2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[扬州专用 苏科版第1-2章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[扬州专用 苏科版第1-2章]，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：90 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：苏科版九年级上册第 1－2 章．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A ．y = 3x - 4 B ．x2 - x = 1 C ．xy - 4 = 9 D ．3 (x - 2) = 8
2 ．已知eO 的半径OA 长为 1 ， ，则正确图形可能是( )
A ． B ． C ． D．
3 ．若 m 是一元二次方程x2 - 5x - 1 = 0的一个实数根，则m2 - 5m + 2024的值是( )
A ．2023 B ．2024 C ．2025 D ．2026
4 ．关于 x 的方程x2 + mx - 2 = 0根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D ．无实数根
5 ．如图，点 A ，B ，C，D 在eO 上，AC 是eO 的直径，上BAC=40° ,则 ÐD 的度数是 ( )
A ．40° B ．50° C ．60° D ．90°
6 ．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷 开展降价促销活动．某款燃油汽车今年 2 月份售价为 25 万元，4 月份售价为 20.25 万元，设 该款汽车这两月售价的月平均降价率是x ，则所列方程正确的是( )
A ．25(1- x)2 = 20.25 B ．20.25(1+ x)2 = 25
C ．20.25(1- x)2 = 25 D ．25(1 - 2x) = 20.25
7．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A ~ H 代表八个方位，如图，BH 与DG 交于点P ，则点 P 位于点D 的( )
A ．南偏西75° 方向 B ．北偏东75° 方向 C ．南偏西67.5° 方向 D ．北偏东67.5° 方向
8 ．如图， △ABC 内接于eO ，AC 为eO 的直径，点D ，E 分别为eO 上的动点（不与点 A ，点 B ，点C 重合），且 DE = BC ，F 为DE 的中点，分别连结OF ，AF ，若 AB = 3 ，
BC = 4 ，则 AF 的最大值为( )
A ．3 B ．4 C ．4.5 D ．5
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．
9 ．若关于x 的方程4x2 + (k +1)x +1 = 0 有两个相等的实数根，则k 的值为 ．
10 ．设 m ，n 分别为方程x2 + 2x - 2025 = 0的两个实数根，则m2 - 3m - 5n = ．
11 ．如图，AB 是eO 的直径，BC 是弦，AB = 5cm,BC = 3cm ．若点 P 是AB 上一动点，当
△PBC 是等腰三角形时，AP = cm ．
12．某商品进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克．后经市场 调查发现，单价每降低 1 元，平均每天的销售量可增加 10 千克．商家销售这种商品若想要 平均每天获利 2240 元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元．
13．如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上A 点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰 壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上B 点有一障碍壶，AB = 16 米，且冰壶偏离中轴线的最 大距离为 4 米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ．
14．如图，四边形ABCD 内接于eO ，AB 是eO 的直径，AD = CD ，连接OD ，与对角线AC 交于点 M，若eO 的半径是 6 ，CB = 4 ，则 AD 的长是 ．
15 ．图 1 中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图 2 是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通
过测量得到 则图中摆盘的面积是 cm2 ．
16 ．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂 巢的房孔是边长为 8 的正六边形ABCDEF ，点 O 是正六边形的中心，则BF 的长为 ．
17 ．如图，在 △ABC 中，BC = 6 ，AC = 8 ，AB = 10 ，eO 是它的内切圆，用剪刀沿eO 切 线DE 剪一个△ADE ，则△ADE 的周长为 ．
