河南省郑州市登封市2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州市登封市2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列几何体中，其俯视图与主视图相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】球的俯视图与主视图都是圆，故A符合题意；
三棱柱的主视图是矩形（矩形中间有一条纵向的实线），俯视图是三角形，故B不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此D不符合题意；
故选：A
2. 如果，与的面积分别是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（ ）
A. 16B. 25C. 5D. 4
【答案】D
【解析】，与的面积分别是25和16
与的相似比为：，
的最短边的长度是5，
的最短边的长度是4，
故选：D．
3. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A. B. 3或C. 3D. 0
【答案】A
【解析】∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴把代入得：，
解得：，
∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点．若，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】连接，设交于点O．
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由作图可知：，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，，
∴
∴，
故选：C．
5. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为( )
A. k＞﹣1B. k≥﹣1
C. k＞﹣1且k≠0D. k≥﹣1且k≠0
【答案】C
【解析】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
6. 如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴，
∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选B．
7. 某小组做“频率的稳定性”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 四个零件中有一个不合格品，从四个零件中随机抽取一个是不合格品
B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上
C. 不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D. 三张扑克牌，分别3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【答案】C
【解析】依题意得：实验的概率是0.4，
A、四个零件中有一个不合格品，从四个零件中随机抽取一个是不合格的概率为，选项不符合题意；
B、掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，选项不符合题意；
C、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，选项符合题意；
D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，选项不符合题意，
故选：C
8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 2.5
【答案】B
【解析】连接、，设交y轴于E，如图，
∵平行四边形，，在轴上，
∴轴，
∴轴，
∴，，
∴，
∵平行四边形，
∴平行四边形的面积．
故选：B．
9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作，使，，延长到D，使，连接，则，
设，则，，
∴，
∴
故选：B.
10. 如图（1），动点P从等腰顶点A出发，沿点在各边上匀速运动，设点P运动时间为，的长为，y与t的函数图像如图（2），点Q为曲线部分的最低点，则m的值为（ ）
A. 16B. 14C. 6.4D. 5.6
【答案】C
【解析】如图，由题图2，可知：AB＝AC＝5，D为BC的中点，AD＝4，点P的运动速度为每秒2.5个单位，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD＝，
∴BC＝6，
∴2.5t＝5＋5＋6=16，
解得：t＝6.4，
∴m＝6.4，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知，则_____．
【答案】
【解析】∵，
∴
∴，．
故答案为：．
12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______．
【答案】4
【解析】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
13. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：_____．（填“”，“”或“”）
【答案】
【解析】∵二次函数的图象的对称轴为直线，
又∵，
∴该函数图象的开口向上，
∵抛物线经过点，，且，
∴点离对称轴的距离比点要远，
∴．
故答案为：．
14. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，，且．对角线与交于点，则的长为___________．

【答案】
【解析】四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
四边形为矩形，，为的中点，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
，，
过点作于点，如图，

，，
，，
，，
，，
①，②，
联立①②得：，
解得：，
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
15. 如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为________．
【答案】或
【解析】如图所示，过点作，
∵等腰中，
∴，则，
∴，
∴
，
点为的中点，
．
当时，分类讨论如下：
当在内部时，如图，点与边中点重合，
由中位线定理可知，此时；
当在之外，如图2，
，
，
，
，
等边三角形，
，，又，
，在中，．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）原式
（2）
或
解得，．
17. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
（1）解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是，
故答案为：；
（2）解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种，
∴甲获胜的概率为．
18. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，则在点E的运动过程中：
①当 时，四边形是矩形；
②当 时，四边形是菱形．
（1）证明：∵，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①．
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即当时，四边形是矩形；
②．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即当时，四边形是菱形．
19. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
20. 天柱塔，又名天中塔，始建于年，驻马店标志性建筑，位于驻马店市开源大道与乐山大道交汇处．天中塔是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度．在离点米的处，用测角仪测得塔顶端的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米?（结果精确到米）
（参考数据：，，，）
解：延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得，，米，，
∵斜坡的坡度，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴(米)， (米)，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴(米) ，
∴塔的高度约为米．
21. 如图，森林公园的移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架工作的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式．
（2）草坪上距离喷水头水平距离为米处有一棵高度为米的小树，通过计算判断喷射水流能否恰好经过小树顶端；若不能，喷灌架需向后平移多少距离？
（1）解：由题可知，抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线的表达式为，将代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
∴喷射水流不能恰好经过小树顶端，
设喷灌架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为 ，
将点代入得，，
解得或(不合，舍去)，
答：喷灌架应向后移动米．
22. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，，
是等边三角形，，
．
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）抛物线的对称轴为直线________．
（2）当时，函数值的取值范围是，求和的值．
（3）当时，解决下列问题．
①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标．
②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为，设的最高点、最低点的纵坐标分别为、，若，直接写出的取值范围．
解：（1）函数的对称轴为：x=，故答案为：x=1；
（2）函数对称轴为x=1，当-2≤x≤2时，函数值y的取值范围是-4≤y≤b，
故y=-4是函数的最小值，即抛物线的顶点为（1，-4），
把代入得，解得
故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3，
则b=（-2）2-2（-2）-3=5；
（3）①∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为（1，-4），
故x2-2x-3=6，解得：x=1±，
故点P坐标为（1+，6）或（1-，6）；
②设图象折叠后顶点M的对应点为M′，点H是x=4函数所处的位置，图象Q为C′M′NH区域，
点M（1，-4），点H（4，5），则点M′（1，2t+4），
当点M′在点H下方时，2t+4≤5，t≤，
函数Q的最高点为H，最低点为N，
则5-t≤6，解得：t≥-1，
故-1≤t≤；
当点M′在点H上方时，
同理可得：≤t≤2；
故的取值范围是：-1≤t≤2．次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
甲
乙