（人教A版）选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习 专题07 圆切线与圆最值归类（2份，原卷版+解析版）

这是一份（人教A版）选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习 专题07 圆切线与圆最值归类（2份，原卷版+解析版），文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习专题07圆切线与圆最值归类原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习专题07圆切线与圆最值归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7184" 【题型一】圆最值1：圆上动点与圆心 PAGEREF _Tc7184 1
\l "_Tc4226" 【题型二】圆最值2：直线动点与圆3
\l "_Tc31871" 【题型三】圆最值3：阿波罗尼斯圆 PAGEREF _Tc31871 5
\l "_Tc4729" 【题型四】圆最值:4：将军饮马型 PAGEREF _Tc4729 8
\l "_Tc24806" 【题型五】圆最值5：定角范围 PAGEREF _Tc24806 10
\l "_Tc10751" 【题型六】圆最值6：最短距离 PAGEREF _Tc10751 13
\l "_Tc16710" 【题型七】切线1:入射与反射光线 PAGEREF _Tc16710 15
\l "_Tc13489" 【题型八】切线2：切点弦方程 PAGEREF _Tc13489 17
\l "_Tc15323" 【题型九】切线3：切点弦过定点 PAGEREF _Tc15323 19
\l "_Tc6796" 【题型十】切线4：切线长最值范围 PAGEREF _Tc6796 21
\l "_Tc6302" 【题型十一】切线5：切线三角形与四边形面积最值 PAGEREF _Tc6302 23
\l "_Tc11238" 【题型十二】切线6：切点弦长最值 PAGEREF _Tc11238 25
\l "_Tc30150" 【题型十三】切线7：向量范围 PAGEREF _Tc30150 28
\l "_Tc18541" 【题型十四】切线转化综合 PAGEREF _Tc18541 30
\l "_Tc19793" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc19793 33
\l "_Tc24330" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc24330 39
\l "_Tc17375" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc17375 45
【题型一】圆最值1：圆上动点与圆心
【典例分析】
已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
【答案】B
【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，，
．点关于轴的对称点为，
，所以，，
故选：B．
【变式训练】
1.点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得
，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．
【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，
由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．故选A．
2.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
3.已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小值为B．当最大时，的面积为2
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】B
【分析】根据题意，可知当为线段与圆的交点时，可求出取得最小值，可判断A选项；当与圆相切时，最大，此时与重合，可求出的面积，即可判断B选项；由于，当最大时，也最大，可知当，，三点共线，且在，之间时，求出的最大值，即可判断C选项；当为射线与圆的交点时，求得取得最大值，即可判断D选项.
【详解】解：如图，当为线段与圆的交点时，即时，
此时取得最小值为，故A正确；
由题可知点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，
此时，故B错误；
因为点在圆上，为圆心，则，
所以当最大时，也最大，
当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确；
当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确．
故选：B.
【题型二】圆最值2：直线动点与圆
【典例分析】
已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，
再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.
【详解】由圆：，得圆，半径为，
所以，
所以点到圆上点的最小距离为.故选：C.

【变式训练】
1.已知点是圆上的动点，直线与轴､轴分别交于两点，当最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出圆心、半径，根据直线与圆的位置可知，当最小时，与圆相切，最后用勾股定理求即可
【详解】圆化成标准形式为，故圆心为，半径为2，直线与坐标轴交于点，点，如下图所示：
则当最小时，与圆相切，连接，可知，
由勾股定理可得，故选：A
2.若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（ ）
A．B．C．1D．－1
【答案】C
【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值.
【详解】直线的方程可化为。所以直线恒过定点，
因为。所以点在圆内，
由圆的性质可得当时，最小，周长最小，
又，所以，此时．故选：C．
3.已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外离C．外切D．相交
【答案】B
【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【详解】易知直线即过定点，因为，故在圆内.故弦最短时直线垂直，又，所以，解得，此时圆的方程是.两圆圆心之间的距离，半径分别为5，3又，所以这两圆外离.故选：B.
【题型三】圆最值3：阿波罗尼斯圆
【典例分析】
已知点，动点满足，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求出点和的轨迹，结合平面向量的加法以及模长的计算，即可求解.
【详解】设，则，，
因，所以，即，因此点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
同理可得点也在以原点为圆心，2为半径的圆上.
又因，所以当和重合，且、、三点共线时，取得最值，
因此，.
故选：B.
【变式训练】
1.已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最小距离，代入三角形面积公式计算.
【详解】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，
设，因为，所以，得，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为.故选：A
2.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，由，可得点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，又，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.
【详解】解：由题意，设，，
因为，所以，即，
所以点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
因为，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，所以，
所以，即的最大值为，故选：A
3.已知两定点，如果平面内动点满足条件，则的最大值是_____
【答案】
【解析】设动点坐标，再由几何条件，可得轨迹方程，进一步可得所求解.
【详解】设，由，可得，
整理得: ，即所以（表示中边上的高），
显然，所以最大值为.故答案为:.
【题型四】圆最值:4：将军饮马型
【典例分析】
已知圆上的动点和定点，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取点，连接，由，可得，推
出，在中，，推出的最小值为的长.
【详解】如图，取点，连接，
，，
，，，
，因为,当且仅当三点共线时等号成立,
的最小值为的长，，
，故选D.
【变式训练】
1.已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设可知圆：，在坐标系中找到，应用三角线相似将转化到，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.
【详解】由题设，知：且，即圆的半径为4，
∴圆：，
如上图，坐标系中则，
∴，即△△，故，∴，在△中，∴要使最大，共线且最大值为的长度.
∴.故选：A
【点睛】关键点点睛：首先求出圆方程，找到定点使，进而将转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.
2.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.
【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．因为B(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．又