18 ．如图，四边形ABCD 中，BC = CD ，且 上BAC = 上DAC = 45° ,连接 AC，BD ．若 AC = 4 ，则四边形 ABCD 的面积为 ，BD 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 10 小题，共 96 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
19 ．解方程：
(1) x2 - 2x - 2 = 0 ；
(2) x(x - 4) = 2x - 5 ．
20 ．已知 △ABC 的一条边BC 的长为5，另两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2 - (m +1)x + 3(m - 2) = 0 的两个实数根．
(1)求证：无论 m 为何值，方程总有两个实数根；
(2)当 m 为何值时， △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；
21 ．如图，A ，B ，C，D 是eO 上的四点，且AD = BC ．
(1)求证： = ；
(2)设AB 与CD 交于点 E ．求证：DE = BE ．
22 ．如图，在正方形ABCD 中，AB = 4cm ，点 P 从点 B 出发沿BC 以2cm / s 的速度向点 C 运动，同时点 Q 从点 C 出发，以1cm / s 的速度沿CD 向点 D 运动，当点 P 到达终点后，P， Q 两点同时停止运动．设点 P 运动的时间为 t s．
(1)问当 t 为多少时，AP = 2PQ ？
(2)连接AQ ，是否存在时间 t，使得S△APQ = 4 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 由．
23．如图，AB 是ΘO 的直径，PA 与ΘO 相切于点A ，PD 交AB 的延长线于点D ，DE 丄 PO 交PO 的延长线于点E ，上EPD = 上EDO
(1)判断直线PD 与ΘO 的位置关系，并说明理由；
(2)若PA = 5 ，AD = 12 ，求ΘO 的半径．
24 ．图①、图②、图③均是5× 5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻 度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中， △ABC 的顶点均为格点，在AB 边上找到一点 M，连接CM ，使
上MCB = 上A ；
(2)在图②中，点A 、B 、O 均为格点，过点 B 作ΘO 的切线；
(3)在图③中，点A 、B 、O 均为格点，在AC 上找到点 M 和点 N（点 M 和点 N 均不与点A 重合），作 上MBN，使 上MBN = 上A ．
25 ．如果关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实数根，且其中一个根为另一 个根的 2 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2 - 6x + 8 = 0的两个根 是x1 = 2 和x2 = 4 ，则方程x2 - 6x + 8 = 0是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程2x2 + x -1 = 0 ______（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
(2)若关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 是“倍根方程”，则 a 、b 、c 之间满足的等 量关系为__________；
(3)若(x - 2)(mx - n) = 0 (m ≠ 0) 是“倍根方程”，求代数式 4m2 - 5mn + n2 的值．
26 ．如图，正方形ABCD 内接于ΘO ，其边长为 4，求ΘO 的内接正三角形EFG 的边长．
27 ．【课本再现】如图 1 ，PA, PB 是ΘO 的切线，A, B 为切点，AC 是ΘO 的直径．若
上BAC = 25° ,
(1)求 ÐP 的度数．
(2)【变式设问】如图 2 ，AC 是ΘO 的直径，PA 与ΘO 相切于点A, B 为ΘO 上一 点，AC 的延长线与射线PB 相交于点 D ， 若上D + 2上BAC = 90° ,求证： PA = PB ．
28 ．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为 该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图 形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB 的覆盖圆有无数个，其中，以AB 为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段AB 的最小覆盖圆一定经过点A 、点B ．如图①, 以AB 为直径作ΘO ， 再过A 、B 两点作 ΘO¢ （O¢ 与O 不重合），连结O¢A, O ¢B ．在 △O ¢AB 中，有O¢A + O¢B > AB
( ▲ ).
