2026年高考数学一轮复习分层练习(基础题)07：数列(50题)（含答案详解）

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1．已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（ ）
A．B．2C．5D．2或5
2．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．7
3．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．0B．3C．6D．12
6．已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10B．C．D．
7．记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．81C．50D．61
8．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，数列满足，，则的前2025项和为（ ）
A．2025B．2027C．5060D．5062
10．在等差数列，中，，其前项和为，若，则（ ）
A．12B．18C．30D．36
11．已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A．1B．2C．3D．
13．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（ ）
A．32B．34C．65D．67
14．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
15．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．1D．2
16．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．3D．2
17．已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
18．已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
19．已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
20．在数列中，，，记为数列的前项和，则（ ）
A．0B．18C．10D．9
21．在数列中，，若，则（ ）
A．B．C．D．
22．若数列满足，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
23．数列中，，，，那么（ ）
A．B．1C．3D．
24．广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需（ ）
A．352步B．387步C．332步D．368步
25．已知，设数列的前项和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
26．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
27．已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（ ）
A．B．C．D．
28．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A．B．C．14D．15
29．已知数列满足：，若，则（ ）
A．B．C．D．
30．在公差不为0的等差数列中，若，则k的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多选题
31．已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
32．已知数列的前项和为，则（ ）
A．
B．数列的前项和为
C．数列的前项和的最小值为
D．数列的前项和小于
33．已知数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．有最小值D．数列不是等差数列
34．已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．或D．
35．等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．取得最小值时，D．时n的最小值为10
36．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是 （ ）
A．B．数列 {an}是递减数列
C．数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃D．满足的最大正整数n=22
37．已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．记，的前n项和为，则
38．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．D．当取得最大值时，
39．设正项等比数列的前项和为，的前项积为.若，，则（ ）
A．数列为等差数列B．
C．D．的最大值为
40．设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
41．等差数列中，若，则的值为 ．
42．已知数列的通项公式为，前n项和为，则 ．
43．数列的通项公式，则 .
44．已知数列为等差数列，，公差若，则的最小值为 .
45．将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为 ．
46．已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， .
47．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和 .
48．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则= ．
49．已知数列满足，则数列的前项和为 ．
50．已知数列满足（），则使成立的的最小值是 .
《数列》参考答案
1．B
【分析】由等差数列的通项公式和求和公式， 结合等比数列的性质， 解方程可得首项和公差， 进而得到所求值.
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，75成等比数列可得 ，
即 ，
①，
又 ，即② ，
由①②解得 ， ，
故选：B.
2．A
【分析】设等比数列的公比为，依题意得到方程，求出的值，再求出，，即可求出.
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得或，
当时，，，所以；
当时，，，所以；
综上可得.
故选：A
3．C
【分析】由等差数列的性质有即可判断A；由得，又即可判断C，由即可判断B，由解出即可判断D.
【解析】由有，故A错误；
由，，所以，故C正确；
，故B错误；
由，故D错误.
故选：C.
4．D
【分析】依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解析】，，，显然，
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D．
5．A
【分析】利用等差数列的片段和性质即可得解.
【解析】因为是等差数列，所以成等差数列，
又，所以成等差数列，
则，则.
故选：A.
6．B
【分析】由零点的定义、韦达定理以及对数运算可得的值，根据等比数列的性质，可得答案.
【解析】由题意可得为方程的两个解，则，
解得，易知.
故选：B.
7．D
【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解.
【解析】由题可知，，成等比数列，
所以，即，得，
则此等比数列的首项是1，公比是，那么，
，
所以.
故选：D
8．B
【分析】根据等比数列的性质结合已知条件可得，再结合可求得结果.
【解析】在等比数列中，，
所以，
所以，又，
设公比为q，则，
所以．
故选：B
9．D
【分析】先求导，由导函数结合题设得，接着由依次求出接下来的项得数列具有周期性，再利用周期性即可求解.
【解析】因为，所以函数定义域为，且，
所以，
所以，则，
所以数列是周期为2的数列，
所以的前2025项和为.
故选：D
10．D
【分析】设等差数列的公差为，由等差数列前项和为，利用已知即可计算出，即得，从而得.
【解析】设等差数列的公差为，则，
所以，，所以，
故选：D.
11．D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等比数列的定义判断即得.
【解析】令，数列是等比数列，，不成等比数列，则不能推出；
令，则，成等比数列，而不是等比数列，不能推出，
所以p是q的既不充分也不必要条件.
故选：D
12．C
【分析】根据等比中项的等式，化简方程，可得答案.
