2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[广东专用 人教版九年级上册第二十一章~第二十二章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[广东专用 人教版九年级上册第二十一章~第二十二章]，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章．
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 ．下列函数是二次函数的是( )
A ．y = 3x B ．y = ax2 + bx + c C ． D ．y = 3 (x -1)2
2 ．若x = 4 是方程x2 - 2x + c = 0 的一个根，则 c 的值为( )
A ．-8 B ．8 C ．9 D ．-9
3 ．关于 x 的一元二次方程x2 - 3x - 5 = 0的两个根是x1 , x2 ，则x1 + x2 - x1x2 的值为( )
A ．8 B ．-8 C ．-2 D ．2
4 ．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长 80 米，宽50 米）场地，被 3 条宽度 相等的绿化带分成总面积为 2000 平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为 x 米，由题意 可列方程为( )
A ．(80 - x )(50 - x ) = 2000 B ．(80 - 2x )(50 - x ) = 2400
C ．(80 - 2x )(50 - x ) = 2000 D ．(80 - x )(50 - 2x ) = 2000
5．如图 1 是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O 点，建立如图 2 所示的坐标系，若点 A 的坐标为(-15, -100) ，点B(a, -144) 是图 1 中沙丘两 个端点，则a 的值为( )
A ．15 B ．18 C ．24 D ．36
6．若关于 x 的一元二次方程 kx2 + x - 2 = 0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )
A ． B ． 且k ≠ 0
C ． 且k ≠ 0 D ． 且k ≠ 0
7 ．在同一坐标系内，一次函数y = ax + b 与二次函数y = ax2 + 8x + b 的图像可能是
A．
C．
B．
D．
8 ．已知抛物线y = ax2 + bx + c （a, b, c 为常数，a ≠ 0 ）上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对 应值下表：
则下列说法中错误的是( )
A ．抛物线开口向上 B ．图象不经过第三象限
C ．y 的最小值为-1 D ．当y = 0 时，x 的值为 0
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
9 ．二次函数y = ax2 + bx + c 的图象如图，对称轴是直线x = -1 ，有以下结论：① abc > 0 ；
②4ac < b2 ；③2a - b = 0 ；④ a - b + c > 0 ；⑤ 9a - 3b + c > 0．其中正确的结论有（ ）个．
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
10 ．如图，用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ．设矩形菜 园的边AB 的长为x m，面积为 Sm2 ，其中 AD ≥ AB ．有下列结论：
① S 与x 之间的函数关系为S = -2x2 + 30x ；
②x 的取值范围为2 ≤ x ≤ 10 ；
③ AB 的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为100m2 ；
④矩形菜园ABCD 的面积的最大值为 ． 其中，正确结论是( )
A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 ．把一元二次方程x2 + 6x + 4 = 0化成(x + m)2 = n 的形式，则m + n 的值为 ．
12 ．徐老师购买了 1681 张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位 同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生．
13．若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a = ．
14 ．如图 1，在 Rt△ABC 中，上C = 90° , D 为AC 上一点， 动点 P 以每秒 1 个 单位长度的速度从点 C 出发，沿C → B → A 的方向匀速运动；到达点A 时停止，以DP 为 边作正方形DPEF ．设点 P 的运动时间为 ts，正方形 DPEF 的面积为 S，当点 P 由点 B 运动
到点 A 时，经探究发现 S 是关于 t 的二次函数，并绘制成如图 2 所示的图象，则由图象可知 线段AC 的长为 ．
15 ．已知点A(-1,1) ，B(4,1) ，若抛物线y = ax2 - 2ax + 4(a < 0) 与线段AB 恰有一个公共点， 则 a 的取值范围为 ．
三、解答题（一）：本大题共 3 个小题，每小题 7 分，共 21 分．解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤）
16 ． 解方程：
(1) x2 - 4x + 1 = 0 ；
(2) x2 - 5x + 6 = 0 ．
17 ．如图，已知二次函数y= a (x +1)2 + b 的图象与x 轴交于点A(-3, 0) 和点B ，与y 轴交于 点C(0, -3) ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连接AC ，BC ，求 △ABC 的面积．