QO¢A = O ¢B ，
:2O¢A > AB ，即 ΘO¢ 的直径大于ΘO 的直径．
:ΘO 是线段AB 的最小覆盖圆．“ ▲ ”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问
题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆 的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②, 在Rt△ABC 中， 上ACB = 90° . ΘO 是以AB 为直径的圆．请你判断点C 与ΘO 的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知， ΘO 是Rt△ABC 最长边AB 的最小覆盖圆，所以，ΘO 是Rt△ABC 的 最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③,在矩形 ABCD 中，AB = 1cm ，BC = 2cm ．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD 的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图 痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
（2）该矩形 ABCD 的最小覆盖圆的直径为 cm ；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形 ABCD ．则这样的两个等圆的最小直径为 cm ．
1 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义：“含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数 是 2 的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的整式方程是一元二 次方程”，根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：A ．y = 3x - 4 ，方程含有两个未知数，故此选项错误，不符合题意；
B ．x2 - x = 1，方程符合一元二次方程的定义，故此选项正确，符合题意；
C ．xy - 4 = 9 ，方程含有两个未知数，故此选项错误，不符合题意；
D ．3 (x - 2) = 8 ，方程是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意． 故选：B．
2 ．B
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点与圆的位置关系由点到圆心的距 离和圆的半径决定．
根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵ΘO 的半径OA 长为 1 ，
: OA < OB ，
:点 B 在圆外， 故选：B．
3 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出m2 - 5m = 1， 然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵m 是一元二次方程x2 - 5x - 1 = 0的一个实数根，
: m2 - 5m -1 = 0 ， : m2 - 5m = 1，
: m2 - 5m + 2024 = 1+ 2024 = 2025 ， 故选：C．
4 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．
通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况．
【详解】解： Δ = m2 - 4× 1 × (-2) = m2 + 8 > 0
:方程有两个不相等的实数根， 故选：A．
5 ．B
【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上两个定理．
利用直径定理得出上ABC = 90° ,利用直角三角形的性质求出上C = 50° ,最后利用圆周角定 理即可求解．
【详解】解：: AC 是ΘO 的直径， : 上ABC = 90° ,
: 上C = 90° - 上BAC = 90° - 40° = 50° , : 上D = 上C = 50° ,
故选：B．
6 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年 2 月份售价为 25 万元，4 月份售价为 20.25 万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x ，列方程，即 可作答．
【详解】解：根据题意得：25(1- x)2 = 20.25 ．
故选：A．
7 ．D
【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆， 掌握正八边形的性质，方向角、圆周 角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算 即可．
【详解】解：如图，设正八边形 ABCDEFGH 的中心为点O ，连接 BD 、OB 、OG 、DH ，
:正八边形ABCDEFGH 的中心角为 : 上BOG = 3 × 45° = 135° , ÐHOG = 45° ,
: 上BDF = 上BDG + 上GDF = 67.5° + 22.5° = 90° , : BD 丄 DF，
:点P 位于点D 的北偏东67.5° .
故选：D．
8 ．B
【分析】本题主要考查圆的基础知识， 弦心距的计算，线段最大值的计算，掌握直径所对圆 周角是直角，弦心距的计算，点的运动及线段最大值的计算是关键．
如图 1，过点 O 作OH ^ BC 于H ，以点 O 为圆心，以OH 为半径作圆，由勾股定理得：
OH 为 △ABC 的中位线，当点D ，E 在ΘO 上运动时，点F 在以点O 为圆心，以 为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：AF ≤ OA + OF ，如图 2：此
时 的最大值为 4，由此即可求解．
【详解】解：如图 1，过点 O 作OH ^ BC 于H ，以点 O 为圆心，以OH 为半径作圆，
: AB 为ΘO 的直径， : 上ABC = 90° ,
