人教版（2024）九年级上册直线和圆的位置关系课后练习题

这是一份人教版（2024）九年级上册直线和圆的位置关系课后练习题，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
【考点一】直线l和圆位置关系➽➼判断➼➸圆心距d✭✭半径r
1．（2024·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
2．（2024·湖北·武汉六中上智中学模拟预测）已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．0B．3C．3.5D．4
【考点二】切线的性质➼➸求线段（角度）
【考点①】切线性质➼➸求线段（角度）
3．（2024·广西·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．（2025·四川自贡·中考真题）为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点②】切线性质✭✭圆周角（垂径）定理➼➸求线段（角度）
5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·湖南湘潭·中考真题）如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（ ）
A．2B．C．D．4
【考点三】切线性质和判定➽➼求线段（角度）
【考点①】切线性质和判定➼➸求线段（角度）
7．（2015·浙江湖州·中考真题）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（ ）
A．4B．2C．8D．4
8．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【考点②】切线性质和判定➼➸切线的理解✭✭证明
9．（2024·上海杨浦·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
10．（2024·浙江绍兴·一模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点
【考点四】切线长定理
【考点①】切线长定理➼➸求线段（角度）✭✭证明
11．（2024·湖北荆门·中考真题）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·重庆·模拟预测）如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38°B．28°C．30°D．40°
【考点②】切线长定理➼➸RtΔ周长（面积）✭✭外接（内切）圆
13．（2024·山西晋中·模拟预测）若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）

A．64°B．120°C．122°D．128°
【考点五】圆的综合
【考点①】圆的综合➼➸四边形➼➸求线段（角度）
15．（2025·山东聊城·三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )

A．100°B．110°C．115°D．120°
16．（2023·新疆·中考模拟）已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（ ）
A．B．2C．D．
【考点②】圆的综合➼➸三角形✭✭其他➼➸求线段（角度）
17．（2023·山东临沂·二模）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A=20°，则∠1等于（ ）

A．40°B．45°C．50°D．60°
18．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，圆的两条弦相交于点和的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
【考点一】直线l和圆位置关系➽➼判断➼➸圆心距d✭✭半径r
19．（2024·上海市民办协和双语学校一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为______.
20．（2024·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.
【考点二】切线的性质➼➸求线段（角度）
【考点①】切线性质➼➸求线段（角度）
21．（2025·浙江衢州·中考真题）如图，切⊙于点，的延长线交⊙于点，连接，若，则的度数为_____．

22．（2025·湖南怀化·中考真题）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．

【考点②】切线性质✭✭圆周角（垂径）定理➼➸求线段（角度）
23．（2025·四川资阳·中考真题）如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度．

24．（2024·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________．

【考点三】切线性质和判定➽➼求线段（角度）
【考点①】切线性质和判定➼➸求线段（角度）
25．（2024·江苏泰州·中考真题）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为_______．
26．（2024·浙江台州·中考真题）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为_____________ ．

【考点②】切线性质和判定➼➸切线的理解✭✭证明
27．（2023·北京·一模）在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小轩的主要作法如下：
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P与BC相切的依据是______________________________ ．
28．（2024·福建厦门·一模）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝110°，则∠ACB的度数为___________．

【考点四】切线长定理
【考点①】切线长定理➼➸求线段（角度）✭✭证明
29．（2025·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．
30．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，直线AB，CD，BC分别与相切于点E，G，F，且 ，若，，则的长等于______．
【考点②】切线长定理➼➸RtΔ周长（面积）✭✭外接（内切）圆
31．（2025·福建·一模）如图，四边形为的内接四边形，是的内心，点与点关于直线对称，则的度数是__________．
32．（2024·河北·石家庄外国语学校一模）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．

【考点五】圆的综合
【考点①】圆的综合➼➸四边形➼➸求线段（角度）
33．（2024·安徽·模拟预测）如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为________.
34．（2024·山东·二模）如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为___________．
【考点②】圆的综合➼➸三角形✭✭其他➼➸求线段（角度）
35．（2024·四川成都·二模）在中，若，，则的面积的最大值为______．
36．（2025·安徽·宿州市第十一中学模拟预测）如图，的半径为内接于于点D，，则长度为_________．