18．某超市于今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品．当商品售价为 40 元时，一月份销 售 256 件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销 售量达到 400 件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价 1 元， 销售量在 400 件的基础上增加5 件，当商品降价多少元时，超市获利 4250 元？
四、解答题（二）：本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分．解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤）
19 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - 2(m +1)x + m2 + 5 = 0 有实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)方程的两个实数根 x1 、x2 满足(x1 - 1) (x2 - 1) = 3m ，求实数 m 的值．
20．如图 1 是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口H 离地竖直高度OH 为1.2m ，喷出 的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到， 上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m ．把绿化带横截面抽象 为矩形DEFG ，绿化带的水平宽度DE = 3m ， 竖直高度EF = 0.6m ．洒水车到绿化带的距离 OD 为d （单位：m），建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为 5.5 米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒 水车淋到水？并写出你的判断过程．
21 ．如图，在Rt△ABC 中，ÐB = 90° , AB = 6cm ，BC = 3cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向 点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒(0 < t < 3)．
(1)当t 为何值时， △BPQ 为等腰三角形？
(2)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求此时t 的值；若不存 在，请说明理由；
(3)当t 为何值时，P 、Q 间的距离等于2 cm ？
五、解答题（三）：本大题共 2 个小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
22 ．已知二次函数y = ax2 + 4ax + 3a (a ≠ 0)．
(1)当a = 1 时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ；
@若点(m, y1 ) 与(m + 3, y2 ) 分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，y1 ≤ y2 ，求m 的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移k(0 < k < 2) 个单位长度，若平移后的二次函数在-2 ≤ x ≤ 0 的范围内有最大值为 求k 的值．
23 ．【定义与性质】
定义：如图，记二次函数y = a(x - b)2 + c 和y = -a(x - p)2 + q(a ≠ 0) 的图象分别为抛物线C 和C1 ，若抛物线C1 的顶点Q(p, q) 在抛物线C 上，则称C1 是C 的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
@若C1 是C 的伴随抛物线，则C 也是C1 的伴随抛物线，即C 的顶点P(b, c) 在C1 上． 【理解与运用】
（1）证明性质@；
（2）若二次函数和 的图象都是抛物线 的伴随抛 物线，则m = ______ ，n = ______．
【思考与探究】
（3）设函数 y = x2 - 2kx + 2k + 3 的图象为抛物线C2 ．
①若函数y = -x2 + dx + e 的图象为抛物线C0 ，且C2 始终是C0 的伴随抛物线，求d ，e 的值； @在（3）①的条件下，若抛物线C2 与x 轴有两个不同的交点(x1 , 0) ，(x2 , 0)(x1 < x2 ) ，请直 接写出x1 的取值范围．
1 ．D
【分析】本题考查二次函数的识别 ．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A ．最高次项为一次，不符合题意；
B ．当a =0 时，不是二次函数，不符合题意；
C ． 不是整式，不符合题意；
D ．y = 3 (x -1)2 满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D．
2 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把x = 4 代入方程x2 - 2x + c = 0 ，然后解关于c 的方 程42 - 2× 4 + c = 0 ，即可得到答案．
【详解】解：把 x = 4 代入方程x2 - 2x + c = 0 得，42 - 2× 4 + c = 0 ，
解得：c = -8 ，
选项 A 符合题意， 故选：A ．