在Rt△ABC 中，AB = 3 ，BC = 4 ，由勾股定理得
: OH ^ BC ，上ABC = 90° , : OH 为 △ABC 的中位线，
即弦BC 的弦心距 ， :点F 为DE 的中点，
: OF 为弦DE 的弦心距，
∵ DE = BC ，
:当点D ，E 在ΘO 上运动时，点F 在以点O 为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之 间线段最短”得：AF ≤ OA + OF ，
:当点F 在AO 的延长线上时，AF 为最大，
如图 2 ：此时 的最大值为 4，
故选：B．
9 ．-5 或 3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，若 Δ = b2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数根，若 Δ = b2 - 4ac = 0 ， 则方程有两个相等的实数根，若 Δ = b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x 的方程4x2 + (k +1)x +1 = 0 有两个相等的实数根，
: Δ = (k + 1)2 - 4 × 4 × 1 = 0 ， 解得k = -5 或k = 3
故答案为：-5 或 3．
10 ．2035
【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出
m2 + 2m - 2025 = 0，求出m2 = 2025 - 2m ，根据根与系数的关系得出m + n = -2 ，变形后代入， 即可求出答案．
【详解】解：Qm 、n 分别为方程x2 + 2x - 2025 = 0 的两个实数根，
:m2 + 2m - 2025 = 0 ，
:m2 + 2m = 2025 ，
:m2 = 2025 - 2m
Qm 、n 分别为方程x2 + 2x - 2025 = 0 的两个实数根，
:m + n = -2 ，
: m2 - 3m - 5n = 2025 - 2m - 3m - 5n = 2025 - 5 (m + n) = 2025 +10 = 2035 ， 故答案为：2035．
11 ．1.4 ，2 或2.5
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质， 勾股定理，三角形的外接圆，解答本题的关 键分三种情况讨论： ①BC = BP; ②CP = CB; ③CP = BP ．
当BC = BP 时，线段和差即可求解；当CP = CB时，利用勾股定理求得AC = 4cm ，利用等 面积法求得CD = 2.4cm ，再利用等腰三角形的性质即可求解；CP = BP ，根据外接圆的定义 即可得到P 与O 重合．
【详解】解：① BC = BP = 3cm 时，
AP1 = AB - BP1 = 5 - 3 = 2cm ；
@ CP = CB时，过点C 作CD 丄 AB 于点D ，连接 AC
Rt △BAC 中：AC = = 4cm ，
: CD = 2.4cm ，
: AP2 = AB - BP2 = AB - 2BD = 1.4cm ； ③ CP = BP 时，此时P 与O 重合，
综上AP 为1.4cm ，2cm 或2.5cm ．
12 ．54
【分析】设定价为 x 元，利用销售量×每千克的利润= 2240 元列出方程求解即可. 本题主要 考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每 千克的利润，再列出方程．
【详解】解：设定价为 x 元.根据题意可得，
(x - 40) 100 +10 (60 - x ) = 2240 解之得：x1 = 54 ，x2 = 56
∵销售量尽可能大 : x = 54 ，
故答案为：54
13 ．10 米##10m
【分析】依题意，A, B, C 三点共圆，设圆弧的半径为r ，过点O 作OD 丄 AB 交于点E ， 进而根据垂径定理得出AD = 8 ，在 Rt△AOD 中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：依题意，A, B, C 三点共圆，如图，
设圆弧的半径为r ，过点 O 作OD 丄 AB 交于点E ， ∵ AB = 16 ，DE = 4 ，
: AD = 8 ，OD = r - 4
在Rt△AOD 中，AO2 = AD2 + OD2 : r2 = 82 + (r - 4)2
解得：r = 10
故答案为：10 米．
14 ．4
【分析】本题主要考查了垂径定理的推理， 弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定 理，根据AD = CD ，得到 = ，则由 OD 丄 AC ，证明 OM 为 △ABC 的中位线，得到
, 则可求出DM = OD - OM = 4 ，利用勾股定理求出AM2 ，即可利用勾股定 理求出AD ．
【详解】解：∵ AD = CD ，
: OD 丄 AC ，
: 上AMO = 上AMD = 90° ,点 M 为AC 的中点， ∵点 O 为AB 的中点，
: OM 为 △ABC 的中位线，
∵ΘO 的半径是 6，
: OA = OD = 6 ，
: DM = OD - OM = 4 ，
在Rt△AOM 中，由勾股定理得AM2 = OA2 - OM2 = 62 - 22 = 32 ，
在Rt△ADM 中，由勾股定理得
故答案为：4 ．
15 ．27π
【分析】本题考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键．
本题可先求出圆心角度数，再根据已知条件得出OC 的长度，和扇形的半径，最后根据扇形 面积公式计算出摆盘的面积，摆盘的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得出结果． 【详解】解：观察图1可知， 图1中有8 个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个
扇形的圆心角 ．
: 上O = 45°
∵ OA = OC + AC ，OC = OD = OA ， : AC = BD = OA ，
∵ AC = BD = 12cm
: OA = 15cm ，
: OC = OD = 3cm ，
: S阴影=S扇OAB - S扇OCD
45π . OA2 45π . OC2
= -
360 360
45π . (152 - 32 )
=
360
= 27π (cm2 ) ； 故答案为：27π .
