初中数学正多边形的有关计算巩固练习

这是一份初中数学正多边形的有关计算巩固练习，共36页。试卷主要包含了3 正多边形的有关计算，1mm ）．，4 ，等内容，欢迎下载使用。
22.3 正多边形的有关计算
课后作业
（提升练）知识点 正多边形和圆
1 ．“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元 263 年左右，我国一 位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多 边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割 之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ．请问上述 著名数学家为( )
A ．刘徽 B ．祖冲之 C ．杨辉 D ．秦九韶
2 ．下列说法错误的是( )
A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B ．已知eO 的半径为6 ，点 O 到直线a 的距离为5 ，则直线a 与eO 有两个交点
C ．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝 角三角形
D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
3 ．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分 别为O1 ，O2 ，公共边为CD ，其中一个正六边形的外接圆与O1O2 交 于点 A，若O2 A = 2 ，则四边形O1CO2D 的面积是( )
A ．4 B ． C ． D ．2
4 ．古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子 的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则 等于
A ． B ． C ． D ．
5 ．如图，eO 是正六边形ABCDEF 的外接圆，半径为2 ，过点 O 作 OG 丄 AB 于点G ，给出下列结论：①圆心角上AOB = 60° ; ②弦长
AB = 2 ；③ OG = 2 ；④图中阴影部分的面积为 τ - ·、； ⑤ 的长为
. 其中正确的结论是( )
A ．②④⑤ B ．①②⑤ C ．①③⑤ D ．①②④
6 ．如图，正五边形ABCDE 的顶点A, C 在eB 上，F 是优弧AC 上的一 点（不与点A, C 重合），连接AF, CF ，则 上AFC 的度数为 ．
7 ．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图 1 是 2024 年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃 菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图 2 所 示，已知该正六边形ABCDEF 的周长约120mm ，则该正六边形铁块 的外接圆的半径为 mm ．
8 ．具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增 添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图 1 是阅览室墙上 设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图 2 所示，若每个正六边形的边长均为 2，则该置物架所占用墙面 的长度 d 的值为 ．
9 ．如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形 和四边形镶嵌而成，A ，B ，C 为各多边形顶点，则 的值为 ．
10 ．如图 1 的螺丝钉由头部( 直六棱柱) 和螺纹( 圆柱) 组合而成， 其俯视图如图 2 所示．珍珍想用一把刻度尺测量出螺纹直径，已 知刻度尺紧贴螺纹( 刻度尺AP 与eO 相切) ，经过点A 且交BC 于点P. 若测得正六边形ABCDEF 的边长为 6 ，AP 长为3 ．
（1）计算BP 的长为 ；
（2）螺纹的直径为 ( 结果保留根号)
11 ．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图 1 中，圆内多边形ABCD 是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求；
(2)在图 2 中，圆内正多边形ABCDE 是正五边形，请作出垂直CD 的 直径．线段 即为所求．
12 ．如图，已知正六边形ABCDEF ，请仅用无刻度的直尺按要求完
成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图 1 的正六边形ABCDEF 内部作一点M ，连接AM ，使得
(2)在图 2 的正六边形ABCDEF 内部作一点N ，连接AN ，使得
13 ．如图，是中国人民银行1992 年发行的铝锌合金外圆内凹九边 形立体感极强的“菊花 1 角硬币”．霖霖移动该硬币（eO ）与直角 三角形（DEF ）形成如图所示位置．其中，AB 是eO 内接正九边形 的一条边，DF 经过点B 和圆心O ，点 C 是DE 与eO 的交点，
上AOC = 上E = 90° , 上F = 50° .
(1)求证：DE 是eO 的切线；
(2)若EF 切eO 于点G ，且霖霖测得DE ≈ 25mm ，EF ≈ 21mm ，求该硬币
（eO ）的直径为多长（精确到0.1mm ）．
14 ．拓广探索
课本习题重现：把圆分成n (n ≥ 3) 等份，经过各分点作圆的切线，
以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n 边形，
如图，eO 的半径是R ，分别求它的外切正三角形，外切正方形， 外切正六边形的边长．（请把答案填在方括号里面）
思路拓展：我们发现上面三个正多边形顶点又在一个圆上，并且 这个圆是这个正多边形的外接圆，依据半径为R 的内切圆，请求 出这三个正多边形的外接圆的直径d 是多少？（请将答案填在小 括号里面）
15．平面内一个正 n 边形，将平面内与正 n 边形的各顶点距离都
...
