2026中考数学核心考点精讲精训练-考点13二次函数的应用（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点13二次函数的应用（学生版+名师详解版），共63页。
二次函数的应用在中考中较为常见，其中二次函数在实际生活中的应用多为选填题，出题率不是特别高，一般需要根据题意自行建立二次函数模型；而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。
【知识清单】
1：二次函数的实际应用（☆☆）
1）用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ；
（2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ；
（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ；
（4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
（5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。
2）利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
3）利用二次函数解决拱桥（门）/隧道/喷泉/球类运行轨迹类问题的方法：先建立适当的 平面直角坐标系 ，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线的解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
4）利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量及范围，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
5）利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的 坐标 或表示出与动点有关的线段 长度 ，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算。
2：二次函数的几何问题（☆☆☆）
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。
1）二次函数与几何图形的长度（面积）问题
二次函数与几何图形的长度（面积）问题一般是利用距离或面积公式表示出图形长度（面积）的函数关系式（一般是二次函数的表达式），再利用函数的解析式的特点求长度（面积）的最值问题；此外还会涉及到长度（面积）相等、给出长度（面积）的值等问题，其核心处理方法都是表示出长度（面积）的表达式，再去研究相关的性质。
2）二次函数与特殊三角形
（1）在二次函数的图象中研究等腰三角形问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段；
（2）在二次函数的图象中研究直角三角形问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。
3）二次函数特殊平行四边形
在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的。
4）二次函数与线段和、差的最值问题
在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题,一般会用到将军饮马、胡不归、阿氏圆、瓜豆原理等来解决相关最值问题。
5）利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的 坐标 ；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段 长度 或其他点的 坐标 等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在。
【易错点归纳】
1. 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
【核心考点】
核心考点1.二次函数的实际应用
例1：（2025年江苏省泰州市中考数学真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？(2)求一次性销售量在之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？
变式1.（2025年浙江省湖州市中考数学真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
变式2.（2025年湖南省益阳市中考数学真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？(3)2025年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
例2：（2025年河南省中考数学真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
变式1.（2025年浙江省嘉兴市中考数学真题）根据以下素材，探究完成任务．
例3：（2025年山东省威海市中考数学真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：

变式1. （2025年吉林省长春市中考数学真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

例4：（2025·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
变式1.（2025·广东深圳·校考模拟预测）已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，轴于点C，相关数据如下：

(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足，则他第二次跳跃落地点与起跳点平面的水平距离为_____米，d_____30，成绩是否达标？_____．（填写是或否）
例5：（2025年贵州省中考数学真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
变式1.（2025·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
例6：（2025年黑龙江省大庆市中考数学真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
变式1. （2025年辽宁省锦州市中考数学真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
核心考点2.二次函数综合问题
例7：（2025年青海省西宁市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
变式1.（2025年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点的坐标．

例8：（2025年浙江省湖州市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．①当时，求的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
变式1.（2025年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．

例9：（2025年湖北省十堰市中考数学真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．

变式1.（2025年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．

例10：（2025年青海省中考数学真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．

变式1.（2025年江苏省常州市中考数学真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．(1)_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．

变式2.（2025年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．(1)求b，c的值．(2)点是抛物线上的动点①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

例11：（2025年西藏自治区中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
变式1.（2025年山东省淄博市中考数学真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点的坐标；(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式2．（2025年内蒙古中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．

例12：（2025年湖北省鄂州市中考数学真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：_________，_________；
【技能训练】(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．

