得：y1 = 5 ，y2 = -70 （不符合题意，舍去），
答：当商品降价 5 元时，超市获利 4250 元．
23 ．(1)经过秒钟，点P 、Q 之间的距离为5cm
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解一元二次方程等知 识，理解题意是解答的关键．
（1）过 A 作AE 丄 CD 于 E，过点 P 作PF丄 CD 于 F，先证明四边形PBCF 、四边形ABCE 是矩形得到PF = BC = AE ，CE = AB = 6cm ，CF = PB ，分别在Rt△AED 和Rt△PFQ 中利 用勾股定理求解即可；
（2）假设存在 t 值，使得PD 恰好平分上APQ，根据平行线的性质和角平分线的定义得到
上DPQ = 上PDQ ，进而可得DQ = PQ ，利用勾股定理求得 t 值，根据 t 值的取值范围可得结 论．
【详解】（1）解：如图 ．过 A 作AE 丄 CD 于 E，过点 P 作PF丄 CD 于 F，
∵ AB∥CD ，上C = 90° , : 上B = 上C = 90° ,
:四边形PBCF 、四边形 ABCE 是矩形，
: PF = BC = AE ，CE = AB = 6cm ，CF = PB ，
在Rt△AED 中，AD = 5cm ，DE = CD - CE = 4cm ，
由题意，AP = 2tcm ，CF = PB = (6 - 2t)cm ，CQ = tcm ，
在Rt△PFQ 中，PF = AE = 3cm ，FQ = CF - CQ = 6 - 2t - t = 6 - 3t ， 由FQ2 + PF2 = PQ2 得 6 - 3t 2 + 32 = 52 ，
: t1 = ， 不合题意舍去）．
答：经过 秒钟，点P 、Q 之间的距离为5cm ；
（2）解：假设存在 t 值，使得PD 恰好平分上APQ，则上APD = 上DPQ ，
: AB∥CD ，
:上APD = 上PDQ ，
:上DPQ = 上PDQ ， :DQ = PQ ，
: PQ2 = (6 - 3t)2 + 32 ，DQ2 = (10 - t)2 ， : (3t - 6)2 + 32 = (10 - t)2 ，
解得 : 0 < t ≤ 3 ，
:两个解都不符合题意，
故不存在某个时刻，使得PD 恰好平分上APQ ．
24 ．(1)当x = 3 时，x2 - 6x +12 的最小值为 3
(2) -1；大；1
(3)当BF = 4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 48m2
【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用， 不等式的性质，实际应用题中几何关系 的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解 ．
（1）将原式配方，x2 - 6x +12 = (x - 3)2 + 3 ，根据 (x - 3)2 ≥ 0 ，再根据不等式的性质求解 即可 ．
（2）对代数式 -x2 - 2x 进行配方，-x2 - 2x = - (x2 + 2x) = - (x +1)2 +1，结合 - (x +1)2 ≤ 0 ， 再根据不等式的性质求解即可．
（3）设EF= x ，由长方形ABEF 与长方形EFCD 面积比为1: 2 ，得到CF = 2x ，根据栅栏总 长度和面积比建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值．
【详解】（1）解：x2 - 6x +12
= (x2 - 6x + 9)+12 - 9
= (x - 3)2 + 3 ， ∵ (x - 3)2 ≥ 0 ， : (x - 3)2 + 3 ≥ 3，
:当x = 3 时，x2 - 6x +12 的最小值为 3；
（2）y = -x2 - 2x
= -x2 - 2x -1 + 1
= - (x +1)2 +1 ， ∵ (x +1)2 ≥ 0 ，
:- (x +1)2 ≤ 0 ， :- (x +1)2 +1≤ 1，
:当x = -1 时，y = -x2 - 2x 有最大值，最大值为 1， 故答案为：-1；大；1；
（3）设 BF = xm ，则 CF = 2BF = 2xm ， : BC = 3xm ，
: AB = m ，
: S矩形ABCD = 3x .
= -3x2 + 24x
= -3(x - 4)2 + 48 ， ∵ (x - 4)2 ≥ 0 ，
:-3(x - 4)2 ≤ 0 ，
:-3(x - 4)2 + 48 ≤ 48 ， ∵ AD = BC = 3x ≤ 15 ， : 0 < x ≤ 5 ，
:当x = 4 时，S矩形ABCD 最大，最大值为 48，
:当BF = 4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 48m2 ．
25 ．（1）AD2 ；BC2 ；（2）= ；（3）见解析；（4）①四边形ABCD 是垂美四边形；理由见 解析；② BC = ·
【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可；
（2）由勾股定理列出等式可求解；
（3）根据“SAS ”证明△BED≌△AEC 即可；
（4）①根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合 AB2 + CD2 = BC2 + AD2 ，进行求解即可．
【详解】解：（1）: AC ^ BD ， : 上AOD = 上BOC = 90° ,
: Rt △AOD 和Rt△BOC 根据勾股定理得：
DO2 + AO2 = AD2 ，BO2 + CO2 = BC2 ；
（2）在 Rt△AOB 和Rt△COD 中，根据勾股定理得： AO2 + BO2 = AB2 ，CO2 + DO2 = CD2 ，
: AO2 + BO2 + CO2 + DO2 = CD2 + AB2 ， AO2 + DO2 + CO2 + BO2 = CB2 + AD2 ，
: AB2 + CD2 = BC2 + AD2 ；
（3）: △AEB 和△EDC 是等腰直角， : AE = BE ，CE = DE ，
: 上AEB = 上DEC = 90° ,
: 上AEB + 上AED = 上DEC + 上AED ， 即上AEC = 上BED ，
: △BED≌△AEC (SAS) ；
（4）①四边形ABCD 是垂美四边形；理由如下：
: △BED≌△AEC ， : 上EBF = 上EAC ， : 上BFE = 上AFO ，
7BFE + 7EBF + 7BEF = 7AFO + 7EAC + 7AOF = 180° ,
:7AOF = 7AEB = 90° , : BD 丄 AC ，
:四边形ABCD 是垂美四边形；
上ADE = 90° ,
: △AEB 和△EDC 是等腰直角，
根据解析（2）可知：AB2 + CD2 = BC2 + AD2 ， : BC2 = AB2 + CD2 - AD2 = 100 + 64 -18 = 146 ，
【点睛】本题主要考查四边形的综合应用， 掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形 的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、 灵活运用勾股定理是解题的关键．