2026中考数学核心考点精讲精训练-考点19圆的相关概念与性质（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点19圆的相关概念与性质（学生版+名师详解版），共42页。
圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在8-10分左右，属于中考中的中档考题。所以考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。
【知识清单】
1．与圆有关的概念（☆）
1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。
7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
2：二圆的相关性质及推理（☆☆☆）
1）圆的对称性
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
3）推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
4）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。
6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
【易错点归纳】
1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。
2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。
【核心考点】
核心考点1. 圆的有关概念
例1：（2025·安徽安庆·九年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，半圆不是弧B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．周长相等的两个圆是等圆D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
变式1．（2025·江苏宿迁·九年级校联考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
变式2.（2025·福建·校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的倍 D．圆是轴对称图形
例2：（2025·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
变式1．（2025上·河北沧州·九年级校考期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2025·浙江绍兴·校联考三模）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）

A． B．当时，
C．当时，D．当时，
例3：（2025年江苏省徐州市中考数学真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
变式1．（2025·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
变式2．（2025·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．

例4：（2025·山东东营·统考中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为 ．
变式1.（2025·湖南·校考二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2025年江西省中考数学真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
例5：（2024上·北京丰台·九年级统考期末）如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．平分
变式1．（2025上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2025·广东汕头·统考一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
核心考点2. 圆的相关性质及推理
例5：（2025·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①②B．②③C．②④D．④
变式1.（2025上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列命题错误的有（ ）个
A．弧长相等的两段弧是等弧；B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；D．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1B．2C．3D．4
变式2．（2024上·河南新乡·九年级统考期末）有下列命题：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半；④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点；⑤圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数有 个．
例6：（2025年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
变式1．（2025年湖北省宜昌市中考数学真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A．5B．4C．3D．2
变式2．（2024·四川凉山·统考模拟预测）建设中的“乐西高速”是乐山市与西昌市的重要通道，建成后将极大改善区域内交通运输条件，并对沿途各县的经济发展有极大地促进作用，如图是其中一个在建隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦的中点，经过圆心O交⊙O于点E，且，，则⊙O的半径为（ ）m
A．5B．6.5C．7.5D．8
例7：（2025·辽宁抚顺·校联考一模）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
变式1. （2025·安徽滁州·校联考一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（ ）

A．5B．3C．2D．1
变式2.（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．
(1)求证：；(2)如果的半径为5，，求的长．

例8：（2025年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2025年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2025年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A．2B．C．D．
例9：（2025年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
变式1.（2025·河北沧州·统考二模）某圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧（点是该弧中点）围成的区域是表演区．如图1，在处安装一台监控器，其监控的度为．如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（ ）

甲：在处放置；乙：在处放置；丙：在处放置
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
变式2．（2025·辽宁抚顺·统考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
例10：（2025年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2025年广东省中考数学真题）如图，是的直径，，则（ ）

A．B．C．D．
变式2.（2025·江苏盐城·统考模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点(1)求证：；(2)若，求的长度．
例11：（2025年西藏自治区中考数学真题）如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式1.（2025年山东省泰安市中考数学真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2025年江苏省淮安市中考数学真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
例12：（2025·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2025上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2025·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

考点19. 圆的相关概念与性质（精讲）
【命题趋势】
圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在8-10分左右，属于中考中的中档考题。所以考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。
【知识清单】
1．与圆有关的概念（☆）
1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。
7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
2：二圆的相关性质及推理（☆☆☆）
1）圆的对称性
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
3）推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
4）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。
6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
【易错点归纳】
1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。
2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。
【核心考点】
核心考点1. 圆的有关概念
例1：（2025·安徽安庆·九年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，半圆不是弧B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．周长相等的两个圆是等圆D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆的基本性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、直径是弦，半圆是弧，故本选项错误，不符合题意；
B、同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧也相等，故本选项错误，不符合题意；
C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项正确，符合题意；D、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误，不符合题意；故选：C
变式1．（2025·江苏宿迁·九年级校联考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；C、弦不一定是直径，故选项错误；
D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；故选D．
变式2.（2025·福建·校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的倍 D．圆是轴对称图形
【答案】B
【分析】根据圆的特征即可求解．
【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，故选：．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．
例2：（2025·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
【答案】B
【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．
【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．
变式1．（2025上·河北沧州·九年级校考期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可．
【详解】解：由图可知，过圆心为直径，∴最长，故选：C．
变式2.（2025·浙江绍兴·校联考三模）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）