变式1．（2025年宁夏回族自治区中考数学真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
考点13. 二次函数的应用（精讲）
【命题趋势】
二次函数的应用在中考中较为常见，其中二次函数在实际生活中的应用多为选填题，出题率不是特别高，一般需要根据题意自行建立二次函数模型；而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。
【知识清单】
1：二次函数的实际应用（☆☆）
1）用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ；
（2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ；
（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ；
（4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
（5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。
2）利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
3）利用二次函数解决拱桥（门）/隧道/喷泉/球类运行轨迹类问题的方法：先建立适当的 平面直角坐标系 ，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线的解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
4）利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量及范围，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
5）利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的 坐标 或表示出与动点有关的线段 长度 ，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算。
2：二次函数的几何问题（☆☆☆）
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。
1）二次函数与几何图形的长度（面积）问题
二次函数与几何图形的长度（面积）问题一般是利用距离或面积公式表示出图形长度（面积）的函数关系式（一般是二次函数的表达式），再利用函数的解析式的特点求长度（面积）的最值问题；此外还会涉及到长度（面积）相等、给出长度（面积）的值等问题，其核心处理方法都是表示出长度（面积）的表达式，再去研究相关的性质。
2）二次函数与特殊三角形
（1）在二次函数的图象中研究等腰三角形问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段；
（2）在二次函数的图象中研究直角三角形问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。
3）二次函数特殊平行四边形
在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的。
4）二次函数与线段和、差的最值问题
在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题,一般会用到将军饮马、胡不归、阿氏圆、瓜豆原理等来解决相关最值问题。
5）利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的 坐标 ；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段 长度 或其他点的 坐标 等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在。
【易错点归纳】
1. 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
【核心考点】
核心考点1.二次函数的实际应用
例1：（2025年江苏省泰州市中考数学真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？(2)求一次性销售量在之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？
【答案】(1)当一次性销售800千克时利润为16000元；(2)一次性销售量在之间时的最大利润为22500元；(3)当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【分析】（1）用销售量×利润计算即可；（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）根据（2）中解析式，令y=22100，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，当时，，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）解：设一次性销售量在之间时，销售价格为，
∴，
∵，，∴当时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在之间时的最大利润为22500元；
（3）解：由（2）知，当时，，
∴当一次性销售量在之间时，利润为22100元，
∴，解得，
∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式，掌握二次函数的性质是解答本题关键．
变式1.（2025年浙江省湖州市中考数学真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：，解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，
∵，∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
变式2.（2025年湖南省益阳市中考数学真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？(3)2025年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】(1)4万元(2)
(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【分析】（1）把代入可得答案；（2）当时，可得，再解方程可得答案；（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，整理得：，
解得：，（不符合题意），∴m的值为8．
（3）
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴，
而，∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
例2：（2025年河南省中考数学真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)，，(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，令时，，∴，
将代入中，可得：，解得：；
（2）∵，，∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，∴落地点到C点的距离为，
∵，∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
变式1.（2025年浙江省嘉兴市中考数学真题）根据以下素材，探究完成任务．
【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，
∴，解得，∴，
当时，，得（舍去），∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，解得，∴
∴顶点纵坐标为，（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．
例3：（2025年山东省威海市中考数学真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：

【答案】3.2米
【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，由题意知：，，

∵抛物线的最高点B，∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，
令，则，解得：，
∴，∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键．
变式1. （2025年吉林省长春市中考数学真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

【答案】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：、、，
设抛物线解析式为：，将代入解析式，
解得：，，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，令，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
例4：（2025·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．

【答案】(1)；(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入即可求得解析式；令，即可求得点B的坐标；（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点时的的值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：∴抛物线的解析式为
令，则解得： ∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵ ∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点时， 由点D在之间可得：
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．
变式1.（2025·广东深圳·校考模拟预测）已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，轴于点C，相关数据如下：

(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足，则他第二次跳跃落地点与起跳点平面的水平距离为_____米，d_____30，成绩是否达标？_____．（填写是或否）
【答案】(1)；(2)；＞；是．
【分析】 （1）设该二次函数的解析式为，根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；（2）求出当函数的函数值为时，的值，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，设该二次函数的解析式为，米，，
将点代入得：，解得，
则该二次函数的解析式为，故答案为：．
（2）解：对于二次函数，当时，，
解得或（不符合题意，舍去），则，
，， 即，
故答案为：；＞；是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
例5：（2025年贵州省中考数学真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【答案】(1)(2)点的坐标为(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解；
（2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可；
（3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，设抛物线的解析式为，
，，，，
将，代入，得：，解得，抛物线的解析式为；
（2）解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，，

作点B关于y轴的对称点，则，，，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，直线的解析式为，
当时，，点的坐标为，位置如下图所示：
（3）解：中，抛物线开口向下，
当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，解得，；
当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，解得，；综上可知，或，的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论．
变式1.（2025·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
【答案】(1)25(2)(3)此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为
【分析】（1）设所在圆的圆心为点，连接，则，，再设这条桥主桥拱的半径是，则，，然后在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，则，再利用待定系数法求解即可得；（3）根据（1）可得，利用勾股定理可求出的长，再利用垂径定理即可得此时桥的水面宽度；根据（2）的结论求出时，的值，由此即可得此时桥的水面宽度．
【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为点，连接，