16 ．8
【分析】根据正多边形性质得到 Ð A ，AF = AB ，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得
上AFB = 上ABF = 30° ,作 AM 丄 BF 于点M ，利用等腰三角形性质得到 BM = FM ，根据 30 度所对直角边等于斜边一半求得AM ，再利用勾股定理求得FM ，即可解题．
【详解】解：由题知，AF = AB = 8 ， 上
:上AFB = 上ABF = 30° , 作AM 丄 BF 于点M ，
:BM = FM ，AM = AF = 4 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30 度所对直角边等于斜边一半、勾 股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
17 ．12
【分析】设 △ABC 的内切圆切三边于点F，H，G ，连接OF，OH，OG ，由切线长定理可知 AF = AG ，根据 DE 是ΘO 的切线，可得MD = DF ，EM = EG ，根据勾股定理可得
上ACB = 90° ,得四边形OHCG 是正方形，再求出内切圆的半径为 进而 可得 △ADE 的周长．
【详解】解：如图，设 △ABC 的内切圆切三边于点F 、H 、G ，连接 OF 、OH 、OG ，
由切线长定理可知AF = AG ，BF = BH ，CH = CG ， ∵ DE 是ΘO 的切线，
: MD = DF ，EM = EG ，
∵ BC = 6 ，AC = 8 ，AB = 10 ，
: AB2 = AC2 + BC2 ，
: 上ACB = 90° ,
则四边形OHCG 是正方形，
∵ΘO 是△ABC 的内切圆，
:内切圆的半径 : CG = 2 ，
: AG = AC - CG = 8 - 2 = 6 ， : AF = AG = 6 ，
: △ADE 的周长为：AD + DE + AE = AD + DF + EG + AE = AF + AG = 6 + 6 = 12 ．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心， 勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌 握切线的性质．
18 ． 8 4
【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角 形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键．
由题先证明A, B, C, D 四点共圆，得到上BCD = 90° ,在 AD 的延长线上取DE = AB ，连接
CE ，证明 △ABC≌△EDC ，得到 AC = CE = 4 ，求出 S四边形ABCD = S△ 连接AO, CO ，得到 AO + CO = BD ≥ AC ，即 BD ≥ 4 ，得到 BD 的最小值为4 ．
【详解】解：如图，过点C 作CM 丄 AB于点M ，CN 丄 AD 于点N ，
:上M = 上ANC = 上DNC = 90° ,
Q 上BAC = 上DAC = 45° ,
:上BAD = 90° , AC 平分 ÐBAD ，
: CM = CN ，四边形 AMCN 是矩形， :上MCN = 90°
Q BC = CD ，
:Rt△BCM≌Rt△DCN (HL)，
:上BCM = 上DCN ，
:上DCN+ 上BCN = 上BCM + 上BCN = 上MCN = 90° ,
:上BCD = 90° ,
:上BCD + 上BAD = 90° + 90° = 180°
: A, B , C , D 四点共圆， 设BD 的中点为O ，
:BD 为eO 的直径，
:上BCD = 90°
如图，在AD 的延长线上取DE = AB ，连接CE ，
Q 上ABC + 上ADC = 180 ，上EDC + 上ADC = 180° ,
:上ABE = 上EDC ，
:△ABC≌△EDC (SAS)，
: AC = CE = 4 ，上ACB = 上ECD ，
: S△ABC = S△ECD ，
Q 上ACB + 上ACD = 90° ,
:上ACE = 上ACD + 上ECD = 90° ,
:S四边形ABCD = S△ACE = AC . CE = 8 ； 如图，连接AO, CO ，
: AO + CO = BD ≥ AC ，即 BD ≥ 4 ， :BD 的最小值为4 ；
故答案为：8，4 ．
19 ．(1) x1 = +1 ，x2 = - +1
(2) x1 = 1 ，x2 = 5
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）用配方法解x2 - 2x - 2 = 0，移项得x2 - 2x = 2 ，两边加 1 配成完全平方(x -1)2 = 3 ，开 方得x -1= ± 即可求解；
