河南省郑州2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
2. 在正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，取格点，连接
∵，，
∴，
故选：A．
3. 交换一个两位数的十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相减，则所得的差一定是（ ）
A. 11的倍数B. 9的倍数C. 偶数D. 奇数
【答案】B
【解析】设十位数字为，个位数字为，
原两位数为：，
新两位数为：，
，
、为整数，且，
是的倍数；
故选：B．
4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：C．
5. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵函数解析式为 ，其中分子恒为负数（因），
∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
故可得：
点：，正数，点：，负数，点：，负数；
∵为正数，
∴最大，
比较和：
∵，且，
∴，
综上所述，可得：，
故选：D．
6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为6，则的面积是（ ）
A. 8B. 12C. 18D. 24
【答案】D
【解析】∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴的面积为的面积，
∵的面积为6，
∴的面积为，
故选：D．
7. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目《花木兰》、《穆桂英挂帅》、《朝阳沟》、《七品芝麻官》的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取两张，抽取的卡片为《花木兰》、《七品芝麻官》的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】将《花木兰》、《穆桂英挂帅》、《朝阳沟》、《七品芝麻官》的四张卡片分别记作A、B、C、D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的卡片为《花木兰》，《七品芝麻官》的有2种可能结果，
∴抽取的卡片为《花木兰》，《七品芝麻官》的概率为，
故选：B．
8. 如图，在中，是边上一点，且，延长到点，使，过点作，交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C是的中点；
∴，，
∵，
∴，∴，∴，
∴．故选：C
9. 如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过C点作轴于H点，如图，
∵，，
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且旋转次
∴
∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转，
即把绕点顺时针旋转，得，过作轴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵点在第四象限
∴点的坐标为
故选：B
10. 如图1点P为正方形边上一个动点，沿着的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，若的长度y与运动时间t之间的关系如图2所示，则b的值为（ ）．
A. 6B. 12C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
当点P在边上时，，
∴，
当时，由图2知，，
∴，
当时，，
∵此时，
∴，
解得，
当点P在上时，，
当点P到点D时，，
∴,
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 已知二次函数满足条件：①开口向下；②顶点坐标为．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵二次函数的开口向下，
∴，
∵顶点坐标为，
∴符合该条件的二次函数的表达式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为________．
【答案】
【解析】由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为，
长方形的长为，宽为，
长方形的面积为，
不规则图案的面积约为，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，以点为圆心任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，若，则的长为________．
【答案】
【解析】∵在中，，，
∴，
根据作图可知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
经检验是所列方程的解，
即的长为．
故答案为：．
14. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点坐标为________．
【答案】
【解析】由图形可知，，
设反比例函数解析式为，
反比例函数图象过点，
，
比例函数解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
由图象可知，直线可由直线向上平移3个单位得到，
直线的解析式为，
联立，解得：或，
点在第二象限，
故答案为：
15. 如图，中，， ， ， 分别为中，边上一点，将沿折叠，点的对应点为点，使得，当点落在的高上时，________________．
【答案】或
【解析】①当点F落在上时，如图，
由折叠的性质得，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
设菱形的边长为，则，，
，
，
，即，
解得：，
；
②当点F落在边上的高时，延长交于点，则有，如图，
，
，
，
又，
，
，即，
解得：，
同理①可得，，四边形是菱形，
设菱形的边长为，则，，
，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，或．
故答案为：或．
三、解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：；．
（2）解方程：．
（1）解：
；
（2）解：，
，
令或，
解得：，．
17. 如图是由大小相同的个小立方块搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图；
（2）若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是________．
（3）用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要________个小立方块，最多要________个小立方块．
（1）解：如图所示，
（2）解：这个几何体的体积是，
故答案为：；
（3）解：搭这样的一个几何体最少需要小立方块个，第一层个，第二层，搭这样的一个几何体最多需要小立方块个，第一层个，第二层，
故答案为：；．
18. 请你完成命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的证明．
（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程．）
解：已知： 如图，在中，，，是的中线，

求证： ．
证明：∵在中，，，是的中线，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，．）
（1）解：由题意可知，，米，
在中，，
米；
（2）解：在中，，米，
米，
在中，米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒．
20. 如图，在直角坐标系中，已知点B（8，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′，当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．

解：（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OC＝OB，
∵B（8，0），
∴OB＝OA＝8，
∴OC＝4，AC＝．
把点A（4，）代入y＝，得k＝．
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）分两种情况讨论：
①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意得A′B′＝8，∠A′B′E＝60°，
Rt△DEB′中，B′D＝4，DE＝，B′E＝2．
∴O′E＝6，
把y＝代入y＝，得x＝8，
∴OE＝8，
∴a＝OO′＝8﹣6＝2；

②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．
由题意得A′O′＝8，∠A′O′B′＝60°，
在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝2．
把y＝代入y＝，得x＝8，∴OH＝8，∴a＝OO′＝8﹣2＝6，
综上所述，a的值为2或6．
21. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
（1）证明：是的中点，，
是的中位线，
，即，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，是的中位线，
，
四边形为平行四边形，
，
在中，．
22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，点．

（1）求此二次函数的解析式；
（2）若，是二次函数图像上两点，求证：；
（3）当时，函数的最大值与最小值之差为，直接写出的值．
（1）解：二次函数的图像经过点，点，
将点，点代入解析式，
，
解得：，
此二次函数解析式为；
（2）证明：将点，点带入解析式，
得：，，
，
；
（3）解：由（1）可知二次函数的对称轴为，
当时，，
当时，，
当时，，
可设动点，，根据题意分三种情况，
①当，即时，随增大而增大，二次函数在点时取最大值，在点处取得最小值，即当时，，当时，
，
解得：；
②当时，即时，顶点的横坐标在取值范围内，
，
当，即时，点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，

当时，，
，
解得：，，均不符合题意，舍去；
当时，此时点到对称轴的距离等于到对称轴的距离，

二次函数在和时均取最小值，此时，
，不符合题意，舍去，
当，即时，点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，

当时，，
，
解得：，（不符合题意，舍去）；
③当时，随增大而减小，当时，，当时，，
，
解得：（不符合题意，舍去）．
综上所述，满足条件的的值为或．
23. 综合实践课上，同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，探究其中的数学规律．
（1）操作发现
如图①，四边形纸片是平行四边形，点在边上，将四边形沿过点直线折叠，点的对应点为．根据以上操作，若点是的中点，折痕过点，连接，则与的位置关系是________________．
（2）迁移探究
如图②，若四边形是菱形，，折痕交边于点，点落在上且，，求的长度
（3）拓展应用
如图③，若四边形是矩形，，，折痕过点，点落在矩形的对称轴上，请直接写出的长．
（1）解：，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
（2）解：，，
，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，
如图，过点作于点，
，
，
，
设，则，，，
，
在中，，
，
，
；
（3）解：由折叠的性质可知，，，
设，
分两种情况讨论：
①如图，当点落在矩形的对称轴上时，过点作于点，交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
是矩形的对称轴，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
；
②如图，当点落在矩形的对称轴上时，
，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
综上可知，的长为或．