2024-2025学年湖南省株洲十三中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲十三中高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简：AB−(DC−BC)+DA=( )
A. 2ADB. ADC. 0D. 2DA
2.若复数z=ii+1(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. 12B. 12iC. 1D. i
3.已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“α//β”是“l⊥α”的( )
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数y=sin(π3−12x)，x∈[−2π,2π]的单调递增区间是( )
A. [−π3,5π3]B. [−2π,−π3]
C. [5π3,2π]D. [−2π,−π3]和[5π3,2π]
5.若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为( )
A. 6πB. 2 6πC. 6πD. 4 6π
6.圆柱高为4，底面积为π，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为( )
A. 62B. 32C. 63D. 2 63
7.将函数f(x)=sinx− 3csx图象上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再将所得曲线上所有的点向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A. 5π12B. 5π6C. π3D. π6
8.置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组M：{m1,m2,m3}，有序数组N：{n1,n2,n3}，定义“间距置换”：n1=|m1−m2|，n2=|m2−m3|，n3=|m3−m1|.已知有序数组T：{x,y,z}，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组S：{a,3,b}(a≤b)，且S中所有数之和为2025，则ab的值为( )
A. 20192025B. 20212024C. 20212023D. 20192023
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. e1=(1,0),e2=(0,1)B. e1=(2,4),e2=(−4,2)
C. e1=(3,−4),e2=(−3,4)D. e1=(2,6),e2=(−1,−3)
10.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数y=f(x)，满足∀x，y∈R，有f(x+y)=f(x−y)+2f(y)csx，则下面判断一定正确的是( )
A. 4π是f(x)的一个周期B. f(x)是奇函数
C. f(x)是偶函数D. f(x)=f(π2)sinx
11.在△ABC中，|BA+BC|=6，|AB+AC|=3，(AB+AC)⋅AB=0，则下列说法正确的是( )
A. AB= 3B. ∠BAC=π3
C. △ABC的面积为3 32D. |CA+CB|=3 7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数2−3i、−1+2i对应的向量分别是OA、OB，其中O是坐标原点，则向量AB对应的复数为______．
13.已知sin(α−β)csα−cs(α−β)sinα=35，且β为第三象限角，则csβ= ______．
14.在△ABC中，AC=4AD，设∠ACB=θ，若∠ABD=θ，∠CBD=2θ，且BD= 3，则△ABC的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+mi，z2=(m2−6m+7)−2i(m∈R,i为虚数单位)．
(1)若z=z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
(2)若ω=z11+i在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2c−b)csA=acsB．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为3 32，sinB=32sinC，求a．
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，E，F分别为AC，BC上的点，且AE=12AC,BF=13BC．
(1)求|AF|；
(2)求证：AF⊥BE；
(3)若P是线段AF上的动点，满足BP=γBA+μBC,γ,μ均为正常数，求γμ的最大值．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_____．
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①c+b=2acsB；②a(csB−csC)=(b+c)csA．
(1)证明：A=2B；
(2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，sinB=35，求1b+1c的值；
(3)求ca的取值范围．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
19.(本小题17分)
(1)某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球.现有两种设计方案，一种是正方体礼盒(如图(1))，另一种是圆柱形礼盒(如图(2))，在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼含更经济实惠？

(2)设某长方体礼盒的长AB，宽BC，高AA1分别为10cm，8cm，3cm．
(ⅰ)若用十字捆扎法(如图(3))，且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；(不考虑接口处的彩带长度)
(ⅱ)若用对角捆扎法(如图(4))，且LA1=A1E=IC1=C1H=FB=BG=DK=DJ=2cm，不考虑接口处的彩带，结合(ⅰ)，比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？(结果保留到整数)
参考数据： 2≈1.41, 5≈2.24．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.A
6.D
7.A
8.A
9.CD
10.ABD
11.ACD
12.−3+5i
13.−45
14.2 3
15.(1)解：由复数z1=1+mi，z2=(m2−6m+7)−2i，
得z=z1+z2=1+mi+(m2−6m+7)−2i=(m2−6m+8)+(m−2)i，
∵复数z为纯虚数，∴m2−6m+8=0m−2≠0，解得m=4；
(2)解：由z1=1+mi，
得ω=z11+i=1+mi1+i=(1+mi)(1−i)(1+i)(1−i)=1+m2+m−12i，
∵ω=z11+i在复平面内所对应的点位于第四象限，∴m+12>0m−12