3 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到x1 + x2 = 3 ，x1x2 = -5 ，即可求出x1 + x2 - x1x2 的值．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2 - 3x - 5 = 0的两个根是x1 , x2 ，
: x1 + x2 - x1x2 = 3 - (-5) = 8 ， 故选：A．
4 ．C
【详解】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键．
由各边之间的关系，可得出被分成六块的活动场所可合成长为(80 - 2x ) 米，宽为(50 - x)米的 长方形，
再根据绿化带分为总面积为 2000 平方米的活动场所，可得出关于x 的一元二次方程，此题 得解．
【解答】解：Q 长方形场地的长为 80 米，宽为 50 米，绿化带的宽度为x 米， :被分成六块的活动场所可合成长为(80 - 2x ) 米，宽为(50 - x)米的长方形， 由题意得：(80 - 2x )(50 - x ) = 2000 ，
故选：C．
5 ．B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析 式．根据题意，可设抛物线的解析式为y = mx2 ，将点 A 坐标代入求出 m 的值即可得出其解 析式，再求出y= -144 时 x 的值即可得出答案．
【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为 y = mx2 ， 将点A(-15, -100) 代入得：-100 = m . (-15)2 ，
解得： ，
则抛物线解析式为 ， 当y = -144 时
解得：x = ±18 ，
∵点 B 在第四象限， : a = 18 ．
故选：B．
6 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于 能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ = 12 - 4k× (-2) > 0 且k ≠ 0 ，求出 k 的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程kx2 + x - 2 = 0 有两个不相等的实数根，
故选：B．
7 ．C
【分析】x=0，求出两个函数图像在 y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定 出 a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解．
【详解】x=0 时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图像与y 轴相交于同一点，故 B 、D 选项错误；
由 A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像， 一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特 征和系数的关系是解题的关键．
8 ．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
根据表格中数据求出对称轴为x =1 ，当 x =1 时，y 有最小值-1，然后逐项判断即可．
【详解】解：:当x = -1 和x = 3 时，y = 3 ， :抛物线对称轴为，
:当x = -1 时，y = 3 ，当 x = 1 时，y = -1，且 3 > -1 ， :当x =1 时，y 有最小值-1 ，C 正确；
:抛物线开口向上，A 正确； :抛物线对称轴为x = 1 ，
:当x = 0 和x = 2 时，y = 0 ，
:当y = 0 时，x 的值为 0 或 2 ，D 错误；
:抛物线开口向上，对称轴为x =1 ，且过点(0,0) ， :图象不经过第三象限，B 正确；
故选：D．
9 ．C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二 次函数的性质解答．根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子 是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：由图象可得，a < 0 ，b < 0 ，c > 0 ， : abc > 0 ，故①正确，符合题意；
图象与 x 轴两个交点，故b2 - 4ac > 0 ， : 4ac < b2 ，故②正确，符合题意；
:对称轴为直线x=- 1，
: b = 2a ，
: 2a - b = 0 ，故③正确，符合题意；
当x=- 1 时，y = a - b + c > 0 ，故④正确，符合题意；
由抛物线对称性，当x = -3 时，y = 9a - 3b + c < 0 ，故⑤错误，不符合题意． 则正确的结论有：①②③④共 4 个．
故选：C．
10 ．D
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答 本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为18m, AD≥ AB ，列不等式组，解不 等式组即可求出自变量 x 的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积= 100 列出方程，解 方程求 x 的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④ .
【详解】解：:四边形ABCD 是矩形，
:S = x (30 - 2x) = -2x2 + 30x ，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边AB 的长为xm，则 BC 的长为(30 - 2x)m ， :墙长为18m, AD≥ AB ，
ì30 - 2x ≥ x
: íl30 - 2x ≤ 18 ，
