湖北省荆州市2026届高三上学期1月质量检测数学试题（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 ， ，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知 ，结合包含关系即可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
又集合 ， ，可得 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
故选：C.
2. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断比较即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由 ， ，判断充分性成立；由 ， ，判断
必要性成立即可.
【详解】 ， ， ，
， ，
由 ，通分整理得： ，
， ，即 ，
， ，
， ，
故选：C
4. 若对 ，直线 与圆 总有 2 个公共点，则 m 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据方程表示圆的条件得到 ，再利用直线过定点且与圆有两个公共点，分类分析得定点在
圆内，计算即可.
【详解】记直线 直线为 ，则直线 恒过定点 ，
记已知圆为 ，圆的方程 ，
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配方得： ，
所以圆心为 ，半径 ， ，即 .
当点 在已知圆外时，总存在 ，使得直线 与圆 没有公共点，不合题意；
当点 在已知圆上时，代入圆的方程得 ，此时圆的半径为 ，圆心 与 轴的距离为 ，所
以圆与 轴不相切，所以一定存在 ，使得直线 与圆 相切，即只有一个公共点，不合题意；
当点 在圆 内部时，对于 ，直线 与圆 都相交，即有 2 个公共点，符合题意.
点 在圆 内部时， ，解得： ，
综上， 的取值范围是 .
故选：D.
5. 已知偶函数 在 上是增函数，则满足 的 x 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数性质以及单调性可得 ，进而运算求解即可.
【详解】因 函数 为偶函数，则不等式 即为 ，
又因为函数 在 上是增函数，且 ， ，
则 ，整理可得 ，解得 或 ，
所以满足 的 x 的取值范围是 .
故选：B.
6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的一个单
调增区间为（ ）
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A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可求出 的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数的单调递
增区间，即可判断 A，结合正弦函数的单调性可一一判断 BCD，即得答案.
【详解】由题意知将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
故 ，
令 ，即 ，
即函数 的单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递增区间为 ，A 正确；
对于 B，当 时， ，
由于 在 上不单调，故 不是 的单调增区间，B 错误；
对于 C， 时， ，
由于 在 上不单调，故 不是 的单调增区间，C 错误；
对于 D， 时， ，
由于 在 上单调递减，故 是 的一个单调减区间，D 错误；
故选：A
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7. 科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘 1、2、4、6 这 4 个数字键磨损较大，于
是判断密码由这 4 个数字组成，且每个数字至少出现 1 次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是 6 位数，
且连续输入错误 5 次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试 5 次密
码，能成功破解该密码的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算 6 位密码的总数（由 1、2、4、6 组成，每个数字至少出现 1 次），进而求得成功破解该
密码的概率.
【详解】根据题意，6 位数由 4 个数字组成，那么总可能数为 种，
排除“缺少 1 个数字”的情况：选 1 个数字不出现 ，剩余 3 个数字组成 6 位数，共
种；
补回“缺少 2 个数字”的情况（容斥原理）：选 2 个数字不出现 ，剩余 2 个数字组成 6 位数，共
种；
排除“缺少 3 个数字”的情况：选 3 个数字不出现 ，剩余 1 个数字组成 6 位数，共
种；
根据容斥原理，符合条件的密码数为 .
所以能成功破解该密码的概率为 .
故选：B.
8. 已知平面上的点 ， ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知点 在直线 上，点 在曲线 上，
结合导数的几何意义运算求解.
【详解】因为点 在直线 上，点 在曲线 上，
又因为 ， ，
令 ，解得 ，可得 ，
的最小值即为点 到直线 的距离
.
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 某校教学比武活动有 7 名评委现场打分，7 名评委对某位选手的评分分别为 a，b，c，d，e，f，g.设这组
数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为 ，s，m，z，根据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分
后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为 ， ， ， ，则以下判断一定正确的有（
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）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用平均数、标准差、中位数、众数的定义求解.
【详解】选项 A，设 ，则 ，
，无法比较 的大小，故选项 A 错误；
选项 B， ， ，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的
波动性减小，故 ，故选项 B 正确；
选项 C，原数据的中位数 ，去掉一个最高分和一个最低分后的新数据的中位数为 ，故
，故选项 C 正确；
选项 D，众数是数据中出现次数最多的数，去掉一个最高分和一个最低分后，众数可能发生变化，可能不
发生变化，故不一定有 ，故选项 D 错误.
故选：BC.