由垂径定理得：点共线，则，，
设这条桥主桥拱的半径是，则，，
在中，，即，解得，故答案为：25．
（2）解：如图，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得：，则设桥拱抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，所以桥拱抛物线的解析式为．
（3）解：如图，桥中，由（1）可知：，
由题意得：，，在中，，
由垂径定理得：，即此时桥的水面宽度为；
如图，桥中，，当时，，解得或，
所以此时桥的水面宽度为，
答：此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．
例6：（2025年黑龙江省大庆市中考数学真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得：，，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，则可得，，从而得到，根据的最大值为3，求出的值，从而得到，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，，设，则，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，
，
，，，，
，
由图象可得的最大值为3，，解得：或（舍去），，
，
平行四边形的面积为：，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
变式1. （2025年辽宁省锦州市中考数学真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断．
【详解】解：过点D作于H，
，，
∵，，∴，∴
当时，如图，重叠部分为，此时，，
∴，∴，即，∴∴；
当时，如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，，
∵，∴，∴，
又，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，∴，
∴；
当 时,如图，重叠部分为四边形，此时，，
∴，∵，∴，
∴，即∴，
综上，，∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．
【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
核心考点2.二次函数综合问题
例7：（2025年青海省西宁市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：，∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ， ∴．
∵在中，∴．∵轴，，∴．
在中，，，∴，∴．
在中，，，∴，∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，当时，，
∴，∴的最大值是，此时的P点坐标是．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键．
变式1.（2025年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点的坐标．

【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可；（3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可．
【详解】（1）解：将，代入，
可得，解得，抛物线的解析式为；
（2）解：，，，，，
，，的周长，
的周长是线段长度的2倍，，设直线的解析式为，
将，代入可得，解得，直线的解析式为，
设，则，，
，，
，解得，（舍），
，；
（3）解：，当时，y取最大值，，
直线的解析式为，当时，，，
设，过点M作轴于点N，

由题意知，，，，
又，， ，，，
，设直线的解析式为，则，解得，
直线的解析式为，将点代入，得，
解得或，或．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键．
例8：（2025年浙江省湖州市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．①当时，求的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴， ∴，∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，∴点G的纵坐标是1， ∴．
②存在．理由如下：∵的面积为1，，∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）． ∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
变式1.（2025年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．

【答案】(1)；(2)(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案；（2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，解得：，∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，，，解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，解得：，∴，
∵抛物线向右平移个单位，∴，
当时，，当时，，解得：，
∴，
∵，∴，解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），综上所述：m等于2或4；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．
例9：（2025年湖北省十堰市中考数学真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．

【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线的解析式为，设，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，得出是等腰直角三角形，设，则，证明，相似三角形的性质得出，则，可得，当面积是面积的3倍时，即，即，在中，，解方程即可求解；（3）根据三角形外角的性质，结合已知条件得出，证明，则，设交轴于点，过点作轴于点，求得直线的解析式为，联立，得出，勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质得出关于的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴解得：∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，，∴，则，∵，∴，，
∵点是的中点，则，∴，设直线的解析式为，
∵点和点，∴解得：
∴直线的解析式为，设，
如图所示，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，

∴，∴，∴是等腰直角三角形，
设，则，∵，∴，
∵，∴，
∴∴∴即
∵∴即，∴，∴∴，
又，∴是等腰直角三角形，∴的面积为，
∵的面积为当面积是面积的3倍时
即即
在中，∴
∴解得：或（舍去）∴；
（3）∵，又，
∴，∴，∴，设交轴于点，过点作轴于点，
∵，∴，∵，∴，
设，则，在中，，
∴，解得：，∴，设直线的解析式为，
∴，∴，∴直线的解析式为，
联立，解得：或，∴，
∴，∵，
设，则，∴，
整理得：，
∵在线段上（与点不重合），∴,∴，
∴当时，取得的最大值为，∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式1.（2025年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．

