2024-2025学年湖南省株洲十三中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲十三中高一（下）期中数学试卷（含解析），共58页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简：AB−(DC−BC)+DA=( )
A. 2ADB. ADC. 0D. 2DA
2.若复数z=ii+1(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. 12B. 12iC. 1D. i
3.已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“α//β”是“l⊥α”的( )
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数y=sin(π3−12x)，x∈[−2π,2π]的单调递增区间是( )
A. [−π3,5π3]B. [−2π,−π3]
C. [5π3,2π]D. [−2π,−π3]和[5π3,2π]
5.若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为( )
A. 6πB. 2 6πC. 6πD. 4 6π
6.圆柱高为4，底面积为π，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为( )
A. 62B. 32C. 63D. 2 63
7.将函数f(x)=sinx− 3csx图象上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再将所得曲线上所有的点向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A. 5π12B. 5π6C. π3D. π6
8.置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组M：{m1,m2,m3}，有序数组N：{n1,n2,n3}，定义“间距置换”：n1=|m1−m2|，n2=|m2−m3|，n3=|m3−m1|.已知有序数组T：{x,y,z}，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组S：{a,3,b}(a≤b)，且S中所有数之和为2025，则ab的值为( )
A. 20192025B. 20212024C. 20212023D. 20192023
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. e1=(1,0),e2=(0,1)B. e1=(2,4),e2=(−4,2)
C. e1=(3,−4),e2=(−3,4)D. e1=(2,6),e2=(−1,−3)
10.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数y=f(x)，满足∀x，y∈R，有f(x+y)=f(x−y)+2f(y)csx，则下面判断一定正确的是( )
A. 4π是f(x)的一个周期B. f(x)是奇函数
C. f(x)是偶函数D. f(x)=f(π2)sinx
11.在△ABC中，|BA+BC|=6，|AB+AC|=3，(AB+AC)⋅AB=0，则下列说法正确的是( )
A. AB= 3B. ∠BAC=π3
C. △ABC的面积为3 32D. |CA+CB|=3 7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数2−3i、−1+2i对应的向量分别是OA、OB，其中O是坐标原点，则向量AB对应的复数为______．
13.已知sin(α−β)csα−cs(α−β)sinα=35，且β为第三象限角，则csβ= ______．
14.在△ABC中，AC=4AD，设∠ACB=θ，若∠ABD=θ，∠CBD=2θ，且BD= 3，则△ABC的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+mi，z2=(m2−6m+7)−2i(m∈R,i为虚数单位)．
(1)若z=z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
(2)若ω=z11+i在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2c−b)csA=acsB．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为3 32，sinB=32sinC，求a．
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，E，F分别为AC，BC上的点，且AE=12AC,BF=13BC．
(1)求|AF|；
(2)求证：AF⊥BE；
(3)若P是线段AF上的动点，满足BP=γBA+μBC,γ,μ均为正常数，求γμ的最大值．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_____．
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①c+b=2acsB；②a(csB−csC)=(b+c)csA．
(1)证明：A=2B；
(2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，sinB=35，求1b+1c的值；
(3)求ca的取值范围．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
19.(本小题17分)
(1)某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球.现有两种设计方案，一种是正方体礼盒(如图(1))，另一种是圆柱形礼盒(如图(2))，在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼含更经济实惠？

(2)设某长方体礼盒的长AB，宽BC，高AA1分别为10cm，8cm，3cm．
(ⅰ)若用十字捆扎法(如图(3))，且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；(不考虑接口处的彩带长度)