（2）将x(x - 4) = 2x - 5 整理为一般式x2 - 6x + 5 = 0 ，利用十字相乘法因式分解得 (x -1)(x - 5) = 0 即可求解．
【详解】（1）解： x2 - 2x - 2 = 0
x2 - 2x = 2
x2 - 2x +1 = 2 +1 (x -1)2 = 3
x -1= ±
解得：x1 = +1 ，x2 = - +1．
（2）解：x(x - 4) = 2x - 5
x2 - 4x - 2x + 5 = 0 x2 - 6x + 5 = 0
(x -1)(x - 5) = 0
解得：x1 = 1 ，x2 = 5 ．
20 ．(1)见详解
(2) m = 6
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【详解】（1）证明：Qx2 - (m + 1)x +3(m - 2) = 0 ，
:Δ = [-(m + 1)]2 - 4× 1 × 3(m - 2)
= m2 + 2m +1-12m + 24
= m2 -10m + 25
= (m - 5)2 ≥ 0 ；
:无论m 为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由题意，得：AC + AB = m + 1, AC . AB = 3 (m - 2)(m > 2) ， : △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，
:BC2 = AB2 + AC2 ，
: AB2 + AC2 = (AB + AC)2 - 2AC . AB
= (m + 1)2 - 2× 3(m - 2)
= m2 - 4m +13 = 25 ，
解得：m = 6 或m = -2 （不合题意，舍去）；
:m = 6 ．
21 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、弧弦之间的关系、等角对等边等知识， 熟练掌握圆周角定 理是关键．
（1）根据弧弦之间的关系得到 = ，根据弧的和差即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到 上ABD = 上CDB ，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）证明：: AD = BC ，
一 一
:AD=BC，
: AD + AC = BC + AC ，
一 一
即AB = CD ；
（2）连接 BD ，
Q AD = BC ，
:上ABD = 上CDB ，
:DE = BE
22 ．(1)t 的值为 1
(2)存在，t 的值为 2
【分析】本题考查了勾股定理， 一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知 识点是解本题的关键．
（1）根据题意得 BP = 2t ，CQ = t ，根据勾股定理可得16 + 4t2 = 4 × (16 -16t + 5t2 ) ，整理得 t2 - 4t + 3 = 0 ，解出方程即可．
（2）根据正方形的性质，可得 上B = 上C = 上D = 90° , AB = BC = CD = AD = 4cm ，再利用
三角形面积得出S△APQ = S正方形ABCD - S△ABP - S△CPQ - S△ADQ ，代入数值列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得 BP = 2t ，CQ = t ， : AP2 = AB2 + BP2 = 42 + (2t)2 = 16 + 4t2
PQ2 = CP2 + CQ2 = (4 - 2t)2 + t2 = 16 -16t + 5t2 ， Q AP = 2PQ ．
: AP2 = 4PQ2
16 + 4t2 = 4 × (16 -16t + 5t2 ) ，即 t2 - 4t + 3 = 0 ， QΔ = (-4)2 - 4× 1 × 3 = 16 -12 = 4 ，
:t1 = 3，t2 = 1．
当t1 = 3 时，BP = 2t = 6 > 4 ，舍去，
:t 的值为 1．
（2）存在．
理由：Q 四边形ABCD 是正方形，
:上B = 上C = 上D = 90° , AB = BC = CD = AD = 4cm ， QS△APQ = S正方形ABCD - S△ABP - S△CPQ - S△ADQ ，
即16 - 4t - (2 - t)t - 2(4 - t) = 4 ， : t2 - 4t + 4 = 0 ，解得 t = 2 ．
: 当 t 的值为 2 时，S△APQ = 4 ．
23 ．(1) PD 与eO 相切，见解析 (2)
【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是 解此题的关键．
（1）过点 O 作OF 丄 OP ，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明
