2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足i⋅z=1−i，则|z|=( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
2.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=1,|b|=1,|c|=2，则|a+b+c|=( )
A. 2B. 4C. 2或4D. 1或4
3.已知f(x)是在R上单调递增的奇函数，则函数y=f(x)csx在[−2,2]上的图象可能为( )
A. B.
C. D.
4.圆锥SO的底面圆半径OA=1，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为( )
A. 2 23πB. 2 33πC. 4 23πD. 8 33π
5.已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是( )
A. 9.6B. 9C. 8.6D. 8
6.如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了(参考数据：sin18°≈0.31，sin27°≈0.45， 2≈1.41)( )
A. 45.5kmB. 51.5km
C. 56.5kmD. 60.5km
7.已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所在的对边，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+ 3= 3tanB⋅tanC，则△ABC的面积为( )
A. 34B. 3 3C. 3 34D. 34
8.设角α1、α2满足12+sinα1+12+sin2α2=2，则|10π−α1−α2|的最小值为( )
A. π4B. π3C. π2D. π6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足|z|= 6，则下列结论正确的是( )
A. z在复平面内对应的点可能是(2, 2) B. z⋅z−=4
C. z的实部与虚部之积小于等于3 D. 复数z1=1+i，则|z−z1|的最大值为 6+ 2
10.以下结论正确的是( )
A. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件．
B. 掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一次出现奇数点”，B=“第二次出现偶数点”，则A与B相互独立
C. 假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(A∪B)=0.56
D. 若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥不能同时成立
11.在平面四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则( )
A. 异面直线AC，BD所成的角是π4B. BD⊥平面AEC
C. 平面ABD⊥平面AECD. V三棱锥A−BCD=2V三棱锥E−ACD
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知平面向量a=(t−1,2−t)，b=(3,−2)，若a//b，则t=______．
13.某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为______，成绩优秀的经验概率是______．
14.已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E.设AD=λAB，AE=μAC，则1λ+1μ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=asin(π−x)csx+cs(2x+π4)，且f(π4)= 22．
(Ⅰ)求a的值和函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求不等式f(x)> 32的解集；
(Ⅲ)在△ABC中，AB=1，AC= 3，AD为BC边上的中线，设∠BAD=α，f(34α)= 22，请直接写出α的值和BC的长．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且2AE=EB．
(1)若点F在棱PC上，是否存在实数λ满足PF=λFC，使得BF//平面PDE？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
(2)在第(1)问的条件下，当BF//平面PDE时，求三棱锥P−DEF的体积．
17.(本小题15分)
高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组[80,100]，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
(2)已知100名学生落在第二组[20,40)的平均成绩是32，方差为7，落在第三组[40,60)的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数x−和总方差s2；
(3)已知年级在第二组[20,40)和第五组[80,100]两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组[80,100]的概率．
18.(本小题12分)
如图1，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，将△BCD沿BD折起至△BPD(如图2)，且点E为AP的中点．
(1)证明：平面ABP⊥平面BDE；