三、解答题
37．（2024·江苏南通·一模）
如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．
如图2，按以下步骤画图：
① 以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；
② 分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；
③ 连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．
38．（2025·广西贺州·一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
(1) 求AB的长；
(2) 若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
39．（2025·湖南·隆回县教育科学研究室一模）如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
求证：直线BD是的切线；
求线段BM的长．
参考答案
1．D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
2．A
【分析】根据直线与圆的位置关系进行求解即可得解.
解：∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交
∴d＜r＝3，则d可取0，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
3．B
【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
4．A
【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．
解：连接OT，如下图．
∵与⊙相切于点，
∴ ．
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．
5．B
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．B
【分析】根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=．
解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
7．C
解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点 C，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AC，
∵OD=2，
∴OC=2，
∵tan∠OAB=，
∴AC=4，
∴AB=8，
故选C．
考点：切线的性质．
8．B
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A，根据切线的性质计算即可．
解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝70°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°−∠COD＝20°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．B
【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．
解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；
B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；
D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；
故选：B．
【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．
10．D
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
11．B
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可.
解：PA，PB是⊙O的切线，
故选：B.
【点拨】本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
12．C
【分析】根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论．
解：∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB＝PC，
∵∠P＝44°，
∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠D＝98°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，
∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
13．B
【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．
解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：

设
，
，

而



故选B．
【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
14．C
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
解：在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∴∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
15．B
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
解：如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点拨】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
16．B
解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作于G，交AB于H；作于M，交CD于点N．
在中，


