湖北省楚天协作体2026届高三上学期9月起点考试数学试题 含解析

这是一份湖北省楚天协作体2026届高三上学期9月起点考试数学试题 含解析，共21页。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考
证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效．
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】 ，
故选：D
2. 的展开式中所有项的系数之和为（ ）
A. -216 B. -16 C. 27 D. -27
【答案】A
【解析】
【分析】对于多项式 ，要求其展开式的系数之和，可令 ，得到的值就是展开式中所
有项的系数之和.
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【详解】已知多项式 ，令 ，
则 ，
因此 的展开式中所有项的系数之和为-216.
故选：
3. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列下标和性质及通项公式计算得出公比 ，最后应用等比数列求和公式计算求解.
【详解】各项均为正数的等比数列 中，设公比为 ，则 ，
， ，
所以 ， ，所以 ，
则 .
故选：D.
4. 在 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理求角 ，进而可得角 .
【详解】因为 ，
则 ， ，
且 ， ，可得 ， ，
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所以 .
故选：C.
5. 设点 是双曲线 上的动点，定点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 12 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由数量积的定义可得 ，结合点 在双曲线上可得 ，
且 ，由此可求结论.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为点 是双曲线 上的动点，
所以 或 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以当点 的坐标为 或 时， 取最小值，最小值为 ，
故选：A.
6. 在平行四边形 中， ，对角线 ，对角线 与 交于点 ，则 的
余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理结合诱导公式计算可得.
【详解】设 ，
在 中， ，
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在 中， ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
7. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 和 ，点 是椭圆和双曲线的一个公共交点， ，椭圆
的离心率为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设椭圆的长轴为 ，双曲线的实轴为 ，焦距为 ，由椭圆的离心率得 ，再由椭圆
的定义有 ，双曲线的定义有 ，解出 ，最后利用
勾股定理即可求解.
【详解】设椭圆的长轴为 ，双曲线的实轴为 ，焦距为 ，不妨设点 是椭圆和双曲线在第一象限的
交点，
则由椭圆的离心率为 有 ，
由椭圆的定义有： ①，
又由双曲线的定义有 ②，
由①②解得 ，
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又 ，
所以 ，即 ，解得 ，
即 ，
故选：B.
8. 设函数 以 2 为周期，且在区间 上定义为： ，关
于函数 下列说法正确的是（ ）
A. 关于点 中心对称
B. 在 内有 3 个极值点
C. 在 内的极小值点为
D. 两个极大值点之间的最小距离为
【答案】D
【解析】
【分析】计算 和 的值可判断 A，在 和 内分别对 求导，令
，并分析两侧导数符号可判断 B，由 可判断 C，计算两个极大值点之差可判断 D.
【详解】对于 A，当 时， ， ，
，
，
即 ，所以 关于直线 对称，故 A 错误；
对于 B，当 时， ，得 ，又 ， ，
由 解得 ， 解得 ，
当 时， 得 ，
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又 ， ，由 解得 ， 解得 ，
故 的单调区间为：在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增， 上单调递减
.
所以 在 内有 2 个极大值点，分别是 和 ，因为 ，所以
在 处没有极值点，故 B 错误，C 错误；
因为函数 以 2 为周期，所以极大值点为 和 ( )，
相邻极大值点间的距离为 或 ，
因为 ，所以最小距离为 ，故 D 正确.
故选：D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知随机事件 满足 ，则（ ）
A. 若事件 互斥，则
B. 若事件 相互独立，则
C. 若 ，则
D. 若事件 互斥，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于 A，由条件结合互斥事件概率加法公式求结论即可，对于 B，先判断事件 与事件 相互独
立，结合独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式求结论，对于 C，由条件可得 ，结合条件求
判断 C，对于 D，结合条件可得 ，结合条件求其概率即可判断.
【详解】对于 A，因为事件 互斥， ，
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所以 ，A 正确，
对于 B，因为事件 相互独立，所以事件 与事件 相互独立，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，B 正确，
对于 C，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，C 正确，
对于 D，因为事件 互斥，所以 ，
所以 ，又 ，故 ，
所以 ，D 错误，
故选：ABC
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当 时， 的最小值为
C. 函数 的图象关于点 中心对称
D. 函数 的图象在点 处的切线方程为
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【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数图象求出函数解析式为 ，可判断 A 正确，利用正弦函数的单调性
计算可得 B 正确，由整体代换求得对称中心表达式可知 C 错误，利用导数的几何意义可求出切线方程可知
D 正确.