(2)若AP⋅AC=9，求平面PBC与平面BDE夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
如图，在正四面体A−BCD中，棱长为2，E为CD中点．
(1)求证：CD⊥平面ABE．
(2)已知F为棱BC上一点(不含端点)，CF=x，M为线段AF上一动点，N为截面ABE上一动点．
(i)若存在M，N使得平面FMN//BD，求x范围．
(ⅱ)设CM+MN的最小值为关于x的函数f(x)，求f(x)值域．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：复数z=1−ii=(1−i)⋅ii⋅i=−1−i，
所以|z|= 1+1= 2．
故选：C．
根据复数的除法运算求得z，再根据复数的模公式求解．
本题考查复数的模长，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：已知平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=1,|b|=1,|c|=2，
则平面向量a,b,c两两夹角可以为0°或120°，
当夹角为0°时，可得|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=4；
当夹角为120°时，可得|a+b+c|= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2a⋅b+2b⋅c+2a⋅c
= 1+1+4+2×1×1×(−12)+2×1×2×(−12)+2×1×2×(−12)=1，
综上可得|a+b+c|的值为1或4．
故选：D．
利用平面向量数量积定义以及运算律计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的定义以及运算律，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为f(x)是在R上单调递增的奇函数，所以f(−x)cs(−x)=−f(x)csx，
得y=f(x)csx是奇函数，故C不符合题意．
令y=f(x)csx=0，得x=0或±π2，故D不符合题意．
当00，所以y=f(x)csx>0，故A不符合题意．
故选：B．
利用函数的奇偶性，以及函数的零点，结合排除法，可得结论．
本题主要考查由函数解析式求函数图象，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：设母线为l，因为侧面的平面展开图的面积为3π，
所以S=12×2π⋅1⋅l=3π，解得l=3，
则圆锥的高ℎ= 32−1=2 2，
所以此圆锥的体积为V=13⋅π×12×2 2=2 23π．
故选：A．
由圆锥的侧面积为3π可求得母线l，由勾股定理求出高，再结合圆锥的体积公式即可得解．
本题主要考查圆锥的体积公式，侧面积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，
由题意得：抽取的100人中，男生有60人，女生有40人，
由抽取的样本中男生身高的平均数为160，女生身高的平均数为155，
可得这100位学生的平均身高为60×160+40×155100=158，
再由抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，
女生身高的平均数和方差分别为155和3，
∴这100位学生身高的方差为：
60100×[4+(160−158)2]+40100×[3+(155−158)2]=9.6，
∴估计该校学生身高的总体方差是9.6，
故选：A．
利用分层数据中的平均数公式和方差公式来计算样本中的平均数和方差，问题即可得解．
本题考查平均数、方差、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，由A=18°，C=27°，得B=135°，由正弦定理得45sin27∘=BCsin18∘=ACsin135∘，
所以AC=70.5km，BC=31km，所以AC+BC−AB=56.5km．
故选：C．
由正弦定理45sin27∘=BCsin18∘=ACsin135∘，可求AC，进而可求结论．
本题考查正弦定理，考查数学建模的核心素养，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得tanB+tanC= 3(−1+tanB⋅tanC)，∴tan(B+C)=tanB+ tanC1−tanBtanC=− 3，
∴B+C=2π3，∴A=π3．
由余弦定理可得16=b2+(5−b)2−2b(5−b)csπ3，∴b=5+ 132，c=5− 132，
或b=5− 132，c=5+ 132．
则△ABC的面积为12bcsinA=12×5+ 132×5− 132× 32=3 34，故答案为3 34．
分析：由条件可得tan(B+C)=tanB+ tanC1−tanBtanC=− 3，可得B+C=2π3，A=π3.由余弦定理求得b值，即得c值，代入面积公式进行运算．
本题考查两角和的正切公式，余弦定理，已知三角函数的值求角的大小，求出角A的大小是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：因为sinα1∈[−1,1]，sin2α2∈[−1,1]，即2+sinα1∈[1,3]，2+sin2α2∈[1,3]，
所以12+sinα1∈[13,1]，12+sin2α2∈[13,1]，
结合12+sinα1+12+sin2α2=2，可得12+sinα1=1,12+sin2α2=1，
即2+sinα1=1，2+sin2α2=1，所以sinα1=sin2α2=−1，
可得α1=2kπ−π2，α2=mπ−π4，k∈Z，m∈Z，
所以|10π−α1−α2|=|434π−2kπ−mπ|，当k=5且m=1时，|10π−α1−α2|取最小值π4．
故选：A．