，即 同理可证，AH=OH；
即H是斜边AB上的中点．
同理可证得，M是斜边CD上的中点．
设圆心为O′，连接O′M，O′H；则

∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；
因此OM=O′H．由于OM是斜边CD上的中线，
所以
故选B．
17．D
解：∵OC∥AB，
∴
又
∴
故选D.
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
18．D
【分析】根据相交弦定理和割线定理即可求解.
解：
由相交弦定理知，由割线定理知, 所以D正确，
故选D .
【点拨】本题考查了相交弦定理和割线定理，熟记定理是解题关键.
19．
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD.
解：设切点为D，连接CD，如图所示
∵∠C=90º，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C与斜边AB相切，
∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径
∴
∴
故答案为.
【点拨】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
20．
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．
解：∵，
∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，
∵，，
∴点M的坐标为：，半径为1，
过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：
此时取得最小值，
∵直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．
21．25°
【分析】连接OB根据切线的性质，得∠ABO=90°，可求出∠AOB=50°，再根据OB=OC，即可求出∠C的度数．
解：连接OB，
∵AB是⊙的切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=40°，
∴∠AOB=90-∠A=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO=∠AOB=25°．
故答案为：25°
【点拨】本题考查切线的性质，等腰三角形的形式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22．
【分析】根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．
解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
23．35
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=55°，再根据切线的性质可得∠BAD=90°，即可求解．
解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD与相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35
【点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
24．
【分析】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标．
解：如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，
则轴，
为直径，则，
，
轴，
，
，，
，，
，
轴，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
25．3或5
【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
解：∵
∴与直线相切，OH=1
当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5．
【点拨】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
26．55°
【分析】根据AD是直径可得∠AED=90°，再根据BC是⊙O的切线可得∠ADC=90°，再根据直角的定义及角度等量替换关系即可得到∠C=∠ADE=55°．
解：∵AD是直径，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAE=90°
∴∠C=∠ADE=55°．
故答案为：55°．
【点拨】此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知切线的性质．
27．经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解：作PD⊥BC，如图所示：
∵BF平分∠ABC，∠A=90°
∴PA=PD，
∴PD是⊙P的半径，
∴D在⊙P上，
∴BC是⊙P的切线．
故答案是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点拨】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
28．70°
【分析】连接OB和OA，根据切线的性质求出∠OBM，求出∠OBA，根据等腰三角形的性质求出∠OAB，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出∠ACB即可．
解：连接OB和OA，
∵BM切⊙O于B，
∴∠OBM＝90°，
∵∠MBA＝110°，
∵∠OBA＝∠MBA−∠OBM＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠AOB＝180°−20°−20°＝140°，
∴由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB＝70°，
故答案为：70°．
【点拨】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
29．64
【分析】由已知条件推导出∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，由此根据∠DAC=78°，能求出∠AOD的大小．
解：∵AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，BD=OB，
垂直平分,∠CAO=∠OAB
∠OAB=∠BAD，
∴∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，
∵∠DAC=78°，
∴∠BAO=∠DAC=26°，
∴∠AOD=90°-26°=64°．
故答案为：64．
【点拨】本题考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用是解题的关键．
30．10
【分析】根据切线长定理可得平分，平分，，进而可得，根据勾股定理即可求得的长，进而即可求得答案．
解：直线AB，CD，BC分别与相切于点E，G，F，且 ，
平分，平分，，
，
，，
故答案为：
【点拨】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
31．
【分析】连接OB、OD、BI、DI，利用轴对称的性质证得四边形OBID是菱形，得到∠BOD=∠BID，∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠A，由圆内接四边形性质得到，求出∠BID=180°-，由此得到2∠A=180°-，求出∠A=．
解：连接OB、OD、BI、DI，
∵点与点关于直线对称，
∴OB=BI，OD=DI，
∵OB=OD，
∴OB=BI=OD=DI，
∴四边形OBID是菱形，
∴∠BOD=∠BID，∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，
∵∠BOD=2∠A，∠BID=180°-（∠IBD+∠IDB），
∵∠IBD+∠IDB=，,
∴ ∠IBD+∠IDB=，
∴∠BID=180°-，
∴2∠A=180°-，
解得∠A=，
故答案为：．
【点拨】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，三角形内心定义，菱形的判定及性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，熟记各知识点是解题的关键．
32．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝＝2，
∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点拨】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
33．
【分析】根据题意，连接OB，通过切线和平行线的性质求得，再根据等腰直角三角形边的关系即可求出CD的长.
解：如下图，连接OB
四边形ABCD为平行四边形，BC与相切于点B
，AB=CD
又
.
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及应用时解决本题的关键.
错因分析 中等难度题.失分原因是不会作辅助线连接OB，通过切线和平行线的性质求得.
34．
【分析】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，根据切线性质，可知，平分，由已知条件∠B=60°解得，再由直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，解得AO的长，进而解得BO的长，最后又由三角形面积公式解即可．
解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则，
内切于菱形ABCD，
平分
同理得
故答案为：
【点拨】本题考查切线的性质、解直角三角形、菱形的性质、三角形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
35．9+9
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案．
解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝AB＝×6＝3，
∴OA＝，
∴CM＝OC＋OM＝＋3，
∴S△ABC＝AB•CM＝×6×（＋3）＝9+9．
故答案为：9+9．
【点拨】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关键．
36．2
【分析】连接OA、OC，利用圆中的性质，以及三角函数进行解题即可．
解：如图所示，连接OA、OC，
由题意得：，
∴∠AOC=90°，
∵的半径为，OA=OC，
∴OA=OC=，∠OAD=45°，
∵，
∴sin∠OAD=，
解得：OD=2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查的是圆的基本性质，以及与三角形的综合运用，三角函数的运用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
37．(1)证明见分析(2)①作图见分析，②作图见分析，③
【分析】（1）根据SAS证明△ACB≌△DEC即可．
（2）证明△COD是等边三角形，即可解决问题．
（1）证明：如图所示：
∵∠ACB＝∠1+∠ACE，∠DCE＝∠2+∠ACE，
∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：如图2中，连接AC，BD．
由作图可知，AC＝OA＝OC＝BD＝OD＝OB，
∴△AOC，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴S△COD＝×22＝．
【点拨】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
38．(1)(2)证明见分析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出的度数，进而根据特殊的锐角三角函数值求得AD的长，最后由垂径定理可得AB的长．
（2）由于点B在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得PB是⊙O的切线．
(1)
解：如图所示，连接OA、OB，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
由OP⊥AB于D，则，
又∵OP⊥AB
∴，
(2)证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°，
C是OP的中点，CP=CO=CB，从而．
∴∠OBP=90°（OB⊥BP），
∴PB是⊙О的切线．
【点拨】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．
39．(1)见分析(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，从而得到 ，即可求证；
（2）连接DM，Rt△BOD中，根据直角三角形的性质可得 BO=2OD，从而得到，，再由的直径，可得，，从而得到，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．
(1)证明：∵∠BOD=2∠BAD，
∴，
又∵，
∴ ，即，
又∵为的半径，
∴直线BD是的切线；
(2)解：如图，连接DM，
Rt△BOD中，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的直径，
∴，，
在Rt△BDE中，，
∵，
∴，
在Rt△BDM中，．
【点拨】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．