湖北省黄冈市2026届高三上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 若复数 ，则 （ ）
A. B. 3i C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果.
【详解】易知 ，所以复数 ，
可得 ，所以 .
故选：A
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
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根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为
当 时, ,所以 .即“ ”是“ ”的充分条件.
当 时,由于 成立,所以 ,即“ ”是“ ”的必要条件.
综上可知, “ ”是“ ”的充要条件
故选:C
【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.
3. 有一散点图如图，在 5 个 数据中去掉 后，下列说法正确的是（ ）
A. 解释变量 与响应变量 线性相关性变弱 B. 数据 的方差变大
C. 决定系数 变小 D. 残差平方和变小
【答案】D
【解析】
【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，决定系数，残差的平方和的变化情况．
【详解】从散点图可分析出，若去掉点 ，则剩下的点更能集中在一条直线附近，
所以解释变量 与响应变量 的线性相关性变强，
数据的离散程度减小，所以方差变小，决定系数 越接近 1，会变大，
因为拟合效果越好，所以残差平方和变小.
故选：D
4. 若 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式求解计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
代入 得 ，
化简得 ，
解得 ，即 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
5. 设函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质、换底公式进行求解即可.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以
.
故选：B
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6. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 且垂直于 轴的直线与该双曲线右
支交于 两点，直线 分别交 轴于 两点，若 的周长为 24，则 的最大值为
（ ）
A. 12 B. 16 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义、双曲线的通径长、双曲线的对称性，结合 的周长为 24，可得
，根据方程利用三角换元设 ，其中 ，从而结合三角恒等
变换与三角函数的性质即可得 的最大值.
【详解】双曲线 的左右焦点分别为 ，
因为 ，所以 ，
又 在双曲线上，则 ，解得 ，
故 ，所以 ，
由题意可得 分别为 的中点，
如图：因为 的周长为 24，所以 的周长为 48，
则 ，
由双曲线 定义可得 ，即 ，
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可得 ，整理得： ，所以 ，
可得 ， ，
则可设 ，其中 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，
故当 ，即 时， 的最大值为 .
故选：D.
7. 直线 与 x，y 轴分别交于 M，N 两点，点 在圆 上，当 面积最大时，
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设分析可得，要使 面积最大，则 与直线 垂直，进而得到 ，
，进而求解即可.
【详解】直线 与 x，y 轴分别交于 M，N 两点，则 ，
由圆 ，即 ，则圆心 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
则直线 与圆 相离，而点 在圆 上，
要使 面积最大，则 与直线 垂直，而 ，则 ，
如图，此时 三点共线，即 ，则 ，
所以 .
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故选：A
8. 当 时，关于 的不等式 仅有两个正整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式转化为不等式 ，构造函数 ，求导确定函数 的
单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数 的取值范围.
【详解】当 时不等式等价于：
设 ，
则 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以 有两个正整数解 2 和 3，则 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ．
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点，则（ ）
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A. B. 平面
C. 平面 D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据线面垂直性质可证明 A 正确，假设 B 选项成立，利用线面垂直性质得出矛盾可得 B 错误，利
用线面平行判定定理证明可得 C 正确，假设 成立，结合已有分析得出矛盾，即可得 D 错误.
【详解】取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：
对于 A，又因为点 分别为 中点，所以 ，且 ；
又 ， ，所以 ， ；
所以四边形 是平行四边形，因此 ，
又因为 ，所以 ，
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，因此 平面 ；
又 平面 ，因此 ，即 A 正确；
对于 B，假设 平面 成立，则 ，
由选项 A 中分析可知 ， ，因此可得 ，
显然不成立，因此假设不成立，所以 与平面 不垂直，即 B 错误；
对于 C，由选项 A 分析可知 ， 平面 ， 平面 ，
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所以 平面 ，即 C 正确；
对于 D，取 的中点为 ，连接 ，
显然此时 ，若 成立，可知 ，
这与 矛盾，因此 不成立，即 D 错误.
故选：AC
10. 已知函数 在 处有极大值，则（ ）
A.
B.
C. 若 时， 的值域为 ，则 的取值范围为
D. 曲线 在点 处的切线与曲线 有两个不同的公共点
【答案】BC
【解析】
【分析】先利用极大值和导数确定 可判断 A；再由三次函数的对称中心性质可得 B；利用
单调性可得 C；由导数的意义结合切线方程可得 D.