小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正 n 边形的“伴侣
形” ．将正 n 边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组
. ...
成的图形称为这个正 n 边形的“远伴侣形”．
【观察】如图 1，边长为 1 的等边 △ABC ，分别以 A 、B 、C 为圆 心，AB 长为半径画圆弧，则三条弧AB ，BC ，AC 及其内部所组成 的图形上的点到各顶点距离都小于等于 1，我们把这个图形称为 正 △ABC 的“伴侣形”．
【判断】
(1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”， ______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】
(2)如图 2，边长为 1 的正方形ABCD ，请作出正方形ABCD 的“伴侣 形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形ABCD 的“伴侣形”的周 长；
【探究】
(3)结合图 3 分析，若正 n 边形的边长为 1，则当n = 7 时，其“远伴 侣形”的周长为______，则当n = 8 时，“远伴侣形”的周长为
______；
【归纳】
(4)边长为 1 的正 n 边形（n ≥ 7 ），其“远伴侣形”的周长为______．
1 ．A
【分析】此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等． 根据数学史的了解进行选择．
【详解】解：上述著名数学家是刘徽． 故选：A．
2 ．A
【分析】根据正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定义、三角 形内心的定义逐项判断即可．
【详解】A、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形， 说法错误，该选项符合题意；
B、圆心O 到直线a 的距离为5 ，小于eO 的半径长度，所以直线a 和eO 相交，有两个交点， 说法正确，该选项不符合题意；
C、三角形的外心是三角形外接圆的圆心， 若外心在三角形的外部，则三角形内必有一角所 对应的外接圆上的弧为优弧，则该角为钝角，该三角形为钝角三角形，说法正确，该选项不 符合题意；
D、三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离都等于三角形内 切圆的半径，说法正确，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定 义、三角形内心的定义， 牢记正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外 心的定义、三角形内心的定义是解题的关键．
3 ．D
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算， 连接O2D, O2 C, O1D, O1C ，令O1O2 与DC 交于点G ，则O2D = O2 C = O2 A ，上DO2 C = 60° ,
O1D = O2D ，O1O2 丄 DC ，有△O2DC 为等边三角形，即可求得
和O1O2 ，结合面积公式即可求得四边形O1CO2D 的面积．
【详解】解：如图，连接O2D, O2 C, O1D, O1C ，令O1O2 与DC 交于点G ，
则O2D = O2 C = O2 A = 2 ，上DO2 C = 360° ÷ 6 = 60° , O1D = O2D ，O1O2 丄 DC ， ∴△O2DC 为等边三角形，
∴ O1G = O2 G = ·、 ，
∴ O1O2 = O1G + O2 G = 2 ，
则四边形O1CO2D 为菱形，
∴四边形O1CO2D 的面积是 故选：D．
4 ．C
设ON = a ，得到 △OAB ∽△OCD ，即可得到
进一步可得答案．
【详解】解：如图，设正方形及正八边形的中心为点 O，正八边形落在CD 上的顶点为点 M，OM 交AB 于点 N，
设ON = a ，
由正方形和正八边形的性质得到，
上OAN = 上OCM = 上OBN = 上ODC = 45°, 上ONA = 上OMC = 90° ,
: OA = ON = a = OM ， △OAB ∽△OCD ，
故选：C
【点睛】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质、相似 三角形的判定与性质等知识，证明△OAB ∽△OCD 是解题的关键．
5 ．D
【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形是面积，弧长公式等，由正六边形的性质可得
上AOB = 360° ÷ 6 = 60° ,即可判断①；由等边三角形的性质和勾股定理可判断②③；利用
S阴影 = S扇形AOB - S△AOB 求出阴影部分的面积可判断④；利用弧长公式求出 的长可判断⑤ ,
综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①∵eO 是正六边形ABCDEF 的外接圆， : 上AOB = 360° ÷ 6 = 60° ,故①正确；
②∵ 上AOB = 60° , OA = OB = 2 ， : △AOB 是等边三角形，
: AB = OA = OB = 2 ，故②正确； ③∵ OG 丄 AB 于点G ，
故③错误；
④ S阴影 = S扇形AOB - S△ 故④正确；
的长 故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④ ,
故选：D ．
6 ．54° ##54 度
【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得上ABC = 108° 再根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE ，
: F 是优弧AC 上的一点（不与点A, C 重合），
故答案为：54° .
