湖北省楚天协作体2026届高三上学期9月起点考试数学试题（Word版附解析）

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全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考
证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效．
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中所有项的系数之和为（ ）
A. -216 B. -16 C. 27 D. -27
3. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 在 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 设点 是双曲线 上 动点，定点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 12 D.
6. 在平行四边形 中， ，对角线 ，对角线 与 交于点 ，则 的
余弦值为（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 和 ，点 是椭圆和双曲线的一个公共交点， ，椭圆
的离心率为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数 以 2 为周期，且在区间 上定义为： ，关
于函数 下列说法正确 是（ ）
A. 关于点 中心对称
B. 在 内有 3 个极值点
C. 在 内的极小值点为
D. 两个极大值点之间的最小距离为
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知随机事件 满足 ，则（ ）
A. 若事件 互斥，则
B. 若事件 相互独立，则
C. 若 ，则
D. 若事件 互斥，则
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
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A. 的最小正周期为
B. 当 时， 的最小值为
C. 函数 的图象关于点 中心对称
D. 函数 的图象在点 处的切线方程为
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 在棱 上移动， ．过点 作平面
垂直于空间对角线 ，设平面 与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为 ，面积为 ，边
数为 ．当 从 0 到 2 连续变化时，下列说法正确的是：（ ）
A. 平面 与平面 的夹角余弦值是 ；
B. 的取值范围是 ；
C. 的值可能是 5；
D. 点 轨迹的长度为 .
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
12. 若复数 ，则 _________．
13. 从 名学生（ ）中选出 人分别担任班长､副班长和学习委员（每个职务由不同学生担任）
､如果 被选中，则 不能担任学习委员； 和 不能同时被选中．则不同的职务分配方案共有__________
种．
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14. 在圆内接四边形 中， 且 ， 为锐角；
若 ，则 面积的最大值为__________．
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 满足：
（1）求 的值．
（2）证明 是等比数列，并求数列 的通项公式．
（3）设 ，求数列 的前 项和 ．
16. 在斜三棱柱 中，底面 为直角三角形， ，
．侧棱 与底面成 角，且 在底面上 投影落在线段 上．
（1）证明： ．
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
17. 新高考数学试卷中的多项选择题，在给出的四个选项中，有 2 项或 3 项符合题目的要求，出现 2 项或 3
项符合题目的要求可能性相等．评分规则为：当正确选项为 2 个时，选对 1 个得 3 分，选对 2 个得 6 分；
当正确选项为 3 个时，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，选对 3 个得 6 分；有错选得 0 分．现在一考生
四个选项都不会的情况下，给出得分最多的选择方式，（忽略选 1 项 2 项 3 项所用时间的差异），并说明理
由．
18. 已知椭圆 的方程为 ．点 是椭圆 的左顶点，点 是椭圆 的上顶点，
离心率为 ．设 是椭圆 上异于点 ､点 的任意一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交
于点 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）求 面积最大值，并求出此时 点的坐标．
（3）当点 在椭圆上运动时，求线段 中点 的轨迹方程．
19. 设函数 ，其中 为参数．
（1）当 时，求 的单调区间．
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（2）求 的取值范围，使得 对所有实数 成立．
（3）设 ，其中 为（2）中范围的右端点，记 为 的两个正实数解 ，
为（2）中定义的正实数（满足 ）．证明： ．
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