【详解】 ， ，
因为函数 在 处有极大值，所以 ，
即 ，解得 或 3，
当 时， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
此时 为极小值点，不符合题意，
当 时， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
此时 为极大值点，
所以 ，
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对于 A，由以上可得 ，故 A 错误；
对于 B，由于 ，令 ，则 ，
令 ，所以 的二阶导数关于点 对称，
代入 到 可得 ，所以 关于点 成中心对称，
即 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，极大值 ，极小值 ， ，
结合单调性可得当 的值域为 ，则 的取值范围为 ，故 C 正确；
对于 D，由 ，所以切线方程为 ，即 ，
联立 可得 ，解得 ，
即方程有三重根，所以曲线 在点 处的切线与曲线 有 1 个不同的公共点，故 D 错误.
故选：BC.
11. 已知函数 且 ，则（ ）
A. 函数 在 上单调递减 B. 函数 的最小正周期为
C. 函数 的图像关于 对称 D. 函数 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A：利用平方差公式、余弦的二倍角公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的单调性进行判
断即可；B：利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、降幂公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的
周期公式进行求解即可；C：利用关于直线对称的性质，结合诱导公式进行运算判断即可；D：先判断该函
数的最小正周期，结合导数的性质判断该函数的单调性，进而求出函数的最值即可.
【详解】A： ，
当 时， ，
由余弦函数的性质可以判断函数 在 上单调递减，因此本选项说法正确；
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B：
，
所以函数 的最小正周期为 ，因此本选项说法正确；
C：因为 ，
所以函数 的图像不关于 对称，因此本选项说法不正确；
D： ，
当 时， ，
因为 ，且 ，所以 ，故 ，所以 ，
所以此时函数 单调递减，
当 时， ，
因为 ，且 ，所以 ，故 ，所以
所以此时函数 单调递增，
所以有 ，
因为 ，所以 ，
因此当 时，函数 的值域为 .
又因为 ，
所以函数 的周期为 ，
因此函数 的值域，也就是函数 在区间 上的值域，
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所以函数 的值域为 ，因此本选项说法正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 __________．
【答案】330
【解析】
【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，再利用等差数列前 项和公式求解即可.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以 .
所以 ，
则 .
故答案为：330.
13. 2025 的正因数的个数为__________个.（用数字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】对 2025 进行质因数分解，然后应用正因数个数定理计算结果即可.
【详解】因为 ，
则根据正因数个数定理，2025 的正因数个数为 个.
故答案为：15.
14. 在锐角 中，角 的对边分别为 的面积为 ，满足 ，若
，则 的最小值为__________．
【答案】
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【解析】
【分析】先由正余弦定理和同角的三角函数关系结合题意得到 ，再通过锐角三角形得到
，故可得 的范围，然后用余弦定理和三角形的面积公式变形 ，再结合基本不等
式可求最小值.
【详解】整理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 ，
在锐角 中，有 ，则 ，
所以 ，
因为
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以
，
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设 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 且 的图象经过点 ，记数列 的前 项和为 ，且
.
（1）求数列 通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出 ，问题转化为根据数列的前 项和公式求数列的通项公式；
（2）先求出数列 的通项公式，利用裂项求和法求 ，即可证明.
【小问 1 详解】
由题意得 ，得 ，故
所以
当 时， ；
当 时， ，
当 时，上式亦成立.
所以 .
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【小问 2 详解】
由（1），得 ，
，
由于 ，故 ，即得 ，
故 ，即得
故 成立.
16. 如图，在三棱台 中， 平面 ， 为 中点， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明 平面 ，再利用线面垂直性质可得答案；
（2）建系，利用线面角的坐标运算公式可得答案.
【小问 1 详解】
平面 平面 ，
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又 平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，
又 ， 平面 平面 ，
平面 平面 ，
.
【小问 2 详解】
由（1）知直线 两两垂直，
分别以 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示
依题意得
，设平面 的法向量 ，则
，取
设 与平面 所成角为
，
与平面 所成角的正弦值为 .
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17. 有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网
络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取 100 人.设事件 “学生愿意报名参加
答题活动”， “学生为男生”，据统计 .
（1）根据已知条件，完成下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否推断该校学生
报名参加答题活动与性别有关？
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 .
（i）若答题活动设置 且 道题，甲仅答对其中 10 道题的概率最大，求 的值.