7 ．20
【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接CF 与AD 交于点 O ，证明△COD 为等边三角形，从而 即可得到答案，正确把握正六 边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CF 与AD 交于点O ，
: ABCDEF 为正六边形，
: 上COD = 360° ÷ 6 = 60° , CO = DO ， :△COD 为等边三角形，
: CD = CO = DO ，
:正六边形ABCDEF 的周长约为120mm ， : CD = 120 ÷ 6 = 20 (mm) ，
: CD = CO = 20mm ，
:该正六边形的外接圆半径长为20mm ， 故答案为：20．
8 ．19
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线 是解题的关键．根据题意可得：点 A ，B ，C，D ，E，F，G ，H 共线，连接AB 并延长到点 H，则 AH 丄 HM ，根据题意可得：AB = CD = EF = 4 ，BC = DE = FG = GM = 2 ，然后在 Rt△GHM 中，利用锐角三角函数的定义求出GH 的长，最后进行计算即可解答．
【详解】解：如图：由题意得：点 A ，B ，C，D ，E，F，G ，H 共线，连接AB 并延长到点
H，则 AH 丄 HM ，
由题意得：AB = CD = EF = 4 ，BC = DE = FG = GM = 2 ， 在Rt△GHM 中，上MGH = 60° ,
: AH = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH = 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 +1 = 19 ， :该置物架所占用墙面的长度 d 的值为 19，
故答案为：19．
9 ．
【分析】在图中标出字母如下， 过点A 作AE 丄 BF 延长线于点E ，连接CF ，作FP 丄 AG 于 点P ，过点G 作HG 丄 BE 于点H ，易得四边形 AEHG 和AEFP 是矩形，再根据正六边形的 性质求出每个内角的度数，进而得到 △MGN 是等边三角形，设AF = GM = a ，易表示出
EF ，PF ，CP ，BE ，再利用矩形的性质和勾股定理求解 AC 和AB 的长度即可求解．
【详解】解：在图中标出字母如下，过点A 作AE 丄 BF 延长线于点E ，连接CF ，作FP 丄 AG 于点P ，过点G 作HG 丄 BE 于点H ，
则四边形AEHG 和AEFP 是矩形．
Q 人行道上地板砖由正六边形和四边形镶嵌而成，
:正六边的内角为
:上AFM = 上FMG = 120° ,
:上EFA = 上GMH = 上GNH = 60° ,
:上EAF = AFP = 上MGH = 30° , △MGN 是等边三角形． 设AF = GM = a ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正六边形的性质， 平面镶嵌，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和 性质，勾股定理，标出字母，作出辅助线构建直角三角形是解答关键．
10 ． 3
【分析】此题主要考查了切线的性质， 正多边形和圆，理解切线的性质，熟练掌握正多边形 的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用含有30° 角的直角三角形的性质，勾股定理及 三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
（1）连接OA ，OB ，OC ，OP ，过点 P 作PH 丄 AB ，交 AB 的延长线于点 H，设AP 与eO 相切于点 Q，连接OQ ，由正六边形性质得 △OAB 和△OBC 是等边三角形，则
OA = OB = OC = AB = BC = 6 ，上ABC = 120° , 进而得上PBH = 60° , 设BH = a ，则AH = 6 + a ， 继而得BP = 2BH = 2a ，PH = a ，在Rt△APH 中，由勾股定理求出 a 即可得出BP 的长；
