初中北师大版（2024）有理数的乘除运算课时训练

这是一份初中北师大版（2024）有理数的乘除运算课时训练，共29页。试卷主要包含了75 ÷ 0等内容，欢迎下载使用。
本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分 72 分，拓展培优满分 48 分，合计 120 分；完成时间40——60 分钟．
第一卷【夯实基础】
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只 有一个正确答案．
（2025·四川成都·三模）
1 ．2025 是春意盎然，生机勃勃的双春年，2025 的倒数是( )
A ．-2025 B ．2025 C ． D ． （2025·四川南充·一模）
2 ．如图，在所给形状厚纸片上写上数字，围成一个几何体后，相对两个面上的数的商不可
能是( )
A ．1.2 B ．2 C ．3 D ．4
（24－25 七年级上·福建福州·期末）
3 ．下列计算正确的是( )
A ．1-1 × 3 = 0 B ．(-2) ×3 × (-1) = -6
C ． D ． （24－25 七年级下·全国·假期作业）
4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分， 再把分子直接相除．例如 下面 是采用这种方法计算的．
A ． = 0.75 ÷ 0.5 = 1.5 B ．
（2025·江苏徐州·二模）
5 ．已知 a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是( )
A ．a (a + b) < 0 B ．a - b < 0 C ． D ． a > b （24－25 七年级上·浙江杭州·期中）
6 ．若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“ 爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上， 其中“我”“爱”对应的数分别为-2 和-1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上 向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为 0，则连续翻滚后数轴上数 2024 对应的字是( )
A ．我 B ．爱 C ．数 D ．学 （24－25 七年级上·湖北荆门·期中）
7 ．下列说法中：① a + b = 0 ，则 若 则a + b = 0 ．下列判断正确的是 ( )
A ．①②都对 B ．①②都错 C ．①错②对 D ．①对②错 （24－25 七年级上·浙江绍兴·期末）
8 ．分配律用式子可表达为a × (b + c) = a × b + a × c ．下列四个计算： 适 合运用分配律来简化计算的算式有( ).
A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
（24－25 七年级上·四川宜宾·期末）
9 ．在 4 ，-5 ，6 ，-7 这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ．
（23－24 七年级上·吉林四平·阶段练习）
10 ．计算 的结果为 ． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）
11 ．用* 定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定：a *b = ab - 2a ．例如：
2 * 1 = 2 × 1- 2 × 2 = -2 ．则(-2) *3 = （24－25 七年级上·辽宁大连·期中）
12 ．如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的 x 的值为 5 时，输出的数为 ．
（24－25 七年级上·江苏常州·期中）
13 ．如图，数轴上 A ，B 两点所表示的数分别为 a ，b ，下列各式：① ab > 0 ；② a +b < 0 ；
③ (a -1)(b -1) > 0 ．其中正确式子的序号是 ．
（24－25 七年级上·山东菏泽·期中）
14 ．一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重= （年龄×7 - 5 ）
÷2 ．下表是六位 11 岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体 重的千克数记为负数．
则这六位同学的总体重是 千克．
三、解答题（4 题共计 30 分）
（24－25 七年级上·广西柳州·期中）
15 ．计算：
(1)6 + (-4) - 2 + 3
（24－25 七年级上·河南洛阳·期末）
16 ．计算
（2025·河北·模拟预测）
17 ．已知 m 为有理数，定义运算符号：当m > -1时， ※m = -m ；当 m < -1 时， ※m = m ； 当m = -1 时， ※m = 0 ．
编号
1
2
3
4
5
6
体重情况
-1.1
+2
-0.5
+4.7
-8.3
+2.2
(1)※(-2) = ______ ， ※(-3 + 2) = ______；
计算
（24－25 七年级上·陕西咸阳·期末）
18 ．大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了 6 筐冬枣，以每筐20kg 为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg ）如下：
(1)第 1 筐冬枣重_____千克．
(2)这 6 筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(3)如果该冬枣以每千克 15 元的价格售出，这 6 筐冬枣一共可以卖多少元？
第二卷【拓展培优】
四、选择题（每小题 3 分，共 12 分）
