初中数学北京课改版九年级上册正多边形的有关计算课后练习题

这是一份初中数学北京课改版九年级上册正多边形的有关计算课后练习题，共13页。试卷主要包含了3 正多边形的有关计算等内容，欢迎下载使用。
22.3 正多边形的有关计算
课后作业
（基础练）知识点 正多边形和圆
1 ．若一个圆内接正多边形的中心角是40° , 则这个多边形是( )
A ．正十边形 B ．正九边形 C ．正八边形 D ．正七边形
2 ．正六边形的中心角的度数是( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3 ．如图，已知正五边形ABCDE 内接于eO ，则 Ð AOB 的度数是( )
A ．45° B ．60° C ．72° D ．90°
4 ．如图，将正方形AMNP 和正五边形ABCDE 的中心O 重合，按如图 位置放置，连接OP 、OE ，则 上POE = ( )
A ．18° B ．19° C ．20° D ．21°
5 ．半径为 2 的圆内接正方形的边长是( )
A ．2 B ．4 C ．2 D ．2
6 ．若一个圆内接正多边形的中心角是60。，则这个正多边形 是 ．
7 ．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，连接OC ，OF 丄 CD 于点 F ，则 上COF 的度数为 。．
8 ．苯（分子式为C6H6 ）环状结构的 6 个碳原子组成了一个完美 的正六边形．如图所示，已知点 O 为正六边形ABCDEF 的中心， 则其中心角的度数为 ．
9 ．如图，点 O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OE ，则 Ð AOE 的度数为 ．
10．如图，n 个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，n 的值为
=
.
11 ．如图，正六边形ABCDEF 内接于 ΘO ，求 Ð ADB 的度数．
12 ．如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OB = 3 ，求这个正 六边形的周长．
13 ．如图，正方形ABCD 内接于 ΘO，E 是 的中点，连接 AE，DE，CE ．求证：AE = DE ；
14．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为2 3 ．求边心距OP 的长．
15．丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出： 只用
圆规可以完成一切尺规作图．请你根据以下步骤完成这个作图过 程．
(1)如图，A 是 ΘO 上一点，仅用圆规作图（保留作图痕迹，不写作 法）；
①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在 ΘO 上顺时针方向依 次截取AB- = BC- = CD- = DE- = EF- = AF- ．
②依次连接点A, B, C, D, E, F, A ，得圆内接正六边形．
(2)根据（1）中完成的图，若 ΘO 的半径为 2，求六边形ABCDEF 的 面积．
1 ．B
【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正n 边形的中心角的度数为 进行求 解即可．
解 故这个多边形为正九边形；
故选：B．
2 ．C
【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键． 据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角．
【详解】解：正六边形的中心角的度数是360。÷ 6 = 60。， 故选：C．
3 ．C
【分析】根据正n 边形的中心角的计算公式 （n 为正整数，n ≥ 3 ）解答即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE 内接于ΘO ，
:正五边形ABCDE 的中心角上AOB = ° .
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正n 边形的中心角的计算公式 （n 为正整数，n ≥ 3 ） 是解题的关键．
4 ．A
【分析】分别求出以点 O 为中心的正五边形ABCDE 和正方形AMNP 的中心角即可． 【详解】解：如图，连接 OA ，
Q 点O 是正五边形ABCDE 和正方形AMNP 的中心，
:上POE = 上AOP - 上AOE
= 90° - 72°
= 18° .