根据三角函数的有界性，可得12+sinα1∈[13,1]，12+sin2α2∈[13,1]，结合12+sinα1+12+sin2α2=2，推导出sinα1=−1且sin2α2=−1，进而可得α1=2kπ−π2，α2=mπ−π4，k∈Z，m∈Z，由此算出|10π−α1−α2|的最小值．
本题主要考查正弦函数的性质、任意角的概念与特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为|z|= 6，则z在复平面对应的点为以原点为中心，半径为 6的圆上，
复平面的点(2, 2)，其模为 6，故A正确；
z⋅z−=|z|2=6，故B错误；
令z=a+bi，则有a2+b2=6，所以实部与虚部之积ab≤a2+b22=3，故C正确；
|z1|= 2，则|z−z1|≤|z|+|z1|= 6+ 2，故D正确．
故选：ACD．
根据复数的几何意义，可知z在复平面对应的点为以原点为中心，半径为 6的圆上，从而判断A，B；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D．
本题考查复数的概念与几何意义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若事件A，B对立，则事件A，B一定互斥，反之，若事件A，B互斥，则事件A，B不一定对立，
故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件．A错误；
对于B，由相互独立事件的定义，A与B相互独立，B正确；
对于C，假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.56，
故P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.7+0.8−0.56=0.94，C错误；
对于D，因为P(A)>0，P(B)>0，若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，故事件A，B不互斥，
若事件A，B互斥，则P(AB)=0，P(AB)≠P(A)P(B)，故事件A，B不独立，D正确．
故选：BD．
根据题意，由相互独立事件和互斥事件的定义、性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查相互独立事件．互斥事件的定义和性质，涉及概率的计算，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：取线段BD的中点E，因为AB=AD，CB=CD，
所以BD⊥AE，BD⊥CE，所以BD⊥平面AEC，故B正确；
所以AC⊥BD，即异面直线AC，BD所成的角是π2，故A不正确；
因为BD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面AEC.故C正确；
因为DE=EB，且DE，EB都垂直于平面AEC，
则V三棱锥A−BCD=V三棱锥E−ACD+V三棱锥E−ABC=13S△ACE⋅DE+13S△ACE⋅EB
=23S△ACE⋅DE=2V三棱锥D−ACE=2V三棱锥E−ACD.故D正确．
故选：BCD．
取线段BD的中点E，连接AE，CE，利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AEC，从而证出AC⊥BD，平面ABD⊥平面AEC；再利用三棱锥等体积法结合DE=EB求V三棱锥A−BCD可判断D．
本题主要考查了垂直关系的转化，棱锥的体积公式的应用，属于中档题．
12.【答案】4
【解析】解：平面向量a=(t−1,2−t)，b=(3,−2)，a//b，
则−2(t−1)−3(2−t)=0，解得t=4．
故答案为：4．
利用平面向量共线的坐标关系列式求解．
本题主要考查平面向量共线的坐标关系，属于基础题．
13.【答案】100 0.15
【解析】解：因为第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，
所以第二小组的频率为1−(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4，
因为第二小组的频数是40，所以参赛的人数为400.4=100；
因为80分以上的频率为0.10+0.05=0.15，
所以成绩优秀的经验概率是0.15．
故答案为：100，0.15．
由各组的频率和为1，求出第二小组的频率，再根据第二小组的频数可求出参赛的人数，求出80分以上的频率可得成绩优秀的经验概率．
本题考查频率分布直方图，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．
设AD=λAB，AE=μAC，
连接AG并延长，交BC于F，如图所示，
由题意得，F为BC中点，所以AF=12(AB+AC)，又G为重心，所以AF=32AG，
所以32AG=12(AB+AC)=12λAD+12μAE，即AG=13λAD+13μAE，
因为D、G、E三点共线，所以13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3．
故答案为：3．
连接AG并延长，交BC于F，结合已知有AG=13λAD+13μAE，再由三点共线即可得．
本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】(Ⅰ)a=2 2，T=π；(Ⅱ)(kπ+π24,kπ+5π24)，k∈Z；(Ⅲ)α=π3，BC=2．
【解析】(Ⅰ)f(x)=asin(π−x)csx+cs(2x+π4)
=asinxcsx+cs2xcsπ4−sin2xsinπ4
=a− 22sin2x+ 22cs2x，
因为f(π4)= 22，所以a− 22×1+ 22×0= 22，即a=2 2，
所以f(x)= 22sin2x+ 22cs2x=sin(2x+π4)，
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+π4)> 32，得2kπ+π3