【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；
（2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可；
（3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由 可得，， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标 ．
【详解】（1）解：把和代入到解析式中可得
，解得，抛物线的解析式为：；
（2）直线中，令，则，所以，
直线中，令，则，所以，
分别过，向轴作垂线，垂足为，，
根据题意可得，轴，轴，和为直角三角形，
在和中，，，，
设，则，，，
从而，，
则有，解得（舍去），或，故点的横坐标为：；

（3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，
，可设，则，
∴，则，
设，轴，，，
，，，
，，，，
，，，
，，，则，
，，
，代入抛物线解析式中有：，
解得：或，当时，，当时，．
【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题．
例10：（2025年青海省中考数学真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．

【答案】(1)；(2)；(3)，
【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果；
（2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果；
（3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果．
【详解】（1）解：由题意得，，∴，∴；
（2）解：如图，连接，

∵，∴，∴，，
由得，，∴，
∴；
（3）解：设，，∵，∴，
由得，∴，∴．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
变式1.（2025年江苏省常州市中考数学真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．(1)_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．

【答案】(1)；(2)；(3)或．
【分析】（1）把代入即可求解；（2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解；（3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：把代入得，
，解得，故答案为；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵，∴二次函数的解析式为设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，∴，
∵，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，∴；
（3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，
∴化简得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，当p=时，，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
变式2.（2025年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．(1)求b，c的值．(2)点是抛物线上的动点①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，即：，；
（2）①由（1）可知：，当时，，即，
设的解析式为：，将，代入中，
可得，解得：，∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
例11：（2025年西藏自治区中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．
【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，
∴解得，，∴抛物线的解析式为：；
（2）令，∴，由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，∴；
当以点为顶点时，，是等腰中线，∴，∴；
当以点为顶点时，∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：直线，
设，，∵，则，
，，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，
∴，解得：，∴或
∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，∴，
解得：，∴
当时，∴，解得：，∴
以为对角线时，则，如图2，
∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与中点重合，
∴，解得：，∴；
当以为对角线时，则，如图3，∴，解得：，∴，
∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
∴，解得：∴，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
变式1.（2025年山东省淄博市中考数学真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点的坐标；(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴①，
将点代入得，∴②，
联立①②得，，∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，∴，设直线的解析式为，
∴，解得：，∴直线的解析式为，设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，，
∵，∴，由对称性可知，，∴，
∴解得：∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，由对称性可知，，∴，
∴，解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
变式2．（2025年内蒙古中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．

【答案】(1)(2)的最大值为，点的坐标为
(3)符合条件的点坐标为：或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可；（3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点
解得 抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，解得，，∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，解得∴直线的解析式为，

设，∵轴，∴点的纵坐标为，
又∵点在直线上，∴，，
∴，∴，∵轴，∴，
∴，
∵，，∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，∴点的坐标为；
答：的最大值为，点的坐标为；
（3）解：，则抛物线的顶点，对称轴为，
情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点，
∵四边形为矩形，∴与纵坐标相同，∴；
情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，
过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，
设，则，∴，，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，，
∴，，∴，即，
∵，，∴，
∴，∴，，
∴，∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，∴，
解得，（舍去），∴，
综上所述：符合条件的点坐标为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．
例12：（2025年湖北省鄂州市中考数学真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：_________，_________；
【技能训练】(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．

【答案】(1)，；(2)；(3)(4)
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线中，∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，∴解得：或（舍去），
∴，∴点P的坐标为；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，令，解得：，（舍去），故点的坐标为，∴，
∵点是直线和直线m的交点，令，解得：，故点的坐标为，
∴，．即的最小值为．
（4）解：∵抛物线中，∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
∵点的坐标为，准线，∴点的横坐标为，代入解得，
即，，则的面积为．
【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
变式1．（2025年宁夏回族自治区中考数学真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)(2)点，的最小值为(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，∴点为；
（2）当时，，∴，连接，
∵，∴，∵点关于对称轴的对称点为点，∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，设直线的解析式为：，

则：，解得：，∴，
∵点在抛物线的对称轴上，∴；∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，设抛物线的解析式为：，
∵，∴，∴，∴，
设，则：，由（2）知：直线：，
∴，∴，
∵，∴，，∴，
∴，∴，∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．

素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．

问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
水平距离x（米）
5
10
20
30
空中飞行的高度y（米）
4.5
6
0
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．

素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．

问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
水平距离x（米）
5
10
20
30
空中飞行的高度y（米）
4.5
6
0