A． B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】D
【分析】根据已知，利用图象判断即可．
【详解】解：如图，当时，
当时，；

A、，本选项不符合题意；B、当时，，本选项不符合题意；
C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当时，，本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例3：（2025年江苏省徐州市中考数学真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】(1)(2)①符合，图见详解；②图见详解
【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．
【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，∴它们的面积之比为；故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．
变式1．（2025·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
变式2．（2025·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．

【答案】
【分析】根据正方形的面积为2，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：连接，则是四边形的外接圆的直径．

正方形的面积为2，，，，
，∴四边形的外接圆的周长；故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形的边长．
例4：（2025·山东东营·统考中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵，∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
变式1.（2025·湖南长沙·校考二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据等边对等角得出，则，最后根据等角对等角得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，∵，∴，

∵，∴，∵，∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握半径相等，等腰三角形“等边对等角”．
变式2．（2025年江西省中考数学真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
例5：（2024上·北京丰台·九年级统考期末）如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．平分
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的特征，圆的定义，圆的基本性质；由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得，再由圆的定义得点A、D、C、B在以O为圆心，长为半径的圆上，由圆的基本性质及圆的内接四边形的性质即可求解；掌握有关性质，能根据圆的定义确定A、D、C、B四点共圆是解题的关键．
【详解】解：点O为线段的中点，，
，，，
点A、D、C、B在以O为圆心，长为半径的圆上，如图，故A结论正确，不符合题意；

由圆周角定理得到，故B结论正确，不符合题意；
四边形是圆内接四边形，，故C结论正确，不符合题意；
和不一定相等，和不一定相等，
不一定平分，故D结论错误，符合题意．故选：D．
变式1．（2025上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，，，
，，即（定长），
点是定点，是定长，点在半径为1的上，
，的最大值为，故选：C．
变式2．（2025·广东汕头·统考一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
核心考点2. 圆的相关性质及推理
例5：（2025·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①②B．②③C．②④D．④
【答案】C
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；
④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
变式1.（2025上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列命题错误的有（ ）个
A．弧长相等的两段弧是等弧；B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
D．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题根据等弧的定义、垂径定理、圆的对称性以及四点共圆的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，弧长相等的两段弧是等弧，故A错误，符合题意．
B、过弦（弦不能是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故B 错误，符合题意．
C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故C错误，符合题意．
D、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，D正确，不符合题意．
综上所述，符合题意的总共有3个，故选：C．
变式2．（2024上·河南新乡·九年级统考期末）有下列命题：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半；④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点；⑤圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数有 个．
【答案】
【分析】根据圆的相关定义、定理，即可进行判断求解，本题考查了，圆的基本概念，圆周角定理，三角形内心的定义，圆内接四边形的性质，解题的关键是：熟记并充分理解相关定义、定理．
【详解】①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是真命题，
②相等的圆心角所对的弦相等，是假命题，前提条件是：在同圆或等圆中，
③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半，是真命题，
④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点，是假命题，三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，
⑤圆内接四边形的对角互补，是真命题，综上所述①③⑤为真命题，故答案为：．
例6：（2025年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
【答案】A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．设的半径为，则．
在中，，，
，，即的半径为．故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
变式1．（2025年湖北省宜昌市中考数学真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．
【详解】解：∵∴点为的中点，∵∴，
由勾股定理得，∴∴故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键
变式2．（2024·四川凉山·统考模拟预测）建设中的“乐西高速”是乐山市与西昌市的重要通道，建成后将极大改善区域内交通运输条件，并对沿途各县的经济发展有极大地促进作用，如图是其中一个在建隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦的中点，经过圆心O交⊙O于点E，且，，则⊙O的半径为（ ）m
A．5B．6.5C．7.5D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用依据勾股定理等知识，根据垂径定理得,则,在中，由勾股定理得，进而求出半径即可．
【详解】解：连接，如图所示：
是弦的中点，m，m，
设的半径为m, 在中，由勾股定理得：
,即：，解得：，即的半径为5m，故答案为：5．
例7：（2025·辽宁抚顺·校联考一模）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；
B、平分，，，，故本选项正确；
C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；
D、与的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
变式1. （2025·安徽滁州·校联考一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（ ）

