湖南省株洲市第十三中学2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试卷（含解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，且与共线，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
5. 若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的大致图象为（ ）
A B.
C. D.
7. 若，则sin的值为（ ）
A B. C. －D. －
8. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
10. 最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲同学体温的极差为0.4℃
B. 乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等
C. 乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D. 甲同学体温的第60百分位数为36.4℃
11. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A. 抽取的样本里男生有60人
B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 估计该学校学生身高的平均值为170
D. 估计该学校学生身高方差为236
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在某一样本的频率分布表中，第三组的频数和频率分别为24和，则该样本的样本容量为_________
13. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，___________.
14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，求
（1）求函数最小正周期；
（2）当，求函数的值域．
16. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若为的垂心，，求面积的最大值.
17. 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.

（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
18. 建造一个容积为、深为的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为元和元．
（1）求总造价（单位：元）关于底边一边长（单位：）的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）如果要求总造价不超过元，求的取值范围；
（3）求总造价的最小值．
19. 立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（1）试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；
（2）设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值．
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．