ìx ≤ 10
lx ≥ 6
解得： í ,
:x 的取值范围为6 ≤ x ≤10 ，故②错误；
当y = 100 时，即x (30 - 2x) = 100 ， 解得x1 = 5, x2 = 10 ，
∵ 6 ≤ x ≤10 ， : x = 10 ，
: AB 的长只有 1 个值满足该矩形菜园的面积为100m2 ，故③正确； ∵ S = x (30 - 2x ) = -2x2 + 30x = -2(çè x - 2 + ，
∵-2 < 0, 6 ≤ x ≤ 10 ，
:当时，S 有最大值，最大值为，故④正确．
故选：D．
11 ．8
【分析】根据 x2 + 6x + 4 = 0得x2 + 6x = -4故(x + 3)2 = 5 ，类比 (x + m)2 = n ，得到 m = 3, n = 5 ，解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：根据 x2 + 6x + 4 = 0得x2 + 6x = -4 ，
故(x + 3)2 = 5 ，
类比(x + m)2 = n ， 得到m = 3, n = 5 ， 故 m + n = 3 + 5 = 8 ．
故答案为：8．
12 ．41
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有x 名学生，根据题意列出方 程x (x -1) + x = 1681 即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键．
【详解】解：设班级有x 名学生， 根据题意得：x (x -1) + x = 1681 ，
解得：x1 = 41 ，x2 = -41（舍去）， :班级共有 41 名学生．
故答案为：41 ．
13 ．-1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得
根据一元二次方程的定义可得a -1 ≠ 0 ，据此求解即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
: a = -1 ，
故答案为：-1．
14 ．4
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图 2 可得：当点 P 运动到点A 处时，
S = AD2 = 18 ，由此可得 AD 的长，进而可得AC 的长．理解题意，结合图象，运用数形结 合的思想是解题的关键．
【详解】解：由图 2 可得：当点 P 运动到点A 处时，S = AD2 = 18 ， : AD = = 3 ，
: AC = AD + CD = 3 + = 4 ．
故答案为：4 ．
15 ．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的表达式可得出抛物线的对 称轴为直线x =1 ，与 y 轴的交点坐标为(0, 4) ，再利用分类讨论的数学思想即可解答．
【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线： ，
当 x = 0 时， y = 4 ，
所以抛物线与y 轴的交点坐标为(0, 4) ， 又∵抛物线与线段AB 恰有一个公共点，
当a < 0 时，将坐标(-1,1) 代入函数解析式得：a + 2a + 4 = 1， 解得a = -1 ；
将坐标(4,1) 代入函数解析式得：16a - 8a + 4 = 1 ，
解得：
当a = -1 时，抛物线为y = -x2 + 2x + 4 ，
联立得，1 = -x2 + 2x + 4，即 x2 - 2x - 3 = 0 ，
解得x1 = -1 ，x2 = 3 ，此时抛物线 y = ax2 - 2ax + 4 与线段AB 有两个公共点，
不符合题意，舍去；
当 时，抛物线为
联立得 即x2 - 2x - 8=0 ，
解得x1 = -2 ，x2 = 4 ，此时抛物线 y = ax2 - 2ax + 4 与线段AB 只有一个公共点， 符合题意；
如图，要使抛物线y = ax2 - 2ax + 4 与线段AB 只有一个公共点，
当x = -1 时，y > 1 ，当 x = 4 时，y ≤ 1， 即a + 2a + 4 > 1 且16a - 8a + 4 ≤ 1
解得
故答案为 ．
16 ．
(2) x1 = 2, x2 = 3
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用公式法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：x2 - 4x + 1 = 0 ， ∵ a = 1 ，b = -4 ，c = 1，
Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4´ 1´ 1 = 12 > 0 ， :方程有两个不相等的实数根，
:方程的解为x1 = 2 - ，x2 = 2 + ；
（2）解：x2 - 5x + 6 = 0 ，
因式分解，得(x - 2)(x - 3) = 0 ， : x - 2 = 0 或 x - 3 = 0 ，
: x1 = 2 ，x2 = 3 ．
17 ．(1) y = x2 + 2x - 3
(2)6
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二 次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）由题意得 AB = 4 ，OC = 3 ，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线 x = -1 ， ∵点A(-3, 0) ，
:点B 的坐标为(1, 0) ．
设这个二次函数的表达式为：y = a (x + 3)(x -1) ， 将C(0, -3) 代入，得：-3a = -3 ，解得：a = 1，
:这个二次函数的表达式为：y = (x + 3)(x -1) = x2 + 2x - 3 ；