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
5 ．D
【分析】本题考查了圆内接正方形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是明确圆的直径与 正方形对角线的关系，并利用勾股定理计算正方形边长．
先根据圆的半径求出直径，圆内接正方形的对角线等于圆的直径；再设正方形边长为未知数， 利用勾股定理建立方程；最后求解方程得到正方形边长．
【详解】解： 已知圆的半径为 2，则圆的直径为2× 2 = 4，即圆内接正方形的对角线长为 4． 设正方形的边长为a ，根据勾股定理，正方形对角线的平方等于两条边长平方之和，可得 a2 + a2 = 42 ，即
2a2 = 16 ，化简得 a2 = 8 ，解得：a = 2 （边长为正数，舍去负根）．
故选：D．
6 ．正六边形
【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于 是 解题的关键．
根据正多边形中心角等于 即可求解．
【详解】解：由题意得，边数为 ， 故答案为：正六边形．
7 ．36
【分析】本题考查了正多边形和圆的位置关系， 等腰三角形的性质，正确的添加辅助线以及 记熟正多边形的有关性质是解题关键，根据题意，可得OC = OD ，根据正多边形的性质，
求出上COD ，根据三角形的内角和，求出上OCD = 上 ，再根据三 角形的内角和，即可．
【详解】解：连接 OD ， : OC = OD ，
: 上OCD = 上ODC ，
:点O 是正五边形ABCDE 的中心，
: OF 丄 CD ，
: 上OFC = 90° , : 上COF = 36° , 故答案为：36 ．
8 ．60° ##60 度
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等． 根据正多边形各边所对中心角相等计算即可．
【详解】解：:正六边形各边所对中心角相等， :其中心角的度数为360° ÷ 6 = 60° ,
故答案为：60° . 9 ．72° ##72 度
【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正 n 边形的中心角为进行求解即可． 【详解】解：:点 O 为正五边形ABCDE 的中心，
故答案为：72°
10 ．6
【分析】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正六边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解 此题的关键．
【详解】解：如图，延长正六边形的两边，
∵正六边形的每个外角为 = 60° :圆心角为180° - 60° - 60° = 60° ,
: n 的值为 = 6 ，
故答案为：6 ．
11 ．30°
【分析】由正六边形与圆的性质可得：上AOD = 3 × 60° = 180°, 上FAB = 120°, 再求解
上ABD = 90°, 上DAB = 60°, 从而可得答案.
【详解】解：Q 正六边形ABCDEF 内接于eO ，
:上AOD = 3 × 60° = 180°, 上FAB = 120°, : AD 是直径，
:上ABD = 90°, 上DAB = 60°,
:上ADB = 90° - 60° = 30° .
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的 圆周角是直角”是解题的关键.
12 ．这个正六边形的周长为18 ．
【分析】本题考查了正多边形与圆， 等边三角形的判定与性质．连接OC ，如图，根据正六 边形的性质得到上BOC = = 60° ,则△OBC 为等边三角形，所以BC = OB = 3，进而可 求出正六边形的周长．
【详解】解：如图，连接OC ， : OB = OC ．
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
:上BOC = = 60° , :△OBC 是等边三角形，
:BC = OB = 3 ，
:这个正六边形的周长为6× 3 = 18 ．
13 ．证明见详解
【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明 = ，即可得出 AE = DE ． 【详解】证明：Q 四边形ABCD 是正方形，
: AB = CD ，
一 一
: AB = CD ．
QE 是的中点，
:
BE = EC ，
一 一
: AE = DE ，
: AE = DE ．
14 ．3
【分析】本题考查正多边形的计算，解题关键是理解正六边形被半径分成了六个全等的等边
三角形．先得到OA = 2 = OB = AB ，上AOP = 30° ,再利用余弦的含义解答即可．
【详解】解：:边心距OP ， : OP 丄 AB ，
:正六边形ABCDEF 的边长为2 ，
:正六边形的半径为2 3 ， 即 : 上AOP = 30° ,
:正六边形的边心距是 故答案为 3．
15 ．(1)见详解 (2) 6
【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正多 边形与圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干的描述过程进行作图，即可作答．
（2）连接OA, OB ，结合六边形 ABCDEF 是正六边形，证明△AOB 是等边三角形，把数值 代入tan 上进行计算，得 ，再计算 △AOB 的面积，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，圆内接正六边形 ABCDEF 如图所示：
（2）解：连接OA, OB ，
过点B 作BG 丄 AO 于点 G，
∵六边形ABCDEF 是正六边形， : 上AOB = 360° ÷ 6 = 60° ,
∵ AO = OB = 2 ，
: △AOB 是等边三角形， 则AO = AB = OB = 2 ， 则tan 上
: △AOB 的面积为 :六边形ABCDEF 的面积为6 × = 6 ．