甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三下学期高考冲刺（一）数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 若，则（ ）
3. 已知函数且，则（ ）.
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（ ）

5. 若，则（ ）
6. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的前10项和为（ ）
7. 函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
8. 如图，分别为双曲线的左、右焦点，点都在双曲线上，四边形为等腰梯形，且，，则双曲线的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（ ）
10. 如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（ ）
11. 如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.
例如：
下列的方格中，哪些图形可由上图经过4次移动得到（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知是椭圆上的动点，，且，则__________.
13. 函数的最小值为__________.
14. 现从一含10个元素的集合的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有__________种.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：.
(2)求.
(3)若为上靠近点的三等分点，作交于点，求.
16. 某学校高三年级组织了一场校内知识挑战赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自A类班级，4名学生代表来自B类班级，学生甲是B类班级代表之一.在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛.若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A类班级代表与B类班级代表比赛，则B类班级代表获胜的概率为.
(1)已知学生甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；
(2)若每两个班级代表各进行一轮比赛，记B类班级代表甲获胜的轮数为，求的分布列与期望.
17. 如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．
(1)证明：与相交且交点在直线上．
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
18. 已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：直线过定点.
(3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
19. 设函数的定义域为.若实数满足对任意的，都有，则称满足性质.
(1)若函数满足性质，求实数的取值范围.
(2)设的导函数为，且对任意的，都有.
（i）证明：满足性质.
（ii）已知数列满足，若，证明：.
甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三下学期高考冲刺（一）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、数列、平面解析几何、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、推理与证明
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．
A．.
B．.
C．2.
D．4.
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．3
B．5
C．7
D．9
A．
B．
C．2
D．
A．总体每次训练平均耗时1.8小时
B．总体每次训练平均耗时1.75小时
C．总体每次训练耗时的方差为0.28
D．总体每次训练耗时的方差为0.33
A．平面
B．平面平面
C．直线与直线有可能垂直
D．三棱锥的外接球体积为定值
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
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3
A．
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4
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4
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2
1
4
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C．
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D．
4
4
1
3
4
3
4
1
3
2
1
2
2
1
2
3
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
9
适中
7
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算
3
0.85
求分段函数解析式或求函数的值；指数幂的化简、求值
4
0.85
数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；求投影向量
5
0.65
已知正（余）弦求余（正）弦；正、余弦齐次式的计算；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
6
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和；指数式与对数式的互化
7
0.85
正、余弦型三角函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数
8
0.85
双曲线定义的理解；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.85
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；分层抽样的特征及适用条件
10
0.65
多面体与球体内切外接问题；证明线面平行；证明面面垂直
11
0.65
图与形中的归纳推理
三、填空题
12
0.85
利用椭圆定义求方程；根据椭圆方程求a、b、c
13
0.65
由导数求函数的最值（不含参）
14
0.65
实际问题中的组合计数问题；二项展开式的应用；判断集合的子集（真子集）的个数
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；用和、差角的正弦公式化简、求值；余弦定理解三角形
16
0.65
互斥事件的概率加法公式；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
17
0.85
空间中的线共点问题；已知线面角求其他量
18
0.15
根据抛物线上的点求标准方程；抛物线中的直线过定点问题；抛物线中的定直线
19
0.15
利用导数证明不等式；判断数列的增减性；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,14
2
复数
2
3
函数与导数
3,6,7,13,19
4
平面向量
4
5
三角函数与解三角形
5,7,15
6
数列
6,19
7
平面解析几何
8,12,18
8
计数原理与概率统计
9,14,16
9
空间向量与立体几何
10,17
10
推理与证明
11