（2）解：∵ A(-3, 0) ，B (1, 0) ，C (0, -3) ， : AB = 4 ，OC = 3 ，
18 ．(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)当商品降价 5 元时，商场获利 4250 元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x ，利用该商品三月份的销售量= 该商品一月份 的销售量×(1+ 二、三这两个月的月平均增长率)2 ，列出一元二次方程，解之取其符合题意的 值即可；
（2）设商品降价y 元，则每件的销售利润为(40 -y - 25) 元，月销售量为(400 + 5y) 件，根 据超市获利 4250 元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为 x ， 根据题意得：256 (1+ x )2 = 400 ，
解得：x1 = 0.25 = 25% ，x2 = -2.25 （不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）解：设商品降价y 元，则每件的销售利润为(40 -y - 25) 元，月销售量为(400 + 5y) 件，
根据题意得：(40 -y - 25)(400 + 5y) = 4250 ，
整理得：y2 + 65y - 350 = 0 ，
解得：y1 = 5 ，y2 = -70 （不符合题意，舍去），
答：当商品降价 5 元时，超市获利 4250 元．
19 ．(1) m ≥ 2
(2)4
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式 Δ ≥ 0 ，即可得出关于 m 的一元一次不等式， 解之即可得出m 的取值范围；
（2）根据方程的系数结合，可得出关于 m 的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于m 的方程． 【详解】（1）解： Q 关于x 的一元二次方程x2 - 2(m +1)x + m2 + 5 = 0 有实数根，
: Δ = -2(m +1)2 - 4× 1 × (m2 + 5) = 4 (m +1)2 - 4(m2 + 5) ≥ 0 ， 解得：m ≥ 2 ．
（2）解：方程x2 - 2(m +1)x + m2 + 5 = 0 的两个实数根 x1 、x2 ， : x1 + x2 = 2 (m +1) ，x1x2 = m2 + 5 ，
原式= x1x2 - (x1 + x2 ) +1 = m2 + 5 - 2(m +1) +1
: m2 + 5 - 2(m +1) +1 = 3m : m2 - 5m + 4 = 0
: (m -1)(m - 4) = 0
: m1 = 1（与 m ≥ 2 相矛盾，故舍去）， m2 = 4 ．
20 ．(1) y = -0.1(x - 2)2 +1.6
(2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用， 二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。
（1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数；
（2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否 会被淋到。
【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为2m ， 高出喷水口0.4m ，喷水口 H 离地竖直高度OH 为1.2m ，
所以顶点 A 的坐标为(2,1.2 + 0.4) = (2,1.6)， 那么上边缘抛物线设为y = a(x - 2)2 + 1.6 。
又因为点H(0,1.2) 在该抛物线上，将x = 0 ，y = 1.2 代入y = a(x - 2)2 + 1.6可得：
解得：a = -0.1
所以上边缘抛物线的函数解析式为y = -0.1(x - 2)2 +1.6 。
（2）解：已知行人距喷水口水平距离为 5.5 米，即 x = 5.5 ， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式y = -0.1(x - 2)2 +1.6 中， 可得：y = -0.1× (5.5 - 2)2 +1.6= 0.375
因为0.375 > 0 ，说明在行人所在位置，水的高度大于 0， 所以该行人会被洒水车淋到水。
21 ．(1)当t = 2s 时， △BPQ 为等腰三角形
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）依题意得，AP = 2t ，BQ = t ，当 △BPQ 为等腰三角形时，只有BP = BQ ，联 立方程即可求解；
（2）依题意得 化简得2t2 - 6t + 9 = 0 ，再根据判别式确定即可；
（3）由于ÐB= 90°,则 PQ2 = PB2 + BQ2 ，代入 5t2 - 24t +16 = 0 化简求值即可.
【详解】（1）解：依题意得，AP = 2t ，BQ = t ， 则BP = 6 - 2t ，
当 △BPQ 为等腰三角形时，只有BP = BQ ， : 6 - 2t = t ，
解得t = 2 ，
即当t = 2s 时， △BPQ 为等腰三角形；
（2）不存在，理由如下：
依题意得
2t2 - 6t + 9 = 0 ，
Q Δ = 36 - 72 < 0 ， :方程无实根，
: 不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分；
（3）Q ÐB = 90° , PQ = 2 ，
: PQ2 = PB2 + BQ2 ，
: (6 - 2t)2 + t2 = (2)2 ， 化简得：5t2 - 24t +16 = 0 ， 解得t = 4 或t = ，
∵ 0 < t < 3
: t = 4 不符合题意，舍去
故 时， P 、Q 间的距离等于2 cm ．