【解析】因为为等比数列，所以，
故，
所以，又，所以.
故选：C.
13．C
【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和．
【解析】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，
且，，
则．
故选：C．
14．B
【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大.
【解析】因为数列为等差数列，
由；
由.
所以.
所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数.
所以最大.
故选：B
15．A
【分析】应用等比数列前项和公式基本量运算即可.
【解析】因为等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，
所以，
设等比数列的公比为q，
由题意知，，
所以，
化简，得，解得或舍去，
所以
故选：
16．C
【分析】利用数列的递推公式推出是以3为周期的数列，进而求解.
【解析】因为，所以，
，，
所以是以3为周期的数列，则.
故选：C
17．D
【分析】根据累加法可得即可求解.
【解析】当时，
因为，
故
由累加法可得，
故，故AB错误，
由，
所以故，所以C错误,D正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用累加法可得.
18．C
【分析】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可.
【解析】，且公差，所以，，
所以，则，，
所以等差数列中，前10项为负数，后面都为正数，
所以前项和取得最小值时的值为10，
故选：C
19．D
【分析】根据等比中项性质通分计算即可.
【解析】依题意，，
则.
故选：D.
20．C
【分析】利用数列的递推公式顺次求解其项，可知数列为周期数列，据其周期求和即可.
【解析】因为，所以，
因为，所以，，，
，，，，…，
故数列为周期数列，周期为4，
所以.
故选：C.
21．B
【分析】根据递推关系求数列的前几项，归纳可得数列的周期为，结合周期性求结论.
【解析】因为，，
所以，，
，，…，
可得该数列的周期为，故．
故选：B.
22．A
【分析】由递推关系求数列的前几项，归纳数列满足关系，由此确定结论.
【解析】因为，，
所以，
，
，
，…，
可得，
则．
故选：A.
23．B
【分析】通过递推公式找出数列的周期性计算即可.
【解析】因为，所以，
所以，所以，所以是以6为周期的周期数列．
因为，所以．
故选：B
24．C
【分析】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，
根据题意数列是等差数列，由等差数列的前项和，同理数列是等差数列，由等差数列的前项和即可求解.
【解析】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，
由已知可得，，，，，，
所以数列是首项为26，公差为的等差数列，故，，
数列为公差为的等差数列，故，，
设数列，的前项和分别为，，所以，
，，
故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步．
故选：C.
25．B
【分析】由裂项相消求和法求和即可；
【解析】因为，
所以.
故选：B.
26．B
【分析】由等比数列的下标和性质结合根与系数的关系即可得出答案.
【解析】设等比数列的公比为，因为，是方程的根，
所以，，
又，同号，所以，，则，
所以．
故选：B.
27．B
【分析】根据条件得到，从而有时， ，时， ，即可求解.
【解析】因为，公比 ，则，
所以当时，；当时，，
又是数列的前项积，则当时， 取得最大值，
故选：B.
28．D
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解.
【解析】正项等比数列中，，解得，
因此，
所以.
故选：D
29．C
【分析】根据递推公式依次计算数列前5项后可知数列为周期数列，再根据周期求解即可
【解析】解：因为且
所以,,
,,
,,
所以数列是周期数列，且周期为4，
所以.
故选：C
30．C
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式化简得到，即可得的值.
【解析】因为，所以，
所以，即，故.
故选：C.
31．BD
【分析】根据等比数列的单调性求解判断.
【解析】，为递减数列，
则或.
故BD正确.
故选：BD.
32．ACD
【分析】根据前项和与通项公式的关系，结合等差数列的前项和公式、等差数列的性质、裂项相消法逐一判断即可.
【解析】因为的前项和为，
所以有，显然，
显然当时,有，
两个式子相减，得，
化简，得，显然适合该通项公式，因此选项A正确；
因为，所以数列为等差数列，
于是数列的前项和为，所以选项B不正确；
令，由，从第五项起，该数列每一项为正数，
因此数列的前项和的最小值为，因此选项C正确；
，
所以数列的前项和为，
因此选项D正确，
故选：ACD
33．AC
【分析】根据数列的前项和公式，利用，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义和性质逐一判断即可.
【解析】因为，所以，故A正确；
当时，，
当时，也满足上式，所以数列的通项公式为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误；
因为，所以当时，；当时，，
所以有最小值或，故C正确；
因为，所以，
所以，所以数列是等差数列，故D错误.
故选：AC.
34．ABD
【分析】利用等差数列定义和等比数列通项及性质即可求解.