【详解】对于 A，根据图象可知 ，且图象过 ，
因此可得 ，即 ，又 ，可得 ；
设 的最小正且周期为 ，
由图可得 ，即 ，可知 ；
又 ，可得 ，
由 可得 ，所以 ，解得 ；
所以 的最小正周期为 ，可知 A 正确；
对于 B，由 A 选项可知 ，
当 时， ，
根据正弦函数单调性可知当 时， 取得最小值 ，即 B 正确；
对于 C，令 ，可得 ，
显然不存在 满足 ，所以函数 的图象不关于点 中心对称，即 C 错误；
对于 D，易知 ，则 ，
所以在点 处的切线方程为 ，即 ，可知 D 正确.
故选：ABD
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 在棱 上移动， ．过点 作平面
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垂直于空间对角线 ，设平面 与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为 ，面积为 ，边
数为 ．当 从 0 到 2 连续变化时，下列说法正确的是：（ ）
A. 平面 与平面 的夹角余弦值是 ；
B. 的取值范围是 ；
C. 的值可能是 5；
D. 点 的轨迹的长度为 .
【答案】ABD
【解析】
【分析】A,通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面 与平面 的夹角余弦值；B,当 从 到
连续变化时，找到当 或 时，截面为正三角形 的面积最小；当 时，截面为正六边形
的面积最大，再求出最小面积和最大面积即可；C,当 从 到 连续变化时，通过观察分析得
到答案；D,当 从 到 连续变化时，首先通过观察分析找到点 的轨迹是正三角形 的重心到正三角
形 的重心的线段，再利用等体积法等求出这段线段的长度.
【详解】
如图（1），以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
正方体的棱长为 2， ， , ，
对于选项 A： 平面 ， 平面 的一个法向量为 ， ，平面
的一个法向量为 ， ，设平面 与平面 的夹角为 ，
，
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选项 A 正确；
对于选项 B：当 或 时，如图（2）， 截面为正三角形 ，且 ，
为最小值；
当 时，截面为正六边形 ，如图（3）， ，
为最大值， 选项 B 正确；
对于选项 C：当 从 到 连续变化时，截面多边形的边数可能是三角形，四边形，六边形，但是不能是五
边形，则选项 C 错误；
对于选项 D：重心 的轨迹是正三角形 的重心到正三角形 的重心的线段，
设正三角形 的重心为 ，正三角形 的重心为 ，
， ，
， ， ， 正三角形 的重心到正三角形
的重心的线段长度为 ， 选项 D 正确.
故选：ABD
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三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
12. 若复数 ，则 _________．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】利用复数的除法运算先求 ，进而得 ，最后利用复数的乘法运算即可求解.
【详解】由 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
13. 从 名学生（ ）中选出 人分别担任班长､副班长和学习委员（每个职务由不同学生担任）
､如果 被选中，则 不能担任学习委员； 和 不能同时被选中．则不同的职务分配方案共有__________
种．
【答案】
【解析】
【分析】分别讨论 无人被选中、 有一人被选中， 未被选中和 有一人被选中， 被选中三
种情况，根据分类加法计数原理可求得结果.
【详解】若 无人被选中，则有 种分配方案；
若 有一人被选中， 未被选中，则有 种分配方案；
若 有一人被选中， 被选中，则有 种分配方案；
根据分类加法计数原理，不同的职务分配方案有 种.
故答案为： .
14. 在圆内接四边形 中， 且 ， 为锐角；
若 ，则 面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
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【分析】根据所给条件，利用诱导公式以及两角和的正弦公式，建立方程，求出 ，
；设 并结合正弦定理表示出 ， ，再利用三角形面积公式，结合二次函数的
性质求出最大值.
【详解】在 中，由诱导公式可得 ，
代入 可得 ，
即 ，
由于 为锐角，设 ，则 ， ，
解方程 得 ，
所以 ， ，
所以 是四边形 外接圆直径，故 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，
即 ，
在 中， ，
所以
，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
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故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 满足：
（1）求 的值．
（2）证明 是等比数列，并求数列 的通项公式．
（3）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） .
（2）证明见解析． .
（3） .
【解析】
【分析】(1)分别将 代入递推公式可得 的值.
(2)由递推公式构造 与 的关系,并求出 的值,可根据等比数列的定义证明 是等比数
列,,并求出其通项公式,进而得到数列 的通项公式.
(3)把由(2)得到的 的通项公式,代入 ，得到数列 的通项公式,进而判断数列
是等差数列.根据等差数列的前 项和公式,求得数列 的前 项和 ．
【小问 1 详解】
因为数列 满足： ，
所以 , .
小问 2 详解】
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证明：因为 ，所以 .
所以 .
因为 ,所以 .
所以 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.
所以 .
所以数列 的通项公式是 .
【小问 3 详解】
由(2)知: .
因为当 时, .
所以数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.
所以数列 的前 项和
故 .
