初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系达标测试

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系达标测试，共33页。
与题型分类讲解）
一、【学习目标】
1 ．掌握一元二次方程根与系数的关系式，理解其推导过程；
2 ．能运用根与系数的关系，由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；
3 ．学会利用根与系数的关系求代数式的值，增强综合应用知识解决问题的能力．
二、【知识梳理】
【知识点 1】一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根是x1 ，x2 ，
那么 ．
注意它的使用条件为 a≠0 ， Δ≥0．
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二 次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．
【知识点 2】一元二次方程的根与系数的关系常见应用
（1）由根与系数关系直接求值：已知方程的根或系数，直接利用根与系数的关系求出相关 代数式的值；
（2）由根与系数关系求参数的值：根据已知条件列出关于参数的方程，再求解参数．它的 使用条件为 a≠0 ， Δ≥0，以确保方程有实数根．
（3）构造方程：已知两个数 x1 , x2 ，可构造以 x1 , x2 为根的一元二次方程为
x2 - (x1 + x2 )x + x1x2 = 0 ；
（4）判断根的情况与根与系数关系综合：结合根的判别式和根与系数的关系来解决问题．
（5）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1 、x2 的对称式的值．此时，常常涉及代
数式的一些重要变形；① x + x = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 ；② ③
x1x22 + x12x2 = x1x2 (x1 + x2 ) ；
三、【题型目录】
【题型一】利用一元二次方程根与系数关系的对称性求代数式的值
【题型二】利用一元二次方程根与系数的关系与一元二次方程的根综合求值 【题型三】一元二次根与系数关系与根的判别式综合
【题型四】一元二次根与系数关系与一次函数综合 【题型五】一元二次根与系数关系与三角形综合
【题型六】一元二次根与系数关系与特殊平行四边形综合 【题型七】直通中考
【题型八】拓展与延伸
四、【题型展示与方法点拨】
【题型一】利用一元二次方程根与系数关系的对称性求代数式的值
【例题 1】（2024 九年级上·江苏·专题练习）
1 ．设 x1 ，x2 是方程2x2 - 6x -1 = 0 的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．
(1) x + x ；
(2) (x1 - 1) (x2 - 1) ．
【变式 1】
（23-24 九年级上·安徽芜湖·阶段练习）
2 ．关于 x 的一元二次方程x2 - 3x - 5 = 0的两个根是x1 , x2 ，则x1 + x2 - x1x2 的值为( )
A ．8 B ．-8 C ．-2 D ．2
【变式 2】
（2025·四川宜宾·三模）
3 ．已知m2 - 2m - 5 = 0，n2 - 2n - 5 = 0 ，则 m + n - mn = ．
【题型二】利用一元二次方程根与系数的关系与一元二次方程的根综合求值 【例题 2】．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）
4 ．已知a 、 β 是方程x2 + 2x -1 = 0 的两个实根，则a3 + 5β + 2 的值是 ． 【变式 1】
（2025·山东聊城·三模）
5 ．已知a ，b 是方程x2 + 6x - 2 = 0 的两个实数根，则a2 + 7a + b 的值为 ．
【变式 2】
（2025·湖北襄阳·一模）
6 ．阅读理解：已知实数 m ，n 满足m2 + m -1 = 0, n2 + n -1 = 0 ，且m ≠ n ，可以把 m ，n 看成 是方程x2 + x -1 = 0 的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得m + n = -1 ，mn = -1 ． 类比探究：已知实数 m ，n 满足m2 - m -1 = 0, n2 + n -1 = 0 ，且mn ≠ 1，则．
【题型三】一元二次根与系数关系与根的判别式综合
【例题 3】（24-25 八年级下·重庆·期中）
7 ．若x1，x2 是关于 x 的一元二次方程x2 - (2k + 3)x + k2 + k = 0 的两个根，且
x1 + x2 = 7 - x1x2 ，则 k 的值为( )
A ．-4 或 1 B ．-4 C ．1 D ．1 或 4
【变式 1】
（24-25 九年级下·全国·假期作业）
8 ．关于x 的一元二次方程mx2 - 2mx + m - 2 = 0 的有两个实数根为 x1 ，x2 ．
(1)求m 的取值范围；
(2)若| x1 - x2 |= 1 ，求 m 的值． 【变式 2】
（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）
9 ．若关于x 的方程x2 - 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0 的两个实数根的倒数和为1，则 m = ( )
A ．2 B ．0 C ．-2 D ． ±2
【题型四】一元二次根与系数关系与一次函数综合
【例题 4】（2025·四川泸州·二模）
10 ．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = mx + n (m < 0) 的图象与x 轴交于点A(-2, 0)， 与y 轴交于点B(0, -2)，与双曲线 的图象交于点C ，D ，连接CO 并延长与双曲 线交于点E ，连接OD ，DE ．
(1)求一次函数y = mx + n 的解析式；
(2)若3DE = 4OD ，求 k 的值． 【变式 1】
（2025·河北唐山·二模）
11 ．二次方程x2 + bx + c = 0的两根为 1 和 5，则一次函数y = bx + c 不经过第（ ）象限
A ．一 B ．二 C ．三 D ． 四