（23－24 六年级下·山东滨州·期末）
19 ．如果a . b= c ，那么在数轴上对数 a 、b 、c 位置的确定，正确的是( )
A ． B ．
C ． D ． （2023·河北保定·一模）
20 ．下列与 相乘等于 1 的是( )
A ． B ． C ． D ．
（2021·河北邢台·一模）
21 ．若a + b = 0 ，mn = 1，则下列表述正确的是( )
A ．a 和b ，m 和n 均互为相反数 B ．a 和b ，m 和n 均互为倒数
C ．a 和b 互为倒数；m 和n 互为相反数 D ．a 和b 互为相反数；m 和n 互为倒数 （22－23七年级上·江苏南通·阶段练习）
22．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：
第 1 筐
第 2 筐
第 3 筐
第 4 筐
第 5 筐
第 6 筐
-1.2
+2
+1.5
-0.8
-0.5
+3
那么第 7 行第 3 个数字为( )
A ． B ． C ． D ．
五、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
（23－24 七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）
23 ．计算 （21－22 七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）
a b -ab
24 ．已知ab < 0 ，则 - + = ．
4a 2b 4ab
（2025·山西·模拟预测）
25 ．在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高1000 米，气温下降
6℃ . 某登山队大本营所在地的海拔为1500 米，某日测得大本营所在地气温为5℃ . 登山队 员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为-4℃,则此位置的海拔为 米．
（24－25 七年级上·重庆渝中·期末）
26 ．王老师将-5 ，-4 ，-8 ，-2 ，-1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 分别写在十张不透明的卡片上， 打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的 两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积
为 ，乙拿的两张卡片上的数字之积为 ．
六、解答题（12×2 ＝24 分）
（24－25 七年级上·重庆忠县·开学考试）
27 ．简便计算
（24－25 七年级上·广西桂林·阶段练习）
28．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算 小雷同学仔细思考 了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法：
原式的倒数为 所以
(1)根据倒数的定义我们知道，若 则c ÷ a = ________．
(2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题：
计算：
1 ．D
【分析】本题考查了倒数：乘积是 1 的两数互为倒数．利用倒数的定义求解即可．
【详解】解：2025 的倒数是 .
故选：D．
2 ．D
【分析】本题考查长方体的展开图， 有理数的除法，掌握正方体展开图是解题的关键．利用 长方体的展开图可以得 1 与 3 相对，2 与 4 相对，5 与 6 相对，然后求解判断即可．
【详解】解：由展开图可得 1 与 3 相对，2 与 4 相对，5 与 6 相对，
∴相对两个面上的数的商不可能是 4．
故选：D．
3 ．C
【分析】此题主要考查了有理数的运算， 要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算 乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要 先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可．
【详解】解：A 、1-1 × 3 = 1- 3 = -2 ，故本选项计算错误，不符合题意；
B 、(-2) ×3 × (-1) = 6 ，故本选项计算错误，不符合题意；
C 、 故本选项计算正确，符合题意；
故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C．
4 ．D
【分析】本题考查了分数除法的计算方法， 根据《九章算术》的方法， 分数除以分数需先通 分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通 过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤．
【详解】解：选项 A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项 B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意；
选项 C：通过分子分母同乘一个数使除数变为 1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母， 不符合题意；
选项 和 通分为 和 ，再直接相除分子 9 和 8，完全符合题目所述方法；
故选：D．
5 ．C
【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的加、减、乘、除等运算法则的理解， 深刻理解有理数的运算法则是解题的关键；
根据 a ，b 两数在数轴上对应的点位置可得：b < a < 0, a < b ，再根据有理数的加、减、乘、 除等运算法则逐一判断即可.