(ⅱ)若用对角捆扎法(如图(4))，且LA1=A1E=IC1=C1H=FB=BG=DK=DJ=2cm，不考虑接口处的彩带，结合(ⅰ)，比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？(结果保留到整数)
参考数据： 2≈1.41, 5≈2.24．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由向量的线性运算，AB−(DC−BC)+DA=AB−DC+BC+DA=AB+BC−(DC−DA)=AC−AC=0．
故选：C．
应用向量加减法则化简即可得答案．
本题主要考查平面向量的加减运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：复数z=ii+1=i(1−i)(1+i)(1−i)=i+12=12+12i，则z的虚部为12．
故选：A．
利用复数的除法运算求出z可得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，
若α/​/β，∵l⊥β，∴l⊥α，
若l⊥α，∵l⊥β，
∴根据与同一条直线垂直的两个平面平行，得α/​/β成立，
∴“α/​/β”是“l⊥α”的充分必要条件．
故选：A．
根据线面，面面的位置关系，结合充分必要条件的定义，即可判断选项．
本题考查线面、面面的位置关系、充分必要条件的定义等基础知识，是基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．
【解答】
解：函数y=sin(π3−12x)=−sin(12x−π3)，
令2kπ+π2≤12x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z．
求得4kπ+5π3≤x≤4kπ+11π3，k∈Z．
故函数y的增区间为[4kπ+5π3,4kπ+11π3]，k∈Z．
再结合x∈[−2π,2π]，可得函数的单调递增区间是：
[−2π,−π3]、[5π3,2π]，
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意可得长方体外接球的直径2R即为长方体的体对角线长，
所以(2R)2=1+1+4=6，
所以外接球半径为R=l2= 62，
所以该长方体外接球的体积为V=43πR3= 6π．
故选：A．
根据长方体外接球的直径为对角线，可得半径，从而求球的体积．
本题考查长方体的外接球，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知，圆柱高为4，底面积为π，则圆柱的底面半径为1，
当圆柱底面半径等于正四面体的外接球的半径时，正四面体有最大棱长a，
如图，在正四面体ABCD中，棱长为a，其外接球的半径为R=1，
E为CD的中点，M为△BCD的中心，连接AM，则AM⊥平面BCD，
设O为正四面体ABCD外接球的球心，连接OB，
因为△BCD为正三角形，
所以BM=23BE=23× 32a= 33a，
在Rt△ABM中，AM= AB2−BM2= 63a，
所以OM=AM−OA= 63a−R，
在Rt△OBM中，由OM2+BM2=OB2，
得( 63a−R)2+( 33a)2=R2，
解得R= 64a=1，
则a=2 63．
故选：D．
分析可得当圆柱底面半径等于正四面体的外接球的半径时，正四面体有最大棱长，进而求解即可．
本题考查几何体的切接关系，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)=sinx− 3csx=2sin(x−π3)，把函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的12，故得到y=2sin(2x−π3)的图象，再将所得曲线上所有的点向左平移a个单位长度，
得到函数g(x)=2sin(2x+2a−π3)的图象，若函数g(x)的图象关于y轴对称，故2a−π3=kπ+π2(k∈Z)，整理得a=kπ2+5π12(k∈Z)，
当k=0时，a的最小值为5π12．
故选：A．
首先利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的g(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：对于有序数组M：{m1,m2,m3}，
有序数组N：{n1,n2,n3}，
定义“间距置换”：n1=|m1−m2|，n2=|m2−m3|，n3=|m3−m1|，
由题可知a=|x−y|，3=|y−z|，b=|z−x|．
若x介于y，z之间，则|y−z|=|x−y|+|z−x|=a+b=3．
由题可知，a+3+b=2025，所以a+b=2022，矛盾，舍去．
∵a≤b，∴|x−y|≤|z−x|，结合|y−z|=3≠0，可得x>y>z或xz，由题可知a=|x−y|=x−y，3=|y−z|=y−z，b=|z−x|=x−z，
上述三个式子相加可得a+3+b=2025=2x−2z=2(x−z)，
∴a+b=2022，x−z=20252，
∴b=20252，则a=2022−b=20192，∴ab=20192025，
若xπ3，故B错误；
设AC的中点为E，因为G是三角形的重心，
故BG=23BE,S△ABC=2S△ABE=3S△ABG=32AB⋅AG=3 32，故C正确；
设AB的中点为M，有CA+CB=2CM=6GM，
而|GM|= |MA|2+|AG|2= 72，故|CA+CB|=6⋅|GM|=3 7，故D正确．
故选：ACD．
设三角形的重心为G，根据三角形重心公式可判断A选项；由AB⊥AG,∠BAC>π2>π3，可判断B选项；设AC的中点为E，根据G是三角形的重心，结合A选项可判断C选项；设AB的中点为M，利用三角形的中点向量可判断D选项．
本题考查了平面向量的综合应用，属于中档题．
12.【答案】−3+5i
【解析】解：由题意可知，OA=(2,−3)，OB=(−1,2)，
所以AB=OB−OA=(−1,2)−(2,−3)=(−3,5)，则向量AB对应的复数为−3+5i．
故答案为：−3+5i．
根据复数的几何意义得出向量OA、OB的坐标，结合平面向量的减法可得出向量AB的坐标，由此可得出向量AB对应的复数．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】−45
【解析】解：∵sin(α−β)csα−cs(α−β)sinα=sin[(α−β)−α]=−sinβ=35，
∴sinβ=−35，
又β为第三象限角，
则csβ=− 1−(−35)2=−45．
故答案为：−45．
由已知得sinβ=−35且csβ0m−12