10. 如图，在直三棱柱 中， ， ，且 ，点 D 在线段 上运
动，则下列结论正确的有（ ）
A. 平面 B. 与 不可能平行
C. 与 不可能垂直 D. 四棱锥 的外接球面积为
【答案】ABD
【解析】
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【分析】利用线面垂直可对 A 判断求解；建立空间直角坐标系，并设 ， ，假设 与
平行，利用向量法即可求解对 B 判断；利用向量 求出 即可对 C 判断；利用补形法
将直三棱柱 补成长方体，即可求出长方体外接球半径，即可对 D 判断求解.
【详解】A：由题 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，因 平面 ，所以 ，
又 ，则四边形 为正方形，所以 ，
因 ， 平面 ，所以 平面 ，故 A 正确；
B：如图，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
， ， ， ， ，
设 ， ，得 ，
所以 ， ，
假设 与 平行，则 ，即 ，则 ，无解，
所以假设不成立，故 与 不可能平行，故 B 正确；
C： ， ，
若 与 垂直，则 ，则 ，即 ，
又因 ，所以假设成立，故 C 错误；
D：四棱锥 的外接球就是直三棱柱 的外接球，
因为 ，可将直三棱柱 补成长方体，则长方体外接球即为直三棱柱 的
外接球，
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长方体的体对角线长为 ( 为外接球半径)，解得 ，
所以外接球面积为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类
似于研究周期函数的方法进行研究.函数 就是一个“局部周期递归函
数”.则下列说法正确的有（ ）
A. 函数 的值域为
B. 函数 在 上单调递减
C. 方程 有 5 个不同的解
D. 若方程 有 10 个不同的解，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出函数 图象，结合图象判断 ABC；令 ，将问题转化为方程
有两个不相等的实数根，且这两个根分别在 、 内，进而求解判断 D.
【详解】当 时， ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 或 时， ，
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作出函数 的图象如下：
由图可知，函数 的值域为 ，故 A 错误；
函数 在 上单调递减，故 B 正确；
由于函数 与 有 5 个交点，
则方程 有 5 个不同的解，故 C 正确；
对于 D，令 ，
因为方程 有 10 个不同的解，
所以方程 有两个不相等的实数根，
设 ，显然 ，
则这两个根分别在 、 内，
有 ，解得 ，故 D 正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， （i 为虚数单位），则函数 的最大值为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据复数的运算法则求出 的值，再将函数 化简，最后根据三角函数的性质求出最大值
即可.
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【详解】因为 ，整理得 ，
所以 ，解得： ， ，
所以 ，
利用辅助角公式化简得 ，
又因为余弦函数 的值域是 ，
所以当 时， 取得最大值，
即 .
故答案为： .
13. 已知抛物线 ，椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，点 是
与 在第一象限的一个交点，且 （ 为原点）.则椭圆 的方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，由 求得点 坐标，结合椭圆的定义即可求
解.
【详解】由抛物线方程 可得 ，
因为点 是 与 在第一象限的一个交点，且 ，所以 轴，
设 ，代入 解得 ，
由题意可得椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，
则 ，
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所以 ， ， ，
所以椭圆 的方程是 ，
故答案为： .
14. 已知等差数列 首项为 2，公差为 2，前 项和为 ，数列 前 项和为 ，且满足
.若对于任意 ， 成立，则 的最小值为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据等差数列 通项公式和前 项和公式求出 ，利用裂项相消法求出 ，再利用导数求 的
最大值即可.
【详解】因为数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 ， ，
所以 ，
所以
，
对于任意 ， 成立，只需 即可，
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令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取最大值，
所以 ，即 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ，且 .点
E 为线段 的中点.
（1）在线段 上取一点 F，使得 平面 ，求此时线段 长；
（2）对于（1）中所求的点 F，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）建系并标点，设 ，可得 ，平面 的一个法向量为
，利用空间向量运算求解；
（2）分别求平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问 1 详解】
因为 底面 ， ，
以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
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则 ，
设 ， ，可得 ，
且平面 的一个法向量为 ，
若 平面 ，则 ，可得 ，解得 ，
所以线段 的长为 1.
【小问 2 详解】
由（1）可知： ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
由图可知：二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .
16. 如图，在 中， ， ，D，E 分别是边 ， 的中点，且 .
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（1）求 的面积；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设 ，由题意列方程可求出 的值，根据三角形面积公式，即
可求得答案；
（2）求出 ，根据三角形面积求解，即可得答案.