【详解】解：由 a ，b 两数在数轴上对应的点位置可得：b < a < 0, a < b ，
∴a (a + b) > 0 ，
综上分析可知：选项 C 正确，符合题意；
故选：C.
6 ．C
【分析】本题考查了数轴及翻转的性质， 有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每 4 次 翻转为一次循环组是解题的关键．
根据规律可知，“我”字是数字除以4 余 2 的，“爱”是除以4 余 3 的，“数”是能被 4 整除的， “学”是除以 4 余 1 的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数 2024 对应的字．
【详解】由题意得， “我”字是数字除以 4 余 2 的，“爱”是除以 4 余 3 的，“数”是能被 4 整除 的，“学”是除以 4 余 1 的，
Q 2024 ÷ 4 = 506 ，
所以数字对应“数”， 故选：C．
7 ．C
【分析】本题主要考查有理数的除法运算及加法运算，熟练掌握有理数的除法及加法是解题 的关键；因此此题可根据有理数的除法及加法可进行排除选项．
【详解】解：①当a + b = 0 时，且a，b 不为 0 时，则 故①错误；
②当时，说明a，b 互为相反数，则a + b = 0 ，故②正确；
8 ．D
【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可
解 故①适合运用分配律来简 化计算；
不适合运用分配律来简化计算；
故③适合运用分配律来简化计算；
故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D．
9 ．35
【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
两个非 0 数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的 两个数中寻找即可．
【详解】解：要使所得的积最大，两数字必定同号，
4 × 6 = 24, (-5)× (-7) = 35 ， ∵ 24 < 35 ，
∴任意取两个数相乘，所得的积最大是 35， 故答案为：35．
10 ．0
【分析】本题考查了有理数的乘法运算律逆运算， 先把减法转化为加法，然后利用乘法运算 律逆运算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
解：原式
= 0 ，
故答案为：0 ．
11 ．-2
【分析】此题考查有理数的混合运算， 要熟练掌握混合运算顺序是解题的关键．根据新定义 进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，(-2) *3 = (-2)×3 - 2 × (-2) = -6 + 4 = -2 故答案为：-2 ．
12 ．2
【分析】此题考查了有理数混合运算与程序图， 根据程序图列式计算，若结果小于 0，则作 为 x 的值再代入计算，若结果大于 0 则输出答案．
【详解】当输入的 x 的值为 5 时， 5 - (-3) ÷ (-2) = 8 ÷ (-2) = -4 < 0 :将x = -4 代入得，(-4) ÷ (-2) = 2 > 0 ．
故答案为：2．
13 ．②③##③②
【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法和乘法．根据数 a 、b 在数轴上的位 置可确定数 a 、b 与 1 及-1的大小关系，从而可确定ab 、a + b 、a -1 、b -1 及的符号，进 而确定式子(a -1)(b -1) 的符号，逐一作出判断．
【详解】解：① a > 0 ，b < 0 ，则 ab < 0 ，故该项不正确；
②0 < a < 1 ，b < -1 < 0 ，则 a +b < 0 ，故该项正确；
③0 < a < 1 ，b < -1，则 a -1< 0 ，b -1 < 0 ，即 (a -1)(b -1) > 0 ，故该项正确；
则只有②③正确．
故答案为：②③.
