湖北省十堰市2026届高三上学期元月调研考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求解即得.
【详解】由，得.
故选：C
2. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ）
A. 6B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线定义可得，代入方程可得，即可得结果.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，
因为，即，
且，所以.
故选：B.
3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（ ）
A. 4.02B. 4.00C. 3.88D. 3.84
【答案】A
【解析】
【分析】将给定的5个数据由小到大排列，利用第40%分位数的定义求解即得.
【详解】5个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71，
由，得这5个数据的40%分位数是.
故选：A
4. 若向量，，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值.
【详解】由题设，
所以，
所以.
故选：A
5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
分析】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为正数，满足，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
故选：D.
6. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A. B. 20C. 16D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【详解】因为，，所以.
由正弦定理可知，，所以，，
又，所以，所以.
由余弦定理知，，所以，即.
又，
所以，所以.
故选：D.
7. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令正四面体的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比.
【详解】取正四面体各棱中点，如图，
可得平面平面，且，作平面于点，交平面于，
则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6，
，，，
而，因此球的半径，
所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为.
故选：C
8. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解.
【详解】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值，
求导得，
令，，求导得，
而，令，得，
当时，，则，得函数在上单调递减，
又时，；时，，
因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值；
当时，，由，得；由，得，
函数在上递减，在上递增，则，
设，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，
则时，，此时函数，即无极值；
当时，，且时，；时，，
此时函数，即存在极值，
所以的取值范围为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若，
满足，符合题意，故A正确；
对于选项B：若，
则，不符合题意，故B错误；
对于选项C：若，
满足，符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
则，不符合题意，故D错误；
故选：AC.
10. 若，则（ ）
A. （）
B.
C. 从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种
D. 从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种
【答案】ACD
【解析】
【分析】分析可知，，进而列举.对于A：可知的最大值为，即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，，
则，，
可得依次为.
对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项，
所以不同的取法共有种，故C正确；
对于选项D：因为，共有4组，
若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种；
检验可知，不同的取法共有种；
综上所述：不同的取法共有种，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ）
A. B.
C. ，是奇函数D. ，满足
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，得到，由于的定义域与值域均为，令，得，则解析式为，逐个选项判断即可.
【详解】令，则，
由于的定义域与值域均为，则令，
有，即；
，A正确；
，，B错误；
，是奇函数，C正确；
，，满足，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，用，表示______.
【答案】
【解析】
【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解.
【详解】由，得，则；
由，得，则，
因此，所以.
故答案为：
13. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得，将代入双曲线方程即可求出离心率.
【详解】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为，
由经过点，（），得点关于轴对称，即，
则，于是，而，则，
由点在双曲线上，得，即，整理得，
因此，即，则，而，
所以的离心率.
故答案为：

14. 若函数有零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】换元令，可得在内有零点，分、和三种情况，结合绝对值的性质分析求解即可.
【详解】令，可得在内有零点，
（i）若，则，
令，解得，不合题意；
（ⅱ）若，则，
令，解得，不合题意；
（ⅲ）若，根据绝对值的性质可得，
又因为，则，
因为在内有零点，则，
①当时，则，解得；
②当时，则，解得；
综上所述：实数取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和.
（1）证明：是等比数列；
（2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义推理得证.
（2）由（1）的结论求出，进而求出并求出公差.
【小问1详解】
数列的前项和，当时，，
即，而，解得，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，则，，
所以等差数列公差.
16. 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；
（2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为：
使用传统土壤栽培时的分布列为：
从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率.
附：，其中.
【答案】（1）有关联；
（2）0.28.
【解析】
【分析】（1）利用给定列联表中数据求出的观测值，再与临界值比对即可得解.
（2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【小问1详解】
零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【小问2详解】
令使用无土栽培单株番茄产量为，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为，
抽到的2株番茄总产量为，则，
则
，
所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28.
17. 如图，几何体为四棱锥和三棱锥的组合体.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）若三棱锥的体积是四棱锥的体积的，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点为，连接，根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理可证平面，平面，即可得结果；
（2）可证平面，根据体积关系可得，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【小问1详解】
取的中点为，连接，
因为，，则，，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
又因为，，平面，所以平面，
因为底面是正方形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
可得平面，所以.
【小问2详解】
因为是正三角形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
由题意可知：，，
又因为，则，解得，
以为坐标原点，分别为轴，过点平行于直线的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆：（）的实轴长为，点在上.
（1）求的离心率；
（2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上；
（3）已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据长轴长可得，代入点可得，进而可得离心率；
（2）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，进而可得，联立直线方程可得，运算求解即可；
（3）设，根据题意结合向量运算可得，代入椭圆方程可得，即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知：，即，椭圆方程为，
代入点可得，解得，
所以椭圆的离心率.
【小问2详解】
由（1）可知椭圆的方程为，，
因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，
设直线：，，
联立方程，消去x可得，
则，，可得，
由题意可知：直线，直线，
联立方程消去y可得
，
即，可得，
所以点在定直线上.
【小问3详解】
设，且，
则，且，，
可得，即，
代入椭圆方程可得，
整理可得，
又因为，，，
可得，即，
且，可得，即，
所以（为定值）.
19. 已知函数（）.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，证明：；
（3）试讨论过点且与曲线（）相切的直线的条数.
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）求导，分析可知在，上单调递增，参变分离结合恒成立问题运算求解；
（2）构造函数，利用导数分析其单调性和最值，可得，即可证明结论；
（3）求导，根据导数的几何意义分析过一点的切线，构造，可知切线的条数即为与的交点个数，利用导数的单调性和极值，结合图象分析求解即可.
【小问1详解】
因为在上连续不断，
若在上单调递增，可知在，上单调递增，
若，则，且，
可得，即在上恒成立，
且在上的最小值为0，可得；
若，则，且，
可得，即在上恒成立，
且在上的最大值为，可得；
综上所述：实数的取值范围为.
【小问2详解】
若，则，
构造，则，
因为，，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在内单调递减，
则，即，
且，可得，即.
【小问3详解】
因为，
若，则，且，
设切点坐标为，，切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，整理可得；
若，则，且，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，整理可得；
构造，可知切线的条数即为与的交点个数，
若，则，且，
可知在内单调递减，且当趋近于1时，趋近于，
当趋近于时，趋近于；
若，则，且，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，当趋近于1时，趋近于5，当趋近于时，趋近于；
据此可得函数的图象，如图所示：
由图象可得当，即时，与有0个交点，即切线的条数为0；
当或，即或时，与有1个交点，即切线的条数为1；
当或或，即或或时，与有2个交点，即切线的条数为2；
当，即时，与有3个交点，即切线条数为3.
综上可得，当时，切线的条数为0；当或时，切线的条数为1；当或或时，切线的条数为2；当时，切线的条数为3.
灌溉系统
糖度达标
糖度不达标
合计
型
62
38
100
型
45
55
100
合计
107
93
200
1
1.5
2
0.2
0.5
0.3
0.8
1.2
1.6
0.4
0.4
0.2
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828