河南省洛阳市2025届九年级上学期二练（月考）数学试卷(含解析)

这是一份河南省洛阳市2025届九年级上学期二练（月考）数学试卷(含解析)，共22页。
数学试卷
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠1B．a≥－1且a≠1
C．a＞－1且a≠1D．a≠±1
3．已知是二次函数，则的值为（ ）
A．0B．1C．－1D．1或－1
4．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段OP的长为（ ）
A．6B．43C．4D．8
5．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，，则AD的长为（ ）
A．5B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
7．如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )
A．B．C．D．
8．如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
10．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本题共5 小题，每小题3分，共15分）
11．若点与点关于原点成中心对称，则的值是
12．的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是 ．
13．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ．
14．如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75 分）
16．解方程：
(1)（用公式法）．
(2)．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出△ABC关于原点对称的并写出点的坐标；
(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的；
(3)在△ABC旋转到的过程中，点C经过的路径长度为________．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围．
19．某商场销售一种商品，进价为每个元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于元．经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；
(3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
20．如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的直径．
21．如图，已知中，是边上的点，将绕点A旋转，得到．
(1)当时，求证：；
(2)在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
22．【综合与实践】
【问题情境】在学习了数学活动《车轮做成圆形的数学道理》后，数学学习小组的同学们利用计算机软件继续模拟并探讨各种不同类型的图形的滚动问题．
【实践探究】同学们首先选择了以下四种正多边形沿水平地面的滚动，研究了以一个顶点为支点完成一次完整旋转的过程．例如，在图一中，等边三角形围绕顶点，中心从顺时针旋转到再到的过程．我们定义这个旋转过程为正多边形绕一个顶点的一次旋转．
（1）我们学习了图二中正方形绕一个顶点的一次旋转角度为，即是正方形的中心角度数，也是外角度数．那么等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为______；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为______；正边形绕一个顶点的一次旋转角度为______；
【深入探究】同学们继续模拟并探究，如果不是沿着水平地面滚动又会是怎样的情况？
（2）如图五，半径为2的正五边形在另一个相同半径的正五边形的边上顺时针滚动，初始时正五边形绕顶点的一次旋转中，中心旋转到，则这一次旋转的旋转角度是多大？沿正五边形滚动一周后回到原来的位置，中心的运动路径长为多少？
【问题解决】如果将正多边形变化为其他图形又会是怎样的情况呢？
（3）如图六，点为上的点，，，由弦及弧组成的类似扇形的图形沿着水平地面顺时针滚动一周，直接写出圆心的运动路径的长．
23．已知和都是等腰直角三角形．
(1)如图1：连，求证：；
(2)若将绕点顺时针旋转，
①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长；
②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．
每个商品的售价x（元）
…
…
每天的销售量y（个）
…
…
1．B
解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是轴对称图形而不是中心对称图形，故A选项错误；
B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故B选项正确；
C选项是中心对称图形而不是轴对称图形，故C选项错误；
D选项是轴对称图形而不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：B．
2．B
∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，a+1≥0，
解得：a≥-1，且a≠1．
故选B．
3．B
解：是二次函数，
，解得，
故选B．
4．D
连接，
∴，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵，
∴OP=2OA=8，
故选D．
5．D
解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
6．D
解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意；
C、过弦（弦不是直径）中点的直径垂直于弦，故选项错误，不符合题意；
D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意；
故选：D．
7．D
圆锥的底面周长=2π×5=10π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴，
解得n=90，
圆锥的侧面展开图，如图所示：
∴最短路程为：=20，
故选D．
8．A
解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=2m，∴阴影部分的面积是=（m2）．
故选A．
9．C
解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
10．D
解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，

在正六边形中，，，
，
，
将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，
，即8次旋转一周，
余2，
，
故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，
，
即，
故选：D．
11．2
解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，
∴，
则．
故答案为：2．
12．相交
解：∵圆心O到直线l的距离是，的半径为，
又∵，
∴直线l与相交．
故答案为：相交．
13．
解：由题意得：，解得：；
∴正多边形的边数为：；
故答案为：．
14．
解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
15．
解：由题意得：，
∵四边形ABCD是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
，
，
由勾股定理得：，
；
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
（1）解：，
，，，
，
，
，；
（2）解：，
，
或，
解得，．
17．(1)画图见解析，
(2)见解析
(3)
（1）解：如图所示，即为所求．
∵点是点C（3，4）关于原点对称的点，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：∵点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（1，1），
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)
（1）解：，
根据题意得：，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，
∴，
解得：，
∵该方程有一实数根大于2，
∴，
解得：．
19．(1)
(2)
(3)当售价定为元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是元
（1）∵y与x满足一次函数关系，
∴设y与x的函数表达式为，
将，代入中，
得 ，
解得，
由每个商品售价不低于进价，且不高于，可得，
∴y与x之间的函数表达式为．
（2）由题意可知进价为每个元，
又有每个商品的售价x元，
则每千克利润为元，
∴
∴w与x之间的函数表达式为
（3）由（1）可知，，
∵，
∴抛物线开口向下，
且，
∴当时， w有最大值， 元．
∴当售价定为元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是元．
20．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图2，作于点I， 则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴求的直径为．
21．(1)见解析
(2)，理由见解析
（1）证明：由旋转性质得，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），理由如下：
，且，
，
由（1）得，，
，
是直角三角形，
，
由（1）得，，
22．（1）；（2）；；（3）
解：（1）依题意，一次旋转角度为正多边形形的中心角度数，也是外角度数．
,
∴等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为；正边形绕一个顶点的一次旋转角度为
故答案为：;
（2）连接，，
∵
∴，
∵
∴，同理可得
∴这一次旋转的旋转角度是；
∴沿正五边形滚动一周后回到原来的位置，中心的运动路径长；
（3）如图所示，
连接，，
∵，，
∴是的直径，半径为，
第一部分的路径：当旋转到与底面垂直时，为以点为圆心，为半径，顺时针旋转了，则路径长为；
第二部分的路径为：以为半径的半圆向右滚动了半圈，则路径长为；
第三部分的路径为：以为圆心，为半径，顺时针旋转了，则路径长为；
第四部分的路径为：以为圆心，为半径，顺时针旋转了，则路径长为；
∴圆心的运动路径的长为．
23．(1)见解析
(2)①；②或
（1）证明：和都是等腰直角三角形
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，
和都是等腰直角三角形，
，， ，
．
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
，
；
②分两种情况，当点N在线段上时，连接，过点O作于点H，
同（1）可得，
和都是等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
；
当点M在线段上时，连接，过点O作于点H，
同①可证，
，
和都是等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
．
综上可知，的长为或．