14 ．215
【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数的运算的实际应用，首先求出 11 岁同学的标 准体重，然后根据表格中的数据列出算式求解即可．
【详解】解：根据题意得，11 岁同学的标准体重= (11 × 7 - 5) ÷ 2 = 36 （千克）， :36× 6 + (-1.1+ 2 - 0.5 + 4.7 - 8.3 + 2.2) = 215 （千克）．
:这六位同学的总体重是 215 千克．
故答案为：215．
15 ．(1) 3
(2) -16
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：6 +(-4) - 2 + 3
= 6 - 4 - 2 + 3
= 3 ；
解
= -12 +16 - 20
= -16 ．
16 ．(1)17
(2) -2
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
（1）先计算乘除，然后计算加减；
（2）先计算乘法，然后计算加减．
解
= -4 - (-21)
= 17 ；
解
= -2 ．
17 ．(1) -2 ，0
(2) -1
【分析】此题考查了有理数的混合运算．
（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义先计算出※(-9 + 5) = -4 ，再计算(-3)-※(-9 + 5) = (-3)- (-4) = 1 > - 1 ，最 后再根据新定义可得答案．
【详解】（1）解：∵ -2 < -1，
:※(-2) = -2 ，
∵ -3 + 2 = -1，
:※(-3 + 2) = 0 ， 故答案为：-2 ，0；
（2）解：∵ -9 + 5 = -4 < - 1，
:※(-9 + 5) = -4 ，
: (-3)-※(-9 + 5) = (-3)- (-4) = 1 > - 1 ， :※(-3)-※(-9 + 5) = - 1 ．
18 ．(1)18.8
(2)4.2 千克
(3)1860 元
【分析】（1）根据有理数减法，列式计算即可．
（2）根据 +3> + 2> +1.5> - 0.5> - 0.8> -1.2 ，得到 +3 - (-1.2) = 4.2 ，解答即可．
（3）先计算总质量：20 × 6 +[-1.2 + 2 +1.5 - 0.8 - 0.5 + 3] = 124 (kg ) ，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第 1 筐冬枣重20 -1.2 = 18.8 （千克），
故答案为：18.8 ．
（2）解：根据 +3> + 2> +1.5> - 0.5> - 0.8> -1.2 ， 得到+3 - (-1.2) = 4.2 （千克），
答：最重的一筐比最轻的一筐重4.2 千克．
（3）解：冬枣的总质量为：20 × 6 +(-1.2 + 2 +1.5 - 0.8 - 0.5 + 3) = 124 (kg ) ．
故卖出的总钱数为124× 15 = 1860 （元）．
【点睛】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，有理数的加、减、乘的混合运算， 加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19 ．B
【分析】本题考查了用字母表示数及数轴， 找到各数及乘积的范围是关键，根据字母在数轴 上的位置判断乘积的大小后逐项判断即可．
【详解】解： A ．0 < a < b < c < 1，所以a . b 要小于a、b 中的任何一个数，则a . b < c ，故选 项错误，不符合题意；
B ．a < 1, b < 1 ，所以 a . b 要小于a、b 中的任何一个数，则a . b= c 成立，故选项正确，符合 题意；
C ．a < 1, b > 1 ，所以 a . b 大于 a，且小于 b，则 a . b= c 不成立，故选项错误，不符合题意；
D ．a < 1, b > 1, c > 1 ，所以a . b 大于 a，且小于 b，则a . b= c 不成立，故选项错误，不符合题 意．
故选：B．
20 ．D
【分析】根据有理数加减运算，分别算出 ，由题意，结合有理数乘除运算可知
,结合选项逐项计算即可得到答案．
解
与 相乘等于 1，
1 3 1 1 1 2 1 2
Q -1 - = - ； - 1 = - ；1 - = ；-1+ = - ；
2 2 2 2 3 3 3 3 故选：D．
【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数加减乘除运算法则是解决问题的关键．
21 ．D
【分析】先根据已知得 a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵ a + b = 0 ，mn = 1，
:a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，
所以，A. a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，故选项 A 错误，不符合题意；
B. a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，故选项 B 错误，不符合题意；
C. a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，故选项 C 错误，不符合题意；
