2025届甘肃省金昌市金川高级中学高三下三模数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若集合，则（ ）.
2. 已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（ ）.
3. 某组样本数据的频率分布直方图如图所示，据此估计该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（ ）
4. 在的展开式中，的系数为（ ）.
5. 下列可以作为方程的图象的是（ ）
6. 设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（ ）.
7. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（ ）.
8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）.
10. 在中，，，M为BC的中点，，则下列说法正确的是（ ）.
11. 已知抛物线的焦点为F，点M，N在抛物线C上，则（ ）.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知向量，其中，为单位向量，且，则 ____.
13. 已知，则____.
14. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且在第一象限，是的平分线，过点作的垂线，垂足为，若，,则椭圆的离心率是____.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求角；
(2)若的面积为，求．
16. 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
17. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
18. 近年来毕业旅行的热度明显上升．对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式．某平台对年毕业季毕业生购买飞机票的数量（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据：
(1)分析上述统计表可知与有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程．
(2)通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行．某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名．
（ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）．
（ⅱ）用样本的频率估计概率．设女性毕业生中购买飞机票的概率为，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求的值．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，．
19. 在数列中，若存在常数，对于任意的，满足，则称该数列为“”数列.
(1)已知数列2023，，是“”数列，求实数的取值范围.
(2)是否存在同时满足下列两个条件的等差数列？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
①是首项为1的“”数列；②的前项和满足对于恒成立.
(3)已知等比数列是各项均为正整数的“”数列，且不是“”数列，若，请判断是否为“”数列，并说明理由.
2025届甘肃省金昌市金川高级中学高三三模数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、复数、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量、数列、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．的虚部为
B．的最小值为
C．的实部为
D．当时，为纯虚数
A．
B．
C．
D．
A．10
B．6
C．15
D．8
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．146
B．
C．
D．91
A．
B．
C．
D．
A．异面直线与所成的角为
B．
C．直线与平面所成的角为
D．点到平面的距离为
A．
B．
C．
D．C为钝角
A．若M，N，F三点共线，且，则直线MN的倾斜角的余弦值为
B．若M，N，F三点共线，且直线MN的倾斜角为，则的面积为
C．若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，则点M，N到直线的距离之积为定值
D．若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，则点M，N到直线的距离之积与点M，N的位置有关
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码
1
2
3
4
5
万张
30
36
51
60
78
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
11
较难
1
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
并集的概念及运算；求指数函数在区间内的值域；解不含参数的一元二次不等式
2
0.65
基本不等式求和的最小值；求复数的实部与虚部；求复数的模；复数代数形式的乘法运算
3
0.85
由频率分布直方图估计平均数；总体百分位数的估计；由频率分布直方图估计中位数
4
0.94
求指定项的系数
5
0.65
由方程研究曲线的性质
6
0.65
用定义求向量的数量积；圆的弦长与中点弦；求点到直线的距离
7
0.85
等差中项的应用
8
0.4
函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究不等式恒成立问题
二、多选题
9
0.65
异面直线夹角的向量求法；线面角的向量求法；求线面角；点到平面距离的向量求法
10
0.65
余弦定理解三角形
11
0.65
抛物线中的三角形或四边形面积问题；直线与抛物线交点相关问题
三、填空题
12
0.85
用定义求向量的数量积；向量夹角的计算；数量积的运算律
13
0.94
诱导公式二、三、四；二倍角的正切公式；诱导公式一
14
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；二倍角的正弦公式
16
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数证明不等式
17
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；已知正（余）弦求余（正）弦；证明面面垂直
18
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；根据回归方程进行数据估计；求回归直线方程；服从二项分布的随机变量概率最大问题
19
0.15
由递推数列研究数列的有关性质；数列新定义；判断数列的增减性；数列不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,8,16,18
3
等式与不等式
1,2
4
复数
2
5
计数原理与概率统计
3,4,18
6
平面解析几何
5,6,11,14
7
平面向量
6,12
8
数列
7,19
9
空间向量与立体几何
9,17
10
三角函数与解三角形
10,13,15,17