【解析】设等比数列的公比为，
因为数列的各项均为正数，所以，且，故A，B正确；
由题意得，即．
两边除以得，解得或（舍去），
所以，，故C错误，D正确．
故选：ABD.
35．AD
【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而根据单调性可得时，，当时，即可结合选项逐一求解.
【解析】由可得，故，
由于是递增数列，故，因此，故A正确，B错误，
进而可得当时，，当时，
因此取得最小值时，或，C错误，
由于，
故当时，，因此时n的最小值为10，D正确，
故选：AD
36．AD
【分析】对于A，令即可判断，对于B由求出即可判断，对于C由即可求出最小值，即可判断，对于D由求出即可判断.
【解析】由有，当时，，所以，故A正确
当时，，所以，当，所以为递增数列，；故B错误；
由可知二次函数开口向上，当时，函数取最小值，由
因为，所以的最小值为，故C错误；
由有，所以最大正整数为，故D正确，
故选：AD.
37．ACD
【分析】根据等差数列的性质可得，从而判断A；求出等差数列的，，即可得通项公式和前项和，判断BC；根据并项法求，判断D.
【解析】根据题意，根据等差数列的性质可得．所以．故A正确；
因为．所以，可得，即，
结合，计算可得，，
所以，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，
所以
，故D正确.
故选：ACD．
38．BC
【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断.
【解析】设等差数列的公差为，
由题意可得：，
，
即，，且，即B、C正确；
因，故数列是递减数列，故A错误；
因，，即当取得最大值时，，故D错误.
故选：BC.
39．ACD
【分析】对于选项A:利用等比通项公式即等差数列的判定即可判断选项A；对于选项B:求出公比，即可算数首项；对于选项C：利用等差数列前n项和公式及不等式即可判断；对于选项D：求出前n项积，即可求出最大值.
【解析】对于选项A：设公比为q，因为，所以，
故，
由为常数，故选项A正确.
对于选项B：，所以，
解得：或（舍），所以，故选项B错误.
对于选项C：，故选项C正确.
对于选项D:,
由于，其图象对称轴为，
，故或时，的最大值为，故选项D正确.
故选：ACD
40．ABC
【分析】利用递推公式逐项计算可判断A选项；根据数列的前项的值可判断数列的周期性，可判断B选项；利用数列的周期性计算可判断CD选项.
【解析】对于A选项，因为数列满足，，则，
，，，A对；
对于B选项，由A选项可知，数列是以3为周期的周期数列，
即对任意，，B对；
对于C选项，因为，且，
则，C对；
对于D选项，因为，
则，D错.
故选：ABC.
41．20
【分析】应用等差数列项的性质计算求解.
【解析】因为数列为等差数列，又因为 ，即，
则 .
故答案为：20.
42．147
【分析】结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法则求解即可.
【解析】
．
故答案为：147
43．
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式求解即可.
【解析】数列中，，，数列是等差数列，数列亦是等差数列，
所以.
故答案为：
44．
【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而，判断的正负即可下结论.
【解析】由已知，得，
则，
，，，，当时，，
故答案为：
45．170
【分析】通过公共项确定通项公式即可求解；
【解析】由题意，与的公共项为1，13，25，37，…，
故，所以，解得，
所以的最小值为170．
故答案为：170
46．
【分析】由等比数列性质得到，设出公比，由求出，从而得到，相加得到答案.
【解析】由等比数列性质得，又，所以，
设公比为，由得，，
故，
所以，解得，
故，所以.
故答案为：
47．
【分析】根据定义可得为等差数列，即可得，进而根据裂项相消法求和即可得解.
【解析】由题意可知：，又，故为等差数列，
故，故，
故，
故数列的前项和，
故答案为：
48．81
【分析】利用等比数列的通项公式列方程组求出进而秋季即可.
【解析】因为数列是单调递增的等比数列，即，则解得或（舍去），
所以，解得，
所以，
故答案为：81
49．
【分析】根据条件有，再利用裂项相消法，即可求解.
【解析】因为，则，
所以数列的前项和为，
故答案为：.
50．11
【分析】根据已知数列的首项和递推关系求出通项公式，再根据数列单调性解不等式即可.
【解析】，即，
所以
即，
由已知得，又因为，，
且随着n的增大而增大，所以最小值取11，
故答案为：11.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
A
B
D
B
D
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
D
C
C
B
A
C
D
C
D
C
题号
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
答案
B
A
B
C
B
B
B
D
C
C
题号
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
答案
BD
ACD
AC
ABD
AD
AD
ACD
BC
ACD
ABC