上APO = 上DPO ，进而可得 △PFO≌△PAO(AAS) ，OA = OF ，由到圆心距离等于半径的直线 是圆的切线即可得出结论；
（2）由勾股定理求出 PD = = 13，进而可得DF = PD - PF = 8 ，再在 Rt△DFO 中，由勾股定理列方程求出eO 的半径．
【详解】（1）解：证明：过点 O 作OF 丄 OP ，
Q AB 是eO 的直径，PA 与eO 相切于点A，
:上A = 90° ,
Q DE 丄 PO ，
:上E = 90° ,
Q 上DOE = 上POA ，
:上EDO = 上APO ，
Q 上EPD = 上EDO ，
:上APO = 上DPO ，
在△PFO 与 △PAO 中，
ì上PFO = 上A
íï上FPO = 上APO, ïlOP = OP
△PFO≌△PAO(AAS) ，
: OA = OF ，
:PD 与eO 相切；
（2）由（1）证得△PFO≌△PAO ， :PF = PA ，
Q PA = 5 ，AD = 12 ，上PAD = 90° , : PD = = 13
由（1）证得△PFO≌△PAO ， :PF = PA ，
:DF = PD - PF = 8 ，
设eO 的半径为：OA = r ， :r2 + 82 = (12 - r)2 ，
: eO 的半径为 ．
24 ．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图， 切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切 线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）取格点 M，连接CM ，则点 M 即为所求；
（2）取格点 E，作直线 BE ，则直线 BE 即为所求，可证明BE 丄 OB ；
（3）取格点 F，连接 BF 交AC 于 M，设 AC 与eO 交于 N，连接BN ，则 上MBN即为所 求．可证明BM⊥AB， ∠ANB = 90° .
【详解】（1）解：如图所示，取格点 M，连接CM ，则点 M 即为所求；
（2）解：如图所示，取格点 E，作直线 BE ，则直线 BE 即为所求；
（3）解：如图所示，取格点 F，连接BF 交AC 于 M，设AC 与eO 交于 N，连接BN ，则上MBN 即为所求．
25 ．(1)不是
(2) 2b2 = 9ac
(3) 4m2 - 5mn + n2 的值为 0．
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题 关键．
（1）求解一元二次方程即可进行判断；
（2）设方程 ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的两个根分别为：n，2n ，根据根与系数的关系消去 n 即可求 解；
（3）方程(x - 2)(mx - n) = 0 (m ≠ 0) 的两个根为：x1 = 2，x2 = ，根据题意可得 或
分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：2x2 + x -1 = (2x -1)(x +1) = 0 ， 解得：
:该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是；
（2）解：设方程 ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的两个根分别为：n ，2n ，
则由根与系数的关系可得 ，
消去n 得：2b2 = 9ac ，
故答案为：2b2 = 9ac ；
（3）解：方程(x - 2)(mx - n) = 0 (m ≠ 0) 的两个根为： 或 即n = 4m 或n = m ，
当n = 4m 时， 4m2 - 5mn + n2 = (m - n)(4m - n) = 0 ；
当n = m 时，4m2 - 5mn + n2 = (m - n)(4m - n) = 0 ；
故：4m2 - 5mn + n2 的值为 0．
26 ．2
【分析】本题考查圆与等边三角形的综合题，正方形性质，勾股定理，含 30 度角的直角三 角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接AC, OE, OF, 作OM 丄 EF 于点 M，先求出 继而推导出
EM = MF ，上OEM = 30° , 可求出 则有 即可 解答．
【详解】解：如图，连接 AC, OE, OF, 作OM 丄 EF 于点 M，
根据正方形的性质可得AB = BC = 4 ．上ABC = 90° , : AC 是ΘO 的直径．
在Rt△ABC 中
: OM 丄 EF ，
: EM = MF ．
: △EFG 是正三角形， : 上G = 60° ,
: 上EOF = 2上G = 120° .