（ii）若答题活动设置 4 道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，
直到 4 道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用 表示在本次答题的题目数量，求 的分布列和期望.
参考公式与数据： ，其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联
（2）（i） ；（ii） 的分布列见解析,
【解析】
【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成 列联表，再计算出的 值判断即可；
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（2）（i）设随机变量 Y 为甲答对题目的个数，则 ，根据二项分布的概率性质建立不等式组即
可求解；（ii）写出 的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出 的分布列
及期望.
【小问 1 详解】
因为 ，所以愿意报名参加答题活动人数为 ，
又因为 ，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为 ，愿意报名参加答题活动的女
生人数为 ，则可得到 列联表为：
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
零假设为 ：学生报名参加答题活动与性别无关，
则 ，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001；
【小问 2 详解】
（i）设随机变量 Y 为甲答对题目的个数，则 .
则 ，
假设最有可能答对题目的数量是 10 次，则
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即：
解得 ，又 ，则 ；
（ii） 的所有可能取值为：1，2，3，4，
，
所以 的分布列为：
X 1 2 3 4
P
故 .
18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，焦距
为 的面积为 6，点 为椭圆上一点，圆 的面积为 .
（1）求椭圆的离心率；
（2）过原点 作圆 的两条切线 OM，ON 分别交椭圆于 M，N.
（i）若直线 OM，ON 的斜率都存在，分别记为 ，求 的值；
（ii）求 的最大值.
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【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）18
【解析】
【分析】（1）由焦距得 ，由 面积得 ， ，离心率 .
（2）（i）直线与圆 相切，由距离公式得关于 的方程，结合椭圆方程，韦达定理得 .
（ii）由 得 ，代入椭圆化简得 ，用基本不等式得最大值.
【小问 1 详解】
依题意得 ，
【小问 2 详解】
（i）依题意得圆 ，椭圆 ，点 为椭圆上一点
直线 ，与圆 相切，
平方整理得 为方程 的两根
（ii）解法一：设 由（i）知 ，所以 ，
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整理得 ，
由基本不等式 ，得 ，当且仅当 时等号成立.
的最大值为 18.
解法二：设 ，直线 ，代入 得：
同理直线 ，代入 得 ，由（i）
由基本不等式 ，得 ，当且仅当 ，
此时 或 等号成立.
的最大值为 18.
19. 已知函数 ， .
（1）求函数 的最值；
（2）讨论函数 在 上极值点的个数；
（3）设函数 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 ， ， ，且满足
，求实数 的取值范围.
【答案】（1）最小值为 ，无最大值.
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（2）见解析. （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数即可得到函数的单调性及最值.
（2）对函数求导，作出函数简图，通过方程根的个数结合极值点两边正负号即可确定参数的范围.
（3）化简函数 并求导，分析有三个极值点时满足的条件，结合函数单调性求解不等式即可.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ， .
令 ，即 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
因此 在 处取得极小值（也是最小值），此时 .
无最大值.
所以函数 的最小值为 ，无最大值.
【小问 2 详解】
由题意知，即讨论 在 上变号零点个数
对 求导可得， .
极值点的个数等价于 在 上的解的个数，即 在 上的解的个数.
令 （ ），则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得最大值，此时 .
且当 时， ； 时， .
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当 时， 在 上无解，此时 在 上无极值点；
当 时， 在 上有 2 个解，此时 在 上有 2 个极值点；
当 时， 在 上有 1 个解，
但 在 和 上均大于零，故此时 在 上无极值点；
当 时， 在 上无解，此时 在 上无极值点；
综上，当 或 时， 无极值点；当 时， 有 2 个极值点.
【小问 3 详解】
，其定义域为 ，
则 ，（ ）.
令 ，解得 或 .
设 （ ），则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得最大值，此时 ，
且当 时， ；当 时， .
因此 的大致图象如图所示，
因为 在定义域内有三个不同的极值点 ， ， ，且 为 的一个根，
所以 与 有两个不同的交点（且不等于 1），所以 ，
即 在 上有两个不同的正根（且不等于 1）.
不妨设 ，则 ，
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所以 ，即 ， ，也即 ， ，
所以
令 （ ），则
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 在 上单调递增.
因为 ，
因此当 时， ，
即当 时， 恒成立，
所以实数 的取值范围是 .
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