（2）根据 BP = 3 ，BC = 6 得BP = CP = 3 ，根据等边三角形性质得OP 丄 BC ，由勾股定理 求出 OP = 3 ， 证明 OA∥BC 得 OP 丄 OA ，再由切线性质得OQ 是eO 的半径， OQ 丄 AP ，
然后由三角形的面积公式求出 进而可得螺纹的直径．
【详解】解：（1）连接 OA ，OB ，OC ，OP ，过点 P 作PH丄 AB ，交 AB 的延长线于点 H，设 AP 与eO 相切于点 Q，连接OQ ，如图所示：
Q 六边形ABCDEF 是正六边形，且边长为 6，
: AB = BC = 6 ，上AOB = 上BOC = × 360° = 60° , OA = OB = OC ， : △OAB 和△OBC 都是等边三角形，
:上OAB = 上OBA = 上OBC = 60° , OA = OB = OC = AB = BC = 6 ，
:上ABC = 上OBA + 上OBC = 120° ,
:上PBH = 180° - 上ABC = 60° ,
设BH = a ，则 AH = AB + BH = 6 + a ，其中 a > 0 ， 在Rt△PBH 中，上BPH = 90° - 上PBH = 30° ,
:BP = 2BH = 2a ，
由勾股定理得 在Rt△APH 中
由勾股定理得：AH2 + PH2 = AP2 ，
:(6 + a)2 + ( a)2 = (3 )2 ， 整理得：4a2 +12a - 27 = 0 ，
解得： 不合题意，舍去) ，
:BP = 2a = 3， 故答案为：3；
（2）Q BP = 3 ，BC = 6 ， :BP = CP = 3 ，
Q△OBC 是等边三角形， : OP 丄 BC ，
在Rt△OPB 中，由勾股定理得 Q 上OAB = 60° , 上PBH = 60° ,
:上OAB = 上PBH = 60° ,
: OA Ⅱ BC ，
Q OP 丄 BC ，
: OP 丄 OA ，
:△OAP 是直角三角形， Q AP 与eO 相切于点 Q，
: OQ 是eO 的半径，OQ 丄 AP ，
由三角形的面积公式得
: eO 的直径为
即螺纹的直径为 .
故答案为
11 ．(1)作图见解析，O
(2)作图见解析，AG
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接 AC ，BD ，交点即为圆心 O ．
（2）延长 BC, ED 交于点F ，作射线 AF 交圆于点G ，则 AG 即为所求．
【详解】（1）解：如图 1，连接 AC ，BD ，相交于点 O ，则点 O 即为所求．
（2）解：如图 2，延长 BC, ED 交于点F ，作射线 AF 交圆于点G ，则 AG 即为所求．
12 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识， 掌握正六边形的性质是解答的关 键．
（1）连接AD 、BE ，设交点为 M，根据正六边形的性质可得上BAM = 60° , 利用 可得点 M 即为所求；
（2）连接 BD ，CF ，设交点为 N，可得 上ABN = 90° , CF 丄 BD ，上CBN = 30° ,则 由tan上 可得结论．
【详解】（1）解：如图 1，点 M 为所求作；
（2）解：如图 2，点 N 即为所求作：
13 ．(1)见解析
(2)该硬币(ΘO ）的直径为 22.8mm
【分析】本题考查了正多边形与圆， 切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上 知识点是解题的关键；
（1）根据正多边形的性质可得中心角 上AOB = = 40° ,进而得出 上BOC = 上F 得出 CO∥EF 则CO 丄 DE ，即可得证；
（2）连接OG ，证明四边形 OCEG 是正方形，设ΘO 的半径为r ，证明 △DCO∽△DEF ，根 据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵ AB 是ΘO 内接正九边形的一条边，
:中心角上 ∵ 上AOC = 上E = 90° ,
: 上BOC = 50° , EF 丄 DE ， ∵ 上F = 50° ,
: 上BOC = 上F ， : CO∥EF ，
: CO 丄 DE ，
又∵ CO 是半径，
: DE 是ΘO 的切线；
（2）解：连接OG ，
∵ EF 切ΘO 于点G ，
: OG 丄 EF ，