【变式 2】
（2025 九年级下·浙江温州·学业考试）
12 ．直线y = -x + b 与x 轴交于点A ，与函数 在第一象限的图象交于B, C 两点，若 AB . AC = 4 ，则 k = ( )
A ．1 B ． C ．2 D ．4
【题型五】一元二次根与系数关系与三角形综合
【例题 5】（23-24 九年级上·广西河池·期末）
13 ．已知三角形ABC 的一边a =2 ，另两边长b, c 恰好是关于x 的方程x2 +(k- 2)x -k = 0 的 两个根，且bc = 3 ．求 △ABC 的周长．
【变式 1】
（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）
14 ．已知等腰 △ABC 的一条边为 7，其余两边的边长恰好是方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 的两个根，则 m 的值是 ．
【变式 2】
（24-25 八年级下·浙江金华·阶段练习）
15．设直角三角的两条直角边a ，b 是方程2x2 - 6x +1 = 0的两个根，则该直角三角形的斜边 为( )
A ． B ．2 C ．3 D ．
【题型六】一元二次根与系数关系与特殊平行四边形综合
【例题 6】（24-25 九年级上·全国·期末）
16 ．已知：平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程的两 个实数根．
(1)当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形；
(2)若AB 的长为2 ，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少？
(3)若关于x 的方程x2 - mx + - = 0 的两个实数根x1 和x2 满足x1 > 2 ，x2 < 2 ，求 m 的取值 范围．
【变式 1】
（23-24 九年级上·江西抚州·阶段练习）
17 ．已知矩形相邻两边长是一元二次方程x2 - 5x + 2 = 0 的两个根，那么这个矩形的周长是
.
_______
【变式 2】
（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）
2 m 1
18 ．已知平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于 x 的方程x - mx + - = 0 的两个
2 4
实数根，当四边形ABCD 是菱形时，其周长为 ．
【题型七】直通中考
【例题 7】（2025·四川南充·中考真题）
19 ．设 x1 ，x2 是关于x 的方程(x -1)(x - 2) = m2 的两根．
(1)当x1 = -1 时，求x2 及 m 的值．
(2)求证：(x1 -1)(x2 -1) ≤ 0 ．
【题型八】拓展与延伸
【例题 8】（2025·四川成都·二模）
20 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y = mx - 2(m < 0) 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 点 B，且OA = OB ，与双曲线 y = kx-1(k 0 (2)8
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值， 熟知一元二次方程根与系 数的关系及根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】（1）解：因为关于x 的一元二次方程mx2 - 2mx + m - 2 = 0 的有两个实数根， 所以 Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2) ≥ 0 ，且 m ≠ 0 ，
解得m > 0 ，
所以m 的取值范围是m > 0 ．
（2）解：因为关于x 的一元二次方程mx2 - 2mx + m - 2 = 0 的两个实数根为 x1 ，x2 ， 所以
又因为| x1 - x2 |= 1 ， 所以(x1 - x2 )2 = 1，
则(x1 + x2 )2 - 4x1x2 = 1， 所以 ，
解得m = 8 ，
经检验m = 8 是原方程的解，且符合题意， 所以m 的值为 8．
9 ．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌 握根与系数的关系是本题的关键．根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设方程x2 - 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0 的两个实数根分别为a 、b ， Δ = 22 (m +1)2 - 4(m2 + 2) = 8m - 4 ≥ 0 ，
解得：m ≥ ,
Q a + b = 2 (m +1) ，ab = m2 + 2 ，
解得：m1 = 0 ，m2 = 2 ，
: m = 2 ，
故选：A．
10 ．(1)y = -x - 2
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）联立反比例函数和一次函数解析式，可得xC + xD = -2 ，D (-2 - t, t ) ，在利用勾股定理
可得t 值，即可求得C 坐标，代入反比例函数，即可求出k 值． 【详解】（1）解：把 A(-2, 0) ，B (0, -2) 代入y = mx + n ，
可得
解得
:一次函数的解析式为y = -x - 2
解：联立 整理得x2 + 2x + k = 0 ，
Q 直线y = -x - 2 与双曲线y = 交于点C ，D ，
: 点C ，D 的横坐标即为方程x2 + 2x + k = 0的两个解，
:xC + xD = -2 ，
设C(t, -t - 2)，则E(-t, t + 2)，且 xD = -2 - t ，
把xD = -2 - n 代入y = -x - 2， 可得y = - (-2 - n) - 2 = n ，
:D (-2 - t, t )，
:OD2 = (-t - 2)2 + t2 ，
:DE2 = (-t + 2 + t)2 + (t + 2 - t )2 = 8 ，
Q3DE = 4OD ，
解得
可得
11 ．C
