甘肃省白银市第十中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（ ）
2. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
3. 已知数列的前项和为，设甲：，乙：数列为等比数列，则甲是乙的（ ）
4. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
5. 已知角是锐角，若，，，则（ ）
6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（ ）
7. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是棱上一点，且，，，，，则当最大时，四棱锥的体积为（ ）
8. 已知对于，，，，且，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
10. 定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则（ ）
11. 已知边长为l的等边的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________.
13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为，过点作倾斜角为的直线，与双曲线交于，两点，记为坐标原点，则的余弦值为__________.
14. 若数列是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列是“项优待数列”.若等差数列是“项优待数列”，，则__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求面积的取值范围.
16. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？
(2)根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值；
(3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望.
附：，其中.
17. 已知函数.
(1)试判断函数的单调性与极值；
(2)已知，若有两个极值点，证明：.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与交于，两点，求证：；
(3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
19. 圆柱的标准方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圆柱任意一点的坐标.已知圆柱的方程为，如图，点，分别为上、下底面圆的圆心，四边形是圆柱的一个轴截面，点，，分别为，，的中点，点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）.
(1)证明：平面；
(2)若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，求的取值范围；
(3)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值.
甘肃省白银市第十中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、数列、平面解析几何、等式与不等式、三角函数与解三角形、平面向量、空间向量与立体几何、函数与导数、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．2个
B．3.个
C．4个
D．5个
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A．12
B．9
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．24
B．18
C．16
D．12
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．0
A．
B．
C．有两个极值点
D．有两个零点
A．排成的“三位凹数”共有168个
B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等
C．从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为
D．从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为
A．
B．
C．5
D．6
看过
没看过
合计
不超过35周岁
30
20
50
超过35周岁
15
35
50
合计
45
55
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
2
适中
9
较难
5
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
根据交集结果求集合或参数
2
0.85
复数代数形式的乘法运算；判断复数对应的点所在的象限；共轭复数的概念及计算
3
0.85
等比中项的应用；利用an与sn关系求通项或项；判断命题的必要不充分条件
4
0.65
过圆外一点的圆的切线方程；基本不等式“1”的妙用求最值；基本不等式求和的最小值
5
0.65
二倍角的正切公式；向量垂直的坐标表示；已知弦（切）求切（弦）
6
0.65
抛物线中的三角形或四边形面积问题；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
7
0.65
锥体体积的有关计算；轨迹问题——圆；证明线面垂直
8
0.4
函数周期性的应用；由抽象函数的周期性求函数值；求函数值；函数对称性的应用
二、多选题
9
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求已知函数的极值点；利用导数研究函数的零点
10
0.65
数字排列问题；计算古典概型问题的概率；元素（位置）有限制的排列问题
11
0.15
三角恒等变换的实际应用；点到平面距离的向量求法；求点面距离；平面法向量的概念及辨析
三、填空题
12
0.65
根据分段函数的单调性求参数
13
0.4
求直线与双曲线的交点坐标；向量夹角的坐标表示；根据双曲线的渐近线求标准方程
14
0.4
等差数列通项公式的基本量计算；数列新定义；求等差数列前n项和
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
16
0.65
独立性检验解决实际问题；计算条件概率；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值
17
0.4
利用导数证明不等式；含参分类讨论求函数的单调区间；求已知函数的极值
18
0.4
椭圆中的定值问题；根据韦达定理求参数；根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中的定直线
19
0.15
锥体体积的有关计算；证明线面平行；由导数求函数的最值（不含参）；求二面角
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3
2
复数
2
3
数列
3,14
4
平面解析几何
4,6,7,13,18
5
等式与不等式
4
6
三角函数与解三角形
5,11,15
7
平面向量
5,13
8
空间向量与立体几何
7,11,19
9
函数与导数
8,9,12,17,19
10
计数原理与概率统计
10,16