D. a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，故选项 D 正确， 故选：D．
【点睛】此题主要考查了相反数和倒数的判定，熟练掌握相反数和倒数的宝座是解答此题的 关键．
22 ．D
【分析】根据每个数是它下一行相邻两个数的和，求出第 6 、7 行的第二个数，即可得出答 案．
【详解】解：设第 n 行第 m 个数为 a（n ，m），
由题意可知 ， ， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的找规律的知识， 主要考查的是学生的归纳推理能力，正确理解题意 是解题的关键．
23 ．-1
【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算乘除和化简绝对值，然后计算加法． 解
= -3 + 2
= -1 ．
故答案为：-1．
24 ． 或-1
【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数的乘法运算，由 ab < 0 得到a、b 异号，进而
分两种情况进行求解即可得到结果，掌握去绝对值符号运算是解题的关键． 【详解】解：∵ ab < 0 ，
: a、b 异号，
当 a > 0 ， b < 0 时，
a -b -ab
原式= - + ，
4a 2b 4ab
= ；
当 a < 0 ， b > 0 时，
原式 ，
= -1 ；
故答案为： 或-1．
25 ．3000
【分析】本题考查了有理数运算的应用，根据题意列出算式 5 - (-4) ÷ 6 × 1000 +1500 ，然 后通过运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得， 5 - (-4) ÷ 6 × 1000 +1500
= 9 ÷ 6 × 1000 +1500
= 1500 +1500
= 3000 （米），
故答案为：3000 ．
26 ． 20 -2
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用， 有理数乘法运算，解题的关键是熟练 掌握运算法则．先根据 10 个数字的和为-10 ，除甲之外的 8 张卡片数字之和为-1，求出甲 抽到的两张卡片数字之和为-9 ，根据丙抽到的两张卡片上数字之和为-8 ，推理得出甲拿到 的两张卡片分别为-4 ，-5 ，丙抽到的两张卡片分别为 -8 ，0，根据戊抽到的两张卡片数字 和为 4，而剩余 6 张卡片中，只有1+ 3 = 4 ，得出戊抽到的两张卡片分别为 1 ，3，然后推理
得出乙、丁抽到的两张卡片上的数字，最后求出结果即可．
【详解】解：∵-5 +(-4) + (-8) + (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 + 3 + 4 = -10 ， 又∵除甲以外，其余每位同学拿到的卡片数字之和为：
1+ (-8) + 2 + 4 = -1 ，
:甲拿到的两张卡片的数字之和为：-10 - (-1) = -9 ， 观察 10 个数字可知：-4 + (-5) = -9 ，-8 + (-1) = -9 ，
如果甲拿到的两张卡片为-8 ，-1，那么剩余的 8 张卡片上不可能存在两张卡片上的数字和 为-8 ，而丙抽到的两张卡片上的数字的和为 -8 ，
:甲拿到的两张卡片分别为-4 ，-5 ，丙抽到的两张卡片分别为 -8 ，0， :甲拿的两张卡片上的数字之积为-4× (-5) = 20 ；
∵戊抽到的两张卡片数字和为 4，而剩余 6 张卡片中，只有1+ 3 = 4 ， :戊抽到的两张卡片分别为 1 ，3，
∵4 + (-2) = 2 ，2 + (-1) = 1，
:丁抽到的两张卡片为 4 ，-2 ，乙抽到的两张卡片为 2 ，-1， :乙抽到的两张卡片上的数字之积为2 × (-1) = -2 ．
故答案为：20；-2 ．
27 ．(1) 6
(4) 528
【分析】本题考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），善于运用有理数乘法运算律（乘法 分配律）进行简便计算是解题的关键．
（1）运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可；
（2）将29拆分成 ，然后运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算 即可；
（3）先计算 ，运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算，然后
即可得出 的计算结果；
（4）先后两次运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可． 【详解】（1）解：13 - 48 × (çè +
= 13 - (4 + 3)
= 13 - 7
= 6 ；
解
( 2 7 3 ö 1
（3）解：Q çè 3 + 8 - 4 ,÷ ÷ 24
= 16 + 21-18
= 19 ，
= 380 × 3 -12 × 51
= 1140 - 612
= 528 ．
【分析】本题考查了倒数， 有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题 的关键．
（1）根据题意即可求解；
（2 ）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 解
故答案为：
（2）解：原式的倒数为
= -7 + 9 - 28 +12
= -14 ，