【分析】本题考查了根与系数的关系， 一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的 关键．
由一元二次方程根与系数的关系可得-b = 1+ 5 ，c = 1 × 5 ，所以b = -6 < 0 ，c = 5 > 0 ，然后根 据一次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：∵二次方程x2 + bx + c = 0的两根为1和5 ，
:-b = 1+ 5 ，c = 1 × 5 ， : b = -6 < 0 ，c = 5 > 0 ，
:一次函数为y= -6x + 5 不经过第三象限， 故选：C．
12 ．C
【分析】如图所示，过点 B 作BE 丄 AO 于 E，过点 C 作CF 丄 AO 于 F，设直线 y = -x + b 与 x 轴的交点为 G，先求出 上ABE = 45° ,得到 AE = BE ，AB = BE ，同理可得
AC = CF ，再联立 得x2 - bx + k = 0 ，则 mn = k ，由此求解即可．
【详解】解： 如图所示，过点 B 作BE 丄 AO 于 E，过点 C 作CF 丄 AO 于 F，设直线y = -x + b 与 x 轴的交点为 G，
∵A 、G 分别是直线y = -x + b 与y 轴，x 轴的交点，
:A 点坐标为(0, b) ，G 点坐标为(b, 0) ， : OA = OG ，
: 上OAG = 上OGA = 45° ,
: 上ABE = 45° , : AE = BE ，
: AB = BE ，
同理可得AC = CF ，
设 B 点坐标为(m, -m + b) ，C 点坐标为(n, -n + b) ， 联立 得x2 - bx + k = 0 ，
: mn = k ，
∵ AB . AC = 4 ，
: m . n = 4，即 2k = 4 ， : k = 2 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根与系数的关系，等腰 直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．
13 ．7
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系 数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得b + c = 2 - k ，bc = -k ， 从而可得k= -3 ，则b + c =5 ，再根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵ △ABC 的两边长b, c 恰好是关于x 的方程x2 +(k- 2)x -k = 0 的两个根，
∵ bc = 3 ，
:-k = 3 ，即 k = -3 ，
:b + c = 2 - (-3) = 5 ，
∵三角形ABC 的一边a = 2 ，
: △ABC 的周长为a + b + c = 2 + 5 = 7 ．
14 ．4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定 义，构成三角形的条件，当腰长为 7 时， x = 7 是方程 x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 的一个根， 当底边长为 7 时，则方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 有两个相等的实数根，据此分别求出两
种情况下 m 的值，再求出方程对应的根，最后根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当腰长为 7 时，则x =7 是方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 的一个根， : 72 - 2 × 7 ( m + 1) + m2 + 5 = 0 ，
解得m = 4 或m = 10 ，
当m = 4 时，由根与系数的关系可得方程的另一根为2( m + 1) - 7 = 2 × (4 + 1) - 7 = 3 ， :此时该等腰三角形的三边长分别为 7 ，7 ，3，
∵ 3 + 7 > 7 ，
:此时能构成三角形，符合题意；
当m = 10 时，由根与系数的关系可得方程的另一根为2( m + 1) - 7 = 2 × (10 + 1) - 7 = 15 ，
:此时该等腰三角形的三边长分别为 7 ，7 ，15， ∵ 7 + 7 < 15 ，
:此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为 7 时，则方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 有两个相等的实数根， : Δ = -2( m + 1)2 - 4(m2 + 5) = 0 ，
解得m = 2 ，
:由根与系数的关系可得方程的根为 : 3 + 3 < 7 ，
:此时不能构成三角形，不符合题意；
综上所述，m = 4 ；
故答案为：4．
15 ．B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、勾股定理， 解答的关键是熟知一元二次方程 根与系数的关系：设一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、x2 ，则
根据根与系数关系求得a + b = 3 ， ，利用完全平方公式求得 a2 + b2 = 8，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：:直角三角的两条直角边a ，b 是方程2x2 - 6x +1 = 0 的两个根，
:该直角三角形的斜边为Ja2 + b2 = = 2 ， 故选：B．
16 ．(1) m 的值为1 (2) 5
【分析】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系， 得 出m 的值是解题关键．
（1）根据菱形的性质可得出AB = AD ，由根的判别式即可得出关于m 的一元二次方程，解 之即可得出m 的值；
（2）将 x =2 代入一元二次方程可求出m 的值，再根据根与系数的关系即可得出AB + AD 的 值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD 的周长；