【小问 1 详解】
以点 A 为坐标原点， 为 x 轴，过点 A 作垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，由于 ，则 ，
则 ，故 ，
而 ，故 ，
即 ，即 ，
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结合 ，得 ，即得 ，则 ，
故 的面积为 ；
【小问 2 详解】
结合（1）的分析可知 ，
的面积为 ,则 ，即 ,
故 .
17. 某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、
乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有 4 个不同的选择题、3 个不
同的填空题，活动乙设有 3 个不同的选择题、2 个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中
先后抽取 2 个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按 2 折购买的优惠，答对一题可享受按 5 折购买的
优惠，全部答错只能享受按 8 折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题
的概率均为 0.8，答对每道填空题的概率均为 0.4，每次答题相互独立.
（1）若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；
（2）该款家电原价为 a 元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.
【答案】（1）
（2）应该选择参加乙活动，理由见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意，分第 1 题抽到选择题、第 1 题抽到填空题两种情况求解即可；
（2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可.
【小问 1 详解】
由题意，小黄第 1 题抽到选择题的概率为 ，第 1 题抽到填空题的概率为 ，
则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为 .
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【小问 2 详解】
由题意，小黄答对每道选择题的概率均为 ，答对每道填空题的概率均为 ，
若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为 ，则 的可能取值为 ，
所以 ，
，
，
则小黄参加甲活动花费金额 的数学期望为 ；
若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为 ，则 的可能取值为 ，
所以 ，
，
，
则小黄参加乙活动花费金额 的数学期望为 .
由于 ，
所以小黄应该选择参加乙活动.
18. 如图， ， 分别为双曲线 的左、右焦点. 分别为双曲线左、右支上位于 轴上
方的点，且满足 ，设直线 与 相交于点 .
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（1）若 ，求直线 的斜率；
（2）当点 在双曲线上运动时，
（ⅰ）证明： 为定值；
（ⅱ）证明：点 在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先由平行关系得到线段比例与纵坐标关系，设出直线方程并联立双曲线方程，再通过消元与
代数运算求出直线斜率.
（2）（ⅰ）利用双曲线的对称性得到线段等量关系，设直线方程并联立双曲线，结合韦达定理与两点距离
公式，化简证明表达式为定值.
（ⅱ）先由(i)的结论得到线段长度关系，再结合双曲线定义与平行线分线段成比例，推出点 P 到两焦点的
距离之和为定值，最后根据椭圆定义确定椭圆方程.
【小问 1 详解】
双曲线两个焦点坐标为 ，
由 可知， ，故 ，
两条平行线设为 ，
分别与 联立，得 ，
进而有
将②-①×9 得， ，代入①式得 ，
因为 ，所以 ，故 ，所求斜率为 .
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【小问 2 详解】
（ⅰ）分别延长线段 与双曲线交于 ，由于 ，
由双曲线的对称性可知， ，四边形 是平行四边形，其中心为原点，
关于原点对称，故 ，
设 ，且 ，
联立 ， ， ，
所以 .
由两点距离公式， ，
所以 ，
由韦达定理， ，
（ⅱ）设 ，由(i)知 ，即： ，
由双曲线的定义知， ，
由于 ，根据平面几何知识， ，
所以 ，
，
由椭圆定义知，点 在以 为焦点，长轴长为 的椭圆上，
由 得 ，其方程为 ，
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所以当点 在双曲线上运动时，点 在椭圆 上运动.
19. 设函数 .
（1）若对 ， 成立，求实数 a 的取值范围；
（2）（ⅰ）当 时，比较 与 的大小；
（ⅱ）证明；当 ， 时， .
【答案】（1）
（2）（ⅰ）当 时， ；（ⅱ）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，根据题意结合端点效应可得 ，解得 ，并代入检验其充分性即可；
（2）（ⅰ）设 ， ，利用导数法得 在区间 上单调递减，进而可得
结果；（ⅱ）由（1）可知：当 时， ，当 ， 时，可得
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，由（ⅰ）可得 ，进而放缩可得
，利用裂项相消法求和即可证明.
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，
若对 ， 成立，注意到 ，
则 ，解得 ，
若 ，则 ，
可知 在 内单调递减，则 ，即 符合题意；
综上所述：实数 a 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）设 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
可知 在区间 上单调递减，则 ，
即 ，可知 在区间 上单调递减，
则 ，所以当 时， ；
（ⅱ）由（1）可知：当 时， ，等价于 ，
当 ， 时，可得 ，
又因为当 时， ，可得 ，
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则 ，
即 ，
则 ，
所以当 ， 时， .
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