2026中考数学核心考点精讲精训练-考点15三角形及全等（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点15三角形及全等（学生版+名师详解版），共49页。
三角形及其全等三角形是中考必考内容，三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10--15 分。考生在复习本考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和运用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考查。
【知识清单】
1：三角形的相关概念（☆☆）
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
2：三角形中的重要线段（☆☆）
1）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
3：全等三角形的判定与性质（☆☆☆）
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。
4：全等三角形的实际应用（☆☆）
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
5：角平分线的性质与判定（☆☆☆）
1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
【易错点归纳】
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。
2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等。
【核心考点】
核心考点1. 三角形的相关概念
例1：（2025·江苏徐州·统考中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
变式1.（2025·浙江金华·统考中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2025·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）

A．3B．5C．7D．8
例2：（2025·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
◆变式训练
变式1．（2025·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
变式2.（2025·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
例3：（2025·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（ ）

A．大B．小C．大D．小
变式1. （2025·河北石家庄·校联考模拟预测）一块板材如图所示，测得，，，根据需要为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动，则可将 （选填“增加”或“减少”） ．

变式2.（2025·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
变式3．（2025·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
核心考点2. 三角形中的重要线段
例4：（2025·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）

A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
变式1．（2025·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当时，折痕是三角形的（ ）

A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
变式2.（2025·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
例5：（2025·河北沧州·统考三模）题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，，的面积均相等．甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（ ）

A．甲、乙皆正确B．甲、乙皆错误C．甲错误，乙正确D．甲正确，乙错误
变式1. （2025·江苏苏州·校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ．
变式2．（2025·宁夏银川·校考一模）材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．
材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．
问题：(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值．(2) （填）
(3)是的黄金分割线吗？为什么？
例6：（2025·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
变式1.（2025上·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ．

变式2．（2025·四川宜宾·模拟预测）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：
（1）的最小值=___________；（2）的取值范围是___________．
核心考点3. 全等三角形的判定与性质►
例7：（2025·浙江·统考中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．

变式1.（2025·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）

A．B．C．D．
变式2.（2025·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
例8：（2025·台湾·统考模拟预测）已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式1. （2025·浙江台州·统考一模）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 ．
例9：（2025·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式1.（2025·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
例10：（2025·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
变式1．（2025·陕西·统考中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

变式2．（2025·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；(2)若，，求的长．

变式3．（2025·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

例11：（2025·重庆·统考中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

变式1. （2025·山东临沂·统考中考真题）如图，．
(1)写出与的数量关系(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．

变式2．（2025·青海海西·校考一模）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）。
探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由．
核心考点4. 全等三角形的实际应用
例12：（2025·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
变式1．（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
变式2．（2025·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）

核心考点5. 角平分线的性质与判定
例13：（2025·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
变式1.（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
变式2.（2025·河北沧州·模拟预测）画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对
例14：（2025·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
变式1．（2025·福建厦门·校考模拟预测）如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则 ．

变式2．（2025·广东广州·统考中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

考点15.三角形及全等 （精讲）
【命题趋势】
三角形及其全等三角形是中考必考内容，三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10--15 分。考生在复习本考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和运用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考查。
【知识清单】
1：三角形的相关概念（☆☆）
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
2：三角形中的重要线段（☆☆）
1）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
3：全等三角形的判定与性质（☆☆☆）
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。
4：全等三角形的实际应用（☆☆）
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
5：角平分线的性质与判定（☆☆☆）
1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
【易错点归纳】
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。
2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等。
【核心考点】
核心考点1. 三角形的相关概念
例1：（2025·江苏徐州·统考中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
【答案】4
【分析】根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：设第三边的长为x，则有，即，
∵该三角形的边长均为整数，∴第三边的长可以为3、4、5、6、7，故答案为4（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
变式1.（2025·浙江金华·统考中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．
【详解】解：设第三边长度为，则第三边的取值范围是，只有选项C符合，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键．
变式2.（2025·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）

A．3B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】连接，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可；
【详解】连接，则．如图1，当点在线段上时，；

如图2，当点在的延长线上时，，∴的取值范围为，故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出．
例2：（2025·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
【答案】直角
【分析】设一份为，则三个内角的度数分别为，，，然后根据三角形内角和进行求解即可．
【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，解得．所以，，即，．
故这个三角形是直角三角形．故答案是：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
◆变式训练
变式1．（2025·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
变式2.（2025·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．
【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，
所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．
∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD与Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B选项正确，不符合题意；
C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，故C选项正确，不符合题意；
D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力．
例3：（2025·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（ ）

A．大B．小C．大D．小
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理，得，得到，结合已知判断即可．
【详解】根据三角形内角和定理，得，
∴，∴，
∵比小，∴，故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
变式1. （2025·河北石家庄·校联考模拟预测）一块板材如图所示，测得，，，根据需要为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动，则可将 （选填“增加”或“减少”） ．

