2024-2025学年湖南省株洲市第十三中学高二下学期期中测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲市第十三中学高二下学期期中测试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足1+2i(z−1)=2−i，则z=( )
A. 1−iB. 1+iC. 2−iD. 2+i
2.有88×89×90×91×⋯×100可以表示为( )
A. C10012B. C10013C. A10012D. A10013
3.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为( )
A. 5 2πB. 7 2πC. 9 2πD. 16 2π
4.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A=π3,a=2,b+c= 3a，则▵ABC的面积为( )
A. 8 3−12B. 4 33C. 2 33D. 4 3−6
5.已知数列an满足3an+1=anan+1，且a1=1，则数列an的通项公式为( )
A. 14n−3B. 15n−4C. 13n−2D. 12n−1
6.已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2，且∠F1PF2=60∘，则C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
7.如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，C在底面圆周上，AB=4,∠BAC=30°,M是BC的中点，PM与圆锥底面所成角的大小为60∘，则圆锥PO的体积为( )
A. 12 3πB. 12πC. 4 3πD. 4π
8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n−1，n−2，n−3，⋯次状态无关.现有A，B两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行nn∈N∗次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn.则p11的值为( )
A. 13652048B. 13672048C. 13692048D. 13632048
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题中，真命题的有( )
A. 在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；
B. 回归模型中残差是实际值yi与估计值y的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
C. 对分类变量x与y的统计量χ2来说，χ2值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．
D. 已知随机变量X服从二项分布Bn,13，若E(3X+1)=6，则n=6．
10.已知函数f(x)= 2sin2x−π4，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2π
B. 若f(x)在区间(0,m)恰有两个零点，则m的取值范围为5π8,9π8
C. 若f(x)≥−1，且0≤x≤2π，则0≤x≤3π4
D. 若f(x)在区间(0,m)恰有两个最值点，则m的取值范围为7π8,11π8
11.已知函数f(x)=lnx+ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1x2，且x1,x2∈1,e,fx1−fx2b>0)的左、右焦点，Q为椭圆C的上顶点，若▵F1QF2为直角三角形，且椭圆过点P(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作斜率互为相反数的两条直线l1与l2分别交椭圆C于A,B两点，
①求证：通过点A,B的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求|AB|的最大值．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.A
9.AB
10.BD
11.BCD

13. 32
14.2 133
15.(1)当a1=10时，{an}中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，⋯，
即数列{an}从第四项开始每三项是一个周期，
所以S3=a1+a2+a3=23，
S6−S3=a4+a5+a6=4+2+1=7，所以S6=30，
S9−S6=a7+a8+a9=4+2+1=7，所以S9=37．
(2)①若a1是奇数，则a2=a1+3是偶数，a3=a22=a1+32，
由S3=17，得a1+(a1+3)+a1+32=17，解得a1=5，符合题意．
②若a1是偶数，不妨设a1=2k (k∈N∗)，则a2=a12=k．
若k是偶数，则a3=a22=k2，由S3=17，得2k+k+k2=17，此方程无整数解；
若k是奇数，则a3=k+3，由S3=17，得2k+k+k+3=17，此方程无整数解．
综上①②，可得a1=5．

16.(1)如图，建立如图所示的空间直角坐标系，
P0,0,2 3，A(2,0,0)，D(0,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，
则PB=2,2,−2 3，AC=(−2,2,0)，
由于PB⋅AC=−4+4=0，故PB⊥AC．
设PE=aPB，0≤a≤1，则E2a,2a,2 3−2 3a，
则AE=2a−2,2a,2 3−2 3a，要使PB⊥平面ACE，
则PB⋅AE=2(2a−2)+4a−2 32 3−2 3a=0，解得a=45，
故存在点E，当PE=45PB时，PEPB=45．
(2)设PE=aPB，0≤a≤1，则E2a,2a,2 3−2 3a，
设平面ADE的一个法向量为m=(x,y,z)，
故DE=2a,2a,2 3−2 3a，DA=(2,0,0)，DC=(0,2,0)，
DE⋅m=2ax+2ay+2 3−2 3az=0DA⋅m=2x=0,
令z=a，则m=0, 3a− 3,a．
设平面PAE的一个法向量为n=x0,y0,z0，
故PA=2,0,−2 3，AE=2a−2,2a,2 3−2 3a，
AE⋅n=(2a−2)x0+2ay0+2 3−2 3az0=0PA⋅n=2x0−2 3z0=0,
令z0=1，则n= 3,0,1，设二面角P−AE−D为θ，
csθ=csm,n=m⋅nm⋅n=a2 3(a−1)2+a2，
=a2 4a2−6a+3=12 14−6a+3a2=f(a)，
因为a∈[0,1]，所以1a∈[1,+∞)，令t=1a∈[1,+∞),
则f(a)可化为g(t)=12 14−6t+3t2，
由二次函数性质得y=4−6t+3t2在[1,+∞)上单调递增，
由复合函数性质得g(t)在[1,+∞)上单调递减，
则g(t)≤g(1)，则当1a=1时，csθ最大，此时二面角P−AE−D夹角最小，
故点E在点B处，与点B重合．
17.(1)记A=“H1型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功”，B=“H1型服务机器人第二次仿成年人拿水杯检测成功”，
则P(A)=45,PA=15,PB|A=910,PB|A=34．
因为PB|A=P(AB)P(A)，所以P(AB)=P(A)⋅PB|A=45×910=1825，
因为P(B∣A)=P(AB)P(A)，所以PAB=PA⋅PB|A=15×34=320，
则P(B)=P(AB)+PAB=1825+320=87100．
(2)三类不同型号的服务机器人检测合格的概率分别为：
PH1=34×23=12,PH2=45×34=35,PH3=35×23=25，
由题意随机变量X的可能取值为0,1,2,3，则P(X=0)=1−121−351−25=325，
P(X=1)=12⋅1−35⋅1−25+1−12⋅35⋅1−25+1−12⋅1−35⋅25=1950,
P(X=2)=12⋅35⋅1−25+1−12⋅35⋅25+12⋅1−35⋅25=1950，
P(X=3)=12⋅35⋅25=325．
随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×325+1×1950+2×1950+3×325=32．
18.(1)因为f(x)=lnx−ax，所以f′(x)=1x+ax2，所以f′(1)=1+a，
又f(1)=−a，所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y+a=(1+a)(x−1)，
因为切线经过点(0,1)，所以1+a=(1+a)(0−1)，解得a=−1；
(2)由(1)知f′(x)=1x+ax2=x+ax2，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a≥0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值，
当a2，所以a< −e，所以a的取值范围为a∈−∞,−e；
(3)由fx1−fx2