A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】
连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到BC的长．
【详解】解：连接交于F，如图，D是弧的中点，，，
是直径，，，，E是的中点，，
，，，
，，，设，则，
，在中，，
，解得，即，故选：C．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理．
变式2.（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．
(1)求证：；(2)如果的半径为5，，求的长．

【答案】(1)见解析(2)7
【分析】（1）根据，可得，再证明，即可；
（2）过O作与F，于G，连接，则，根据垂径定理可得，证明，可得，从而得到四边形是正方形，可得，设，则，根据勾股定理求出x的值，即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，
在与中，，∴，∴；
（2）解：过O作与F，于G，连接，则，

∴四边形是矩形，根据垂径定理得：，
∵，∴，在与中，，
∴，∴，
∵，∴四边形是正方形，∴，
设，则，∴，
即，解得：或（舍去），∴，∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
例8：（2025年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，

半径互相垂直，， 所对的圆心角为，
所对的圆周角，
又，，故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
变式1．（2025年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
变式2．（2025年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长．
【详解】解：连接，

∵的半径为2．，∴，∴，
∵D，G分别为的中点，∴为的中位线，∴．故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题关键．
例9：（2025年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
【详解】解：，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
变式1.（2025·河北沧州·统考二模）某圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧（点是该弧中点）围成的区域是表演区．如图1，在处安装一台监控器，其监控的度为．如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（ ）

甲：在处放置；乙：在处放置；丙：在处放置
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
【答案】A
【分析】结合圆的基本性质和定理逐项分析即可得出结论．
【详解】解：①若在处放置，如图1所示，连接；

∵点是优弧的中点，∴，，
∴在处安装监控器可监控到所对的区域，即两台监控器可满足监控到表演区的整个区域，故甲方案可行；
②若在处放置，如图2所示，连接、、；
由①知，由圆周角定理，，
∴在处安装监控器可监控到所对的区域，即两台监控器可满足监控到表演区的整个区域，故乙方案可行；
③若在处放置，如图3所示，连接、、、，
要使得其与处监控器能够监控到表演区的整个区域，则处监控器应该监控到所对弓形的内部，由圆的内接四边形性质可知，，
∵监控器监控的度为，∴无法满足监控到所对弓形的内部，即丙方案不可行；
综上分析，甲、乙方案可行，故选：A．
【点睛】本题考查圆的基本性质运用，掌握圆的基本性质和常见定理，熟练运用于实际问题中是解题关键．
变式2．（2025·辽宁抚顺·统考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据题意得到，根据等边对等角得到，进而得到，进而求解即可；
（2）连接，首先证明出，得到，，然后由勾股定理得到，然后证明出是等边三角形，进而得到．
【详解】（1）证明：∵平分∴ ∵∴
∵∴即
（2）解：连接，
∵为的直径∴
∵∴∴，
∵在中，∴
∵∴∵∴是等边三角形∴．
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
例10：（2025年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，
∵是的直径，∴，∴，故选D．

【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
变式1．（2025年广东省中考数学真题）如图，是的直径，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：∵是的直径，∴，
∵，∴，
∵，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
变式2.（2025·江苏盐城·统考模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点(1)求证：；(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】(1)由是的直径，则，而，所以；由点C是的中点，得到，于是，即可得到；
连接，，，可得圆的半径为6，在直角三角形中，由，可得，进而推出等于，再用弧长公式求解即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧长的计算，难度适中．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】（1）证明：是的直径，，
又，，，
点C是的中点，，，，
（2）解：连接，，，，
，，，
点C是的中点，，
，的长度．
例11：（2025年西藏自治区中考数学真题）如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形内接于，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
变式1.（2025年山东省泰安市中考数学真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵是的直径，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
变式2．（2025年江苏省淮安市中考数学真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
【答案】120
【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，∴，∵，∴，∴，
∵四边形是的内接四边形，∴，故答案为：120．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
例12：（2025·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形∴
∵∴∴∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，∴∴∵故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
变式1．（2025上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，进而得到当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得，，则所对的圆心角的度数为，利用弧长公式求得的长即可求解．
【详解】解：连接，，，∵，∴，

∴点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，当点E在点B处时，，点F与O重合；当点E在点D处时，∵以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，∴即，点F与A重合，
∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，则所对的圆心角的度数为，
∴的长为，即点F所经过的路径长为，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F的运动轨迹以及点F所经过的路径长为的长是解答的关键．
变式2．（2025·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．