【答案】 减小
【分析】延长交于点，根据三角形内角和和三角形外角性质即可求得．
【详解】延长交于点，如图

∵，∴
∵∴ ∴
故答案为：减小，
【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，解题的关键是作出辅助线．
变式2.（2025·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），∴，∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
变式3．（2025·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
【答案】，方法见解析
【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出即可解得；
选择方法二：延长BC交AD于点E， 根据外角的性质求出即可解得；
选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出，在中，，再根据角之间的和差即可求出．
【详解】解：选择方法一：如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．
∵是的外角，∴． 同理可得．
∴． ∴．
∵，，，∴

选择方法二：如答图2，延长BC交AD于点E．
∵是的外角，∴．
同理可得． ∴．
∵，，，∴
选择方法三：如答图3，连接BD．在中，．
∴∴．
在中，． ∴．
∵，，， ∴
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性质、三角形内角和解题．
核心考点2. 三角形中的重要线段
例4：（2025·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）

A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，图③中，线段是的中线，故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
变式1．（2025·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当时，折痕是三角形的（ ）

A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【答案】C
【分析】根据折叠的性质和平角定义得到，再根据三角形的高线定义求解即可．
【详解】解：∵，，∴，
又∵折痕经过三角形的顶点，∴折痕是三角形的高线，故选：C．
【点睛】本题考查折叠性质、平角定义、三角形的高线，理解三角形的高线定义是解答的关键．
变式2.（2025·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，∴AD是的角平分线，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
例5：（2025·河北沧州·统考三模）题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，，的面积均相等．甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（ ）

A．甲、乙皆正确B．甲、乙皆错误C．甲错误，乙正确D．甲正确，乙错误
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可判断甲的做法不正确，根据三角形中线的性质和三角形的重心的性质可判断乙的做法正确，可得答案．
【详解】解：对于甲：由做法可知：点O是三角形的三条角平分线的交点，
∴点O到三边的距离相等，记这个距离是h，
由于的三边均不相等，则，，的面积均不相等，∴甲的做法错误；
对于乙：由做法可得：点O是三角形三边中线的交点，连接，如图，
∴，∴，同理可得：，，
∴，，的面积均相等，∴乙的做法正确；故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质、三角形的中线和三角形重心的性质，正确理解题意、掌握相关图形的性质是解题的关键．
变式1. （2025·江苏苏州·校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ．
【答案】/
【分析】根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得的长，再根据重心的性质即可求得结果．
【详解】解：如图所示，过点A作于点D，

∵，，∴，∴，
∵为等腰三角形底边上的中线，
∴重心一定在上，且重心G到底边的距离为的长，
根据重心的性质可知，．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，重心的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
变式3．（2025·宁夏银川·校考一模）材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．
材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．
问题：(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值．(2) （填）
(3)是的黄金分割线吗？为什么？
【答案】(1)(2)(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据黄金数的定义，即可求解；（2）根据平行线间的距离处处相等，可得，即可求解；（3）根据，可得，，从而得到，再由线段所在的直线是的黄金分割线，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵a为0，1的黄金数，且实数，
∴，即，解得： （舍确），；
（2）解：设点F到的距离为h，
∵，∴，即，
∴；故答案为：
（3）解：是 理由如下：∵，∴，，
∴，
又∵线段所在的直线是的黄金分割线，
∴，∴，∴是的黄金分割线．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的性质，黄金分割点，黄金分割线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例6：（2025·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
【答案】 高
【分析】（1）由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义即可判断；
（2）由折叠的性质结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）由折叠的性质可知，，，
∴折痕是的高．故答案为：高；
（2）∵由折叠的性质可知，，
∴．故答案为：15．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质．熟练掌握上述知识点是解题关键．
变式1.（2025上·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ．

【答案】
【分析】由重心的性质可得点的坐标，根据旋转的性质证全等即可求得旋转后三角形的重心的坐标．
【详解】解：∵，点M为的重心∴,
∵点∴点

∵将绕着点O逆时针旋转90°过点作轴，连接
∵∴
∵∴
∴∴点故答案为：
【点睛】本题考查重心的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等．熟记相关数学结论是解题关键．
变式2．（2025·四川宜宾·模拟预测）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：
（1）的最小值=___________；（2）的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据垂线段最短可知：当时，的值最小．首先证明，由三角形外角的性质与三角形内角和定理可得，据此可得结论．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当时，的值最小，
此时，，故答案为：；
(2)为的内心，，
，
，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内心，垂线段最短，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是求得．
核心考点3. 全等三角形的判定与性质►
例7：（2025·浙江·统考中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．

