甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三下第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若轴上存在一点，使得直线的斜率之积为，则点的坐标可以为（ ）
4. 已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（ ）
5. 某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ）
附表：
附：，其中.
6. 已知随机变量的分布列如下：
则数学期望（ ）
7. 如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
8. 已知，函数，则下列说法正确的是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ）
10. 如图，正方体的棱长为是线段上的一个动点，下列结论正确的是（ ）

11. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
13. 的展开式中的系数为______．（用数字作答）
14. 已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件：__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值.
16. 如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，且为棱的中点，为棱上的动点.
(1)求二面角的正弦值；
(2)是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由.
17. 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望．
(2)对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式：．
18. 已知函数的导函数记为，为自然对数的底数，约为2.718.
(1)判断函数的零点个数；
(2)设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：.
19. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知为上任意一点，求的最小值；
(2)已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三第二次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、复数、平面解析几何、三角函数与解三角形、数列、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
X
1
2
3
0.4
A．0.8
B．1.4
C．
D．2
A．
B．
C．
D．
A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为
C．若在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则数列的前项和为
A．的最小值为
B．的最小值为
C．三棱锥的体积为
D．以点为球心，为半径的球的表面积的最小值为
A．为等边三角形
B．直线的斜率之积为
C．
D．当直线的斜率不存在时，直线的斜率之积与当直线斜率为0时，直线的斜率之积互为相反数
外向型
内向型
男性
45
15
女性
20
10
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
12
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；由指数函数的单调性解不等式
2
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算；求复数的模
3
0.85
求双曲线的焦点坐标
4
0.65
求正弦（型）函数的最小正周期；利用等差数列的性质计算
5
0.65
独立性检验的概念及辨析；独立性检验解决实际问题
6
0.85
利用随机变量分布列的性质解题；求离散型随机变量的均值
7
0.65
函数奇偶性的定义与判断；函数图像的识别
8
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；利用余弦函数的单调性求参数；求图象变化前（后）的解析式
二、多选题
9
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；等比数列前n项和的基本量计算；求等差数列前n项和
10
0.65
锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算；棱柱的展开图及最短距离问题
11
0.65
椭圆中的定值问题；根据韦达定理求参数；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
三、填空题
12
0.65
根据极值点求参数
13
0.85
求指定项的系数；两个二项式乘积展开式的系数问题
14
0.65
利用正弦型函数的单调性求参数；利用正弦函数的对称性求参数；判断命题的充分不必要条件
四、解答题
15
0.65
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；基本不等式求积的最大值
16
0.65
空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法
17
0.65
卡方的计算；求离散型随机变量的均值；独立性检验解决实际问题；二项分布的均值
18
0.4
利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点
19
0.4
求平面轨迹方程；求双曲线中的最值问题；由直线与圆的位置关系求参数；根据双曲线的渐近线求标准方程
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,14
2
等式与不等式
1,15
3
函数与导数
1,7,8,12,18
4
复数
2
5
平面解析几何
3,11,19
6
三角函数与解三角形
4,8,14,15
7
数列
4,9
8
计数原理与概率统计
5,6,13,17
9
空间向量与立体几何
10,16