: 上OEM = 30° .
在Rt△OME 中 上OEM = 30° ,
: EF = 2ME = 2 ，即正三角形 EFG 的边长为2 6 ．
27 ．(1) 50°
(2)见解析
【分析】此题考查了切线的性质和切线长定理， 三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题 的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用圆的切线性质得到 OA 丄 AP ，由切线长定理知PA = PB ，得到 上ABP = 上BAP ， 最后根据三角形内角和定理求出 ÐP ．
（2）连接OB ，利用等腰三角形性质得到 上OAB = 上OBA ，推出 上DOB = 2上BAC ．
结合已知条件上D + 2上BAC = 90° , 得到上DBO = 90° , 从而判定PB 是切线，根据切线长定 理即可得证．
【详解】（1）Q PA, PB是ΘO 的切线
: OA 丄 AP, PA = PB
Q 上BAC = 25°
:上ABP = 上BAP = 90° - 25° = 65°
:上P = 180° - 2× 65° = 50° .
（2）根据题意，上PAO = 90° 如图，连接OB ，
可得AO = BO
:上OAB = 上OBA ，上DOB = 2上BAC 又Q 上D + 2上BAC = 90°
:上D + 上DOB = 90°
:上DBO = 90°
:PB 是ΘO 的切线
:PA = PB ．
28 ．探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：C 在ΘO 上；证明见解析；拓展
应用：（1）作图见解析；（2） ·、 ；（3） 、 ；
【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明OC = OA = OB 即可得到答案；
拓展应用：（1）连接 AC, BD ，交于点 O ，以 O 为圆心，OA 为半径作圆即可；
（2）结合矩形性质与勾股定理计算即可；
（3）作 AD 的垂直平分线LJ ，交 AD 于L ，交 BC 于J，可得四边形 ABJL ，DCJL 是两个 全等的矩形，AL = DL = 1 = BJ = CJ ，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD ，可得两圆一定过L, J ， 再进一步解答即可.
【详解】解：探究一：
理由如下：易知线段AB 的最小覆盖圆一定经过点A 、点B ．如图①, 以AB 为直径作ΘO ， 再过A 、B 两点作 ΘO¢ （O¢ 与O 不重合），连结O¢A, O ¢B ．在 △O ¢AB 中，有O¢A + O¢B > AB
（三角形的任意两边之和大于第三边）．
QO¢A = O ¢B ，
:2O¢A > AB ，即 ΘO¢ 的直径大于ΘO 的直径．
:ΘO 是线段AB 的最小覆盖圆．“ ▲ ”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第 三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
探究二：: 上ACB = 90° , O 为AB 的中点，
: OC = OA = OB ， : C 在ΘO 上；
拓展应用：（1）如图， ΘO 即为矩形ABCD 的最小覆盖圆；
（2）:矩形ABCD ，AB = 1cm ，BC = 2cm ，
: 上
（3）作 AD 的垂直平分线LJ ，交 AD 于L ，交 BC 于J ， :四边形ABJL ，DCJL 是两个全等的矩形，
: AL = DL = 1 = BJ = CJ ，
:用两个等圆完全覆盖矩形ABCD ，
:两圆一定过L, J ，
连接AJ, BL, CJ, DJ ，交点分别为Q, K ，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL 或CL 或DJ ， :最小直径为 ，
如图，作AB 的垂直平分线交AB, CD 于V, W ，
同法作ΘQ ， ΘK ，此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形ABCD ．则这样的两个等圆的最小直径为 cm .
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系， 直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应 用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题 的关键.