（3）先根据根与系数的关系得 则利用x1 > 2 ，x2 < 2 得到
(x1 - 2)(x2 - 2) < 0 ，即x1x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 < 0 ，所以 然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵当平行四边形ABCD 的两边AB = AD 时，四边形ABCD 为菱形，
:关于x 的方程的两个实数根．
解得m1 = m2 = 1 ，
即m 的值为1；
解得 ，
:原方程为
:平行四边形ABCD 的周长= 2 (AB + AD ) = 2 × = 5 ；
（3）根据根与系数的关系得 x1 + x2 = m ，x1x2 = m - 1 ，
2 4
∵ x1 > 2 ，x2 < 2 ，
: x1 - 2 > 0 ，x2 - 2 < 0 ，
: (x1 - 2)(x2 - 2) < 0 ，
即x1x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 < 0 ，
解得
17 ．10
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，首先利用根与系数的关系得到
即可求解，熟知根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：设一元二次方程x2 - 5x + 2 = 0 的两个根为 x1 ，x2 ，
∵矩形相邻两边长是一元二次方程x2 - 5x + 2 = 0 的两个根，
:这个矩形的周长是= 2 (x1 + x2 ) = 2 × 5 = 10 ， 故答案为：10 ．
18 ．2
【分析】先根据菱形的性质得到 AB = AD ，则根据根的判别式的意义得到△
, 根据根与系数的关系得到 AB + AD = m ，然后解方程得到 m 的值， 从而得到菱形ABCD 的周长．
本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质 定理．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，
:AB = AD ，
QAB ，AD 的长是关于x 的方程x2 - mx + m - 1 = 0 的两个实数根，
2 4
解得m1 = m2 = 1 ，
即菱形的周长为 ．
故答案为：2 ．
19 ．(1) x2 = 4 ，m = ± /6 ；
(2)详见解析．
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一 元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的判别式 Δ = b2 - 4ac ，当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当
Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 ，x2 ，则 是解题的关键．
（1）把 x1 = -1 代入方程求出m2 = 6，然后再解一元二次方程即可；
（2 ）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：把x1 = -1 代入方程(x -1)(x - 2) = m2 得m2 = 6 ， : m = ± 、 ，
: (x -1)(x - 2) = 6 ，即 x2 - 3x - 4 = 0 ， 解方程得，x1 = -1 ，x2 = 4 ，
故x2 = 4 ，m = ± 、 ；
（2）证明：方程(x -1)(x - 2) = m2 可化为x2 - 3x + 2 - m2 = 0 ， : Δ = 4m2 +1≥ 0 ，
:原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得x1 + x2 = 3 ，x1x2 = 2 - m2 ，
: (x1 -1)(x2 -1) = x1x2 - (x1 + x2 ) +1 = 2 - m2 - 3 +1 = -m2 ， :-m2 ≤ 0 ，
: (x1 -1)(x2 -1) ≤ 0 ．
20 ．(1)y = -x - 2
(2)D (1, -3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）利用中心对称的性质可得S△OCD = 4 ，则可得 xD - xC = 4 ，表示出C, D 坐标，再代入反
比例函数解方程即可；
（3）列方程得到xC + xD = -2 ，表示出点E , D 的坐标，根据 = 即可得到点 C 的坐标， 代入反比例函数即可解答．
【详解】（1）解：把 x =0 代入y = mx - 2(m < 0) ，可得 y = 0 ，
:B(0, -2) ，即 OB = 2 ， QOA = OB ，
: A(-2, 0) ，
把A(-2, 0) 代入y = mx - 2(m < 0) 可得0 = -2m - 2 ， 解得m = -1，
:直线AB 的解析式为y = -x - 2；
（2）解：Q延长CO 与双曲线交于点 E， : 点C, E 关于原点中心对称，
: OC = OE ，
设点C 的横坐标为xC ，点 D 的横坐标为xD ，
:xD - xC = 4 ，
设D(a, - -a 2)，则点C 的横坐标为a - 4 ，
把x = a - 4 代入直线解析式可得y = - (a - 4) - 2 = -a + 2 ， : C(a - 4, -a + 2) ，
Q 点C, D 都在双曲线y = kx-1(k < 0) 上，
:a (-a - 2) = (a - 4)(-a + 2) ，
解得a = 1，
:D(1, -3) ；
（3）解：列方程 ， 整理得x2 + 2x + k = 0 ，
Q 直线y = mx - 2(m < 0) 与双曲线y = kx-1(k < 0) 交于点 C、D， : 点C, D 的横坐标即为方程x2 + 2x + k = 0的两个解，
:xC + xD = -2 ，
设C(n, - -n 2) ，则E(-n, n + 2)，且 xD = -2 - n ，
把xD = -2 - n 代入直线解析式可得y = - (-2 - n) - 2 = n ，
:D(-2 - n, n) ，
:OD2 = (-n - 2)2 + n2 ，
DE2 = (-n + 2 + n)2 + (n + 2 - n)2 = 8 ，
解得
把 代入反比例函数可得