: 上E = 上OCE = 上OGE = 90° , :四边形OCEG 是矩形，
又∵ OC = OG ，
:四边形OCEG 是正方形， 设ΘO 的半径为r ，
: CE = OG = r ，
∵ CO∥EF ，
: △DCO∽△DEF ，
,
解得：r ≈ 11.4 ，
:该硬币(ΘO ）的直径为 22.8mm ．
14 ．2 R ，2R ； R ，4R ，2 R ， R
【分析】本题考查了正多边形和圆， 主要利用了解直角三角形，熟记正多边形和圆的性质是 解题的关键．
标注字母，外切正三角形时，求出上AOD = 60° ,然后解直角三角形求出 AD ，再根据边长 AB = 2AD 计算即可得解；
外切正方形时，求出上AOD = 45° , 根据等腰直角三角形的性质可得AD = OD ，再根据边长 AB = 2AD 计算即可得解；
外切六边形时，求出上AOD = 30° , 然后解直角三角形求出AD ，再根据边长AB = 2AD 计算 即可得解．
根据求外切多边形时的作图和解直角三角形的知识即可求出这三个正多边形的外接圆的直 径d ．
【详解】解：如图，外切正三角形时，上AOD = 360° ÷ 6 = 60° ,
所以，AD = OD. tan 60° = R ，
所以，外切正三角形边长AB = 2AD = 2 R ； 外切正方形时，上AOD = 360° ÷ 8 = 45° ,
所以， △AOD 是等腰直角三角形， 所以，AD = OD = R ，
外切正方形的边长AB = 2AD = 2R ；
外切六边形时，上AOD = 360° ÷ 12 = 30° ,
所以， ，
所以，外切六边形的边长AB = 2AD = 2 R ． 3
故答案为：2 R ，2R ； R 如图，作正三角形的外接圆，
即正三角形的外接圆的直径d = 4R ， 如图，作正方形的外接圆，
即正方形的外接圆的直径d = 2R ， 如图，作正六边形的外接圆，
OD R 2
则AO = = = R ，
cs 上AOD cs 30° 3
即正六边形的外接圆的直径 故答案为
15 ．(1)不是；不是
(2)图形见详解， (3) ，
【分析】（1）根据定义判断正多边形的中心点到顶点的距离即可得到结论；
（2）利用定义即可画出正方形ABCD 的“伴侣形” ，连接AE 、DE 和AF ，根据定义有△AED 为等边三角形，得上DAE = 60° ,求得 上FAE = 30° ,结合弧长公式即可求得答案；
（3）当 n =7 ，连接 AM 、BM 、BN 和NC ，由题意得 AM = BM = AB = BC = BN = NC ， 则 △ABM 和△BCN 为等边三角形，得上ABM = 上CBN = 60° ,由 Ð ABC 和上MBN的度数， 即可求得 的长度，则有“远伴侣形”的周长；当n = 8 时，“远伴侣形”的周长同理即可求得；
（4）结合前面的求解过程先求一段弧长对应的角度，再求其弧长即可解得“远伴侣形”的周 长．
【详解】（1）解：不是所有的正多边形都有“伴侣形”，当n=6 时，“伴侣形”为一个点，当n ≥ 7 时没有“伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离大于边长便没有“伴侣形”；
不是所有的正多边形都有“远伴侣形”，当 n ≤ 6 时没有“远伴侣形”，即当正多边形的中心到 顶点的距离小于边长便没有“伴侣形”；
（2）如图，
设“伴侣形”的两个顶点为 E、F，连接 AE 、DE 和AF ，如图，
由题意得AD = AE = ED ，则△AED 为等边三角形，得上DAE = 60° , : 上EAB = 30° ,同理 上FAD = 30° ,
: 上FAE = 30° ,
故正方形ABCD 的“伴侣形”的周长 ， （3）
连接AM 、BM 、BN 和NC ，如图，
由题意得AM = BM = AB = BC = BN = NC ，则 △ABM 和△BCN 为等边三角形，得
上ABM = 上CBN = 60° ,
故当n =7 时，其“远伴侣形”的周长为 ，
当n = 8 时，“远伴侣形”的周长为 (çè-120°× 2π × 1 × 8 = π × 8 = 2 π ,
360° 180° 3
【点睛】本题主要考查新定义下的正多边形中心点到顶点的距离、正多边形一边对应新定义 下所围成的角度和弧长公式，解题的关键是要理解并画出“伴侣形”和“远伴侣形”，再结合角 度和弧长公式．