【答案】或或
【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定．
【详解】解：∵在与中，，，
∴添加，则；或添加，则；
或添加，则；故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式1.（2025·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可．
【详解】根据题中所给的作图步骤可知，是的角平分线，即．
当时，又，且，
所以，所以，故A选项不符合题意．
当时，，又，且，
所以，所以，故B选项不符合题意．
当时，因为，，，
所以，所以，
又，所以，即．
又，所以，
则方法同（2）可得出，故C选项不符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
变式2.（2025·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，，即，
在和中，，；
当选择的条件为①③④时，，，即，
在和中，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
例8：（2025·台湾·统考模拟预测）已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】由与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角对大边可得；利用，可得，即，由上可得正确选项．
【详解】解：≌，，，，
，．，，．．
，，即．．，．故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
变式1. （2025·浙江台州·统考一模）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 ．
【答案】/145度
【分析】根据可得，再由三角形内角和得到，利用邻补角定义求出即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴．故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和以及邻补角定义，解答关键是在全等三角形性质基础上灵活运用数形结合思想
例9：（2025·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，∴，
∵若，又，∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，∵若，∴，
在和中，，∴，∴，故B是真命题；
若，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，∴，∴，故D是真命题；故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
变式1.（2025·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，由图可知：，，

∴，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴；故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
例10：（2025·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．
（2）证明：∵，，
在和中，，，，
在和中，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
变式1．（2025·陕西·统考中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，．
．．，．
在和中，，∴．．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
变式2．（2025·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）利用“”可证明；（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，，，
在和中，，；
（2）解：，，
在中，，
，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
变式3．（2025·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，∴ ∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
例11：（2025·重庆·统考中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，
在和中：，∴，
∴，∴，故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
变式1. （2025·山东临沂·统考中考真题）如图，．

(1)写出与的数量关系(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
【答案】(1)，(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；
（3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．
【详解】（1）解：∵∴，
∵∴即；
（2）证明：如图所示，
∴∴，∵，∴
∵，,∴
∴∴ ∴
（3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，

∵，，∴，∴
∵是的角平分线，∴，∴∴
∵，∴，，∴，
又∵，∴，
即，∴，又，则，
在中，，∴，∴
【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
变式2．（2025·青海海西·校考一模）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）。
探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由．

【答案】探究1：；探究2，仍然成立，理由见详解；探究3：，理由见详解
【分析】探究1：根据题意证明，推出，推出，推出即可；探究2：结论不变，证明方法与探究1类似；
探究3，过点作，交的延长线于点，时，利用正方形性质可推出即可得到，得出结论．
【详解】探索1：，，
四边形为正方形，，，，
在和中，，，
，，，，
故答案为： ，；
探索2：探索1中的两条结论是否仍然成立，
理由如下：，，
四边形为正方形，，，
在和中，，，
，，，；
探索3：线段，之间的位置关系是，
理由如下：如图，过点作，交的延长线于点，

，，，四边形为正方形，，
，，，
，，，
线段，之间的位置关系是．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
核心考点4. 全等三角形的实际应用
例12：（2025·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，∴，∴是的角平分线；故答案为：
（2）∵，，，∴，
∴，∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
变式1．（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为、的中点，，，（对顶角相等），
在与中，，，，故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
变式2．（2025·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）

【答案】（1）理由见解析（2）图见解析
【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求．
【详解】（1）证明：在和中
，∴，∴；
（2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求，如图：

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，无刻度尺作图．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，以及对角线互相平分的四边形为平行四边形．
核心考点5. 角平分线的性质与判定
例13：（2025·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
【答案】A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，∴．∴．∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
变式1.（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
变式2.（2025·河北沧州·模拟预测）画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对
【答案】C
【分析】用平行线的性质，等腰三角形的性质可判断嘉嘉的作法；用三角形全等可判定淇淇的作法．
【详解】∵，∴；

∵，∴，∴，故射线平分，故嘉嘉的作法正确；
∵，∴，∴，
∵，；∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
故射线平分，故淇淇的作法正确；故选C．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
例14：（2025·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，
根据作图可知为的角平分线，∵∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
变式1．（2025·福建厦门·校考模拟预测）如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则 ．

【答案】2
【分析】作于点G，根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点G，

∵点E在的平分线上，，，∴，
∵，∴，故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等；含角的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
变式2．（2025·广东广州·统考中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

【答案】/
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高，，
∴，又，∴，设点E到直线的距离为x，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．嘉嘉

①利用直尺和三角板画；
②在上截取，使；
③作射线，即为所求．
淇淇

①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点；
③作射线，即为所求．
嘉嘉

①利用直尺和三角板画；
②在上截取，使；
③作射线，即为所求．
淇淇

①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点；
③作射线，即为所求．