【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题， 涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程 等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解．
(2) k 的值为 或
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质以及平移，熟记二次函数的增减性是解本题的 关键；
（1）①把 a = 1 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得顶点坐标即可；
②根据二次函数的增减性得出 m + 3 - (-2) ≥ -2 - m ，结合-5 < m < -2 ，求出 m 的取值范围 解题即可；
（2）求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意分情况得到关于 k 的 方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①当 a = 1 时，抛物线解析式为 y = x2 + 4x + 3 ， Q y = x2 + 4x + 3 = (x + 2)2 -1，
:顶点坐标为：(-2, -1)；
②:二次函数y = x2 + 4x + 3 的对称轴为直线 :点( (m,y1 ) 与 (m + 3,y2 ) )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， : m < -2 ，m + 3 > -2 ，
:-5 < m < -2 ， : y1 ≤ y2 ，
: a = 1 > 0 ，
: m + 3 - (-2) ≥ -2 - m ， 解得：
（2）解：Q y = ax2 + 4ax + 3a = a (x + 2)2 - a ，
:抛物线的顶点为 (-2, - a ) ，
①若 a > 0 ，将该二次函数图象向右平移 k(0 < k < 2) )个单位得到 y = a (x + 2 - k)2 - a ， :对称轴为直线x = k - 2 ，而 -2 < k - 2 < 0 ，
:当0 < k ≤ 1 时，此时-2 < k - 2 ≤ -1， :-2 ≤ x ≤ 0 ，
:当x =0 时函数取得最大值，
解得： 或 : 0 < k ≤ 1，
当1 < k < 2 时，此时-1< k - 2 < 0 ， 此时当x = -2 时函数取得最大值，
解得： 或 : 1 < k < 2 ，
②若 a < 0 ，
:对称轴为直线x = k - 2 ，而 -2 < k - 2 < 0 ，-2 ≤ x ≤ 0 ，
:当x = k - 2 时，函数取得最大值-a ，则 ，解得：a = 0 ，不符合题意，舍去；
综上，k 的值为 或 ．
23 ．（1）见解析；（2） ； ± ；（3）① d = 2 ，e = 3 ；②x1 < -1 或1< x1 < 3
【分析】本题考查了二次函数的性质， 二次函数顶点式y= a (x - h)2 + k(a ≠ 0) 的性质，结合 “伴随抛物线的定义”求出抛物线的顶点坐标是解决本题的关键．
（1）由C1 是C 的伴随抛物线，可将点Q(p, q) 代入抛物线C 中可得q= a(p- b)2 + c 成立，再 将点P(b, c) 代入抛物线C1 中可证q= a(p- b)2 + c 成立，即可得证；
（2）根据“伴随抛物线”的定义，将二次函数的顶点代入中即可求解；
（3）①先将抛物线C2 化为顶点式，再求出抛物线C2 的顶点，由“ C2 始终是C0 的伴随抛物线”
可令 k 的值，再将 k 的值代入抛物线C0 中，即可求解；
②先求出抛物线C0 的顶点坐标和与 x 轴的交点，再根据抛物线C2 的运动过程即可求解．
【详解】（1）证明：: C1 是C 的伴随抛物线，
即抛物线C1 的顶点Q(p, q) 在抛物线C 上，
: q = a(p - b)2 + c 成立，
抛物线C : y = a(x - b)2 + c 的顶点坐标为P(b, c) ，
将点P(b, c) 代入C1 : y = -a(x - p)2 + q(a ≠ 0) 中，
则有c = -a(b -p)2 + q ，
即-q = -a(b - p)2 - c ，
整理可得，q = a(p- b)2 + c ，
:抛物线C 的顶点P(b, c) 在抛物线C1 上，
: C 也是C1 的伴随抛物线；
（2）解：由“伴随抛物线”的定义可知，
若二次函数 和 3 的图象都是抛物线 的伴随抛物线， 则有顶点(1, m) 和顶点(n, 3) 在抛物线上，
即n2 = 6 ，解得 ，
故答案为： ； ± ;
（3）①解：抛物线C2 : y = x2 - 2kx + 2k + 3 ，
化为顶点式可得，C2 : y = x2 - 2kx + k2 + 2k + 3 - k2 = (x - k)2 + 2k + 3 - k2 ， :抛物线C2 的顶点坐标为(k, -k2 + 2k + 3) ，
∵ C2 始终是C0 的伴随抛物线，
:令k = 0 ，则顶点坐标为(0, 3)；
令k = 1，则顶点坐标为(1, 4) ； 解得 ， : d 的值为 2 ，e 的值为 3；
②解：由（1）可知，C0 : y = -x2 + 2x + 3= - (x -1)2 + 4 ，顶点为(1, 4) ， ∵ C2 始终是C0 的伴随抛物线，
:抛物线C2 的顶点(k, -k2 + 2k + 3) 在抛物线C0 上运动， 令-x2 + 2x + 3 = 0 ，解得 x1 = -1 ，x2 = 3 ，
:抛物线C0 与 x 轴的交点为(-1, 0) ，(3, 0)，
∵抛物线C2 与x 轴有两个不同的交点(x1 , 0) ，(x2 , 0)(x1 < x2 ) ， 当抛物线C2 的顶点在(-1, 0) 下方时，则x1 < -1 ，
∵ C2 始终是C0 的伴随抛物线， 则C0 也是C2 的伴随抛物线， :顶点(1, 4) 也在C2 上，
当抛物线C2 的顶点在(3, 0)下方时，则1< x1 < 3 ， : x1 的取值范围为x1 < -1 或1< x1 < 3 ．