16. 在斜三棱柱 中，底面 为直角三角形， ，
．侧棱 与底面成 角，且 在底面上的投影落在线段 上．
（1）证明： ．
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，即可得线线垂直；
（2）利用空间向量法来求解线面角正弦值即可.
【小问 1 详解】
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如图，由 在底面上的投影 落在线段 上，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 所以 ，又因为 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 平面 ，所以如图建立空间直角坐标系，
因为 ， ， 平面 ，
所以有 又因为侧棱 与底面成 角，
所以 ，则 ， ，
即 ，所以有 ，
而平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
第 15页/共 21页
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 新高考数学试卷中的多项选择题，在给出的四个选项中，有 2 项或 3 项符合题目的要求，出现 2 项或 3
项符合题目的要求可能性相等．评分规则为：当正确选项为 2 个时，选对 1 个得 3 分，选对 2 个得 6 分；
当正确选项为 3 个时，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，选对 3 个得 6 分；有错选得 0 分．现在一考生
四个选项都不会的情况下，给出得分最多的选择方式，（忽略选 1 项 2 项 3 项所用时间的差异），并说明理
由．
【答案】选 1 个或 2 个选项时，得分最多，理由见详解
【解析】
【分析】分选 1、2 和 3 个选项三种情况，分别求得分的随机变量的期望值，根据期望值比较大小即可判断
.
【详解】由题意可知：出现 2 项或 3 项符合题目的概率均为 ，
若选 1 个选项，则得分的随机变量 的可能取值为 3，2，0，
可得 ， ，
，
所以随机变量 的期望 ；
若选 2 个选项，则得分的随机变量 的可能取值为 6，4，0，
可得 ， ，
，
所以随机变量 的期望 ；
若选 3 个选项，则得分的随机变量 的可能取值为 6，0，
可得 ， ，
所以随机变量 的期望 ；
因为 ，所以选 1 个或 2 个选项时，得分最多.
18. 已知椭圆 方程为 ．点 是椭圆 的左顶点，点 是椭圆 的上顶点，
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离心率为 ．设 是椭圆 上异于点 ､点 的任意一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交
于点 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）求 面积最大值，并求出此时 点的坐标．
（3）当点 在椭圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】（1）
（2） 面积最大值为 ，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解 的值，即可求解，
（2）利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质即可求解距离的最大值，进而由三角形面积公式求解，
（3）根据点斜式求解直线方程，即可得 坐标，由中点坐标公式，化简即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可知： ，所以 ，故 ，
故椭圆方程为
【小问 2 详解】
设 ，
故直线 方程为 ，
则点 到直线 的距离为 ,
由于 ，
由于 ，故当 时， ，此时 ,
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故 ，
此时 的面积最大，且
【小问 3 详解】
设 ，
则直线 令 ，则 ，故 ,
直线 ，令 ，则 ，故 ,
设 的中点为 ，则 ，
进而可得 ，
由于点 在椭圆上，所以 ，
故 ，
化简可得 ，
所以 ，
，
，
则 ，
故 或 或 ，
当 时， ，此时 与 重合，不满足题意，舍去，
当 时， ，此时 与 重合，不满足题意，舍去，
故轨迹方程为 ，即
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19. 设函数 ，其中 为参数．
（1）当 时，求 的单调区间．
（2）求 的取值范围，使得 对所有实数 成立．
（3）设 ，其中 为（2）中范围的右端点，记 为 的两个正实数解 ，
为（2）中定义的正实数（满足 ）．证明： ．
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）答案见解析 （3）证明见
解析
【解析】
【分析】（1）求导利用基本不等式判断导数符号；
（2）先根据偶函数缩小讨论范围，再分参来解恒成立问题，为了方便求导可以同时取对数，结合零点存在
定理，利用隐零点来说明；
（3）极值点偏移问题，可以构造差函数来解；
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
设 ，则 ，
根据基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号），
所以 ， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
，
所以当 时， ，当 时， 0，
所以 单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
由于 ，则 为偶函数，且 成立，
则只需要对于 ， 恒成立，即 恒成立，
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又由于 ， ，则只需 恒成立，
设 ，
则 ，
由于 在 单调递增， 在 单调递增，所以 在 单
调递增，
，
所以存在唯一 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
极小值 ，由于 ，
化简可得 ，
则 ， ，
设 ，则 时， 对所有实数 成立，
综上： 的范围是 ，其中 ， 是方程 的唯一正实数解.
【小问 3 详解】
由（2）得， 为 的两根，且 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，
则 ，
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，
由 在 恒正且单调递增， 在 单调递减，
可得 在 单调递减，
由于 则 ，
所以 ， ，
所以 单调递增， 单调递增，
则 ，
所以 单调递减， ，
则 ，
而 ，
则 ，
由于 ， ， 在 单调递增，
所以 ，
即 得证.
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