初中数学人教版（2024）九年级上册圆同步练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册圆同步练习题，共24页。
理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
特别说明：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
特别说明：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
特别说明：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
特别说明：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
当 时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
特别说明：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
特别说明：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
【典型例题】
类型一、圆的对称性——垂径定理
1．如图，在半径为的扇形中，，点是上的一个动点不与点、重合，，，垂足分别为、．
当时，求线段的长；
在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，是不变的，
【分析】（1）求出BD，根据勾股定理求出OD即可；
（2）过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，求出AF，得出AB长度，根据垂径定理得出D、E分别是BC、AC中点，根据三角形中位线求出即可．
(1) 解：∵，
∴，
∴；
解：存在，是不变的．
理由是：如图，连接，过点作的垂直平分线，与交于点，与弧交于点，
则平分与弧，
∴，
在中，∵ ，，
∴∠FAO=30°，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由垂径定理可知，点、分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
【点拨】本题考查了三角形中位线、垂径定理、勾股定理的应用，解题的关键是熟练应用相关定理，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
【变式1】如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，请求出四边形的面积。
【答案】(1) 见分析；(2) 18．
【分析】（1）根据垂弦定理可得OD⊥AC，根据切线的定义可得OD⊥DE，根据平行线的性质即可解答；
（2）连接CD，根据AC∥DE，OA＝AE，可得点F是OD的中点，然后可得AFO≌CFD(SAS)，所以S△AFO＝S△CFD，通过等量代换可得S四边形ACDE＝S△ODE即可解答．
解：(1)证明：∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，
∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE；
(2)如图，连接CD，
∵AC∥DE，且OA＝AE，
∴F为OD的中点，即OF＝FD，
又∵AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，
∴AFO≌CFD(SAS)，
∴S△AFO＝S△CFD，∴S四边形ACDE＝S△ODE，
在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝6，∴OE＝12，
∴DE＝＝＝6，
∴S四边形ACDE＝S△ODE＝×OD×DE＝×6×6＝18．
【点拨】本题考查了垂弦定理、平行线的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
【变式2】如图，在中，是弦，是直径，且经过的中点，连接．
（1）用尺规作图作出弦的垂直平分线，并标出与的交点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若的半径为，，求的长．
【答案】（1）详见分析；（2）．
【分析】（1）按照尺规作图的步骤作OM⊥AE交AE于点F，OF即为所求；
（2）连接OA，根据垂径定理的的推论先得出OC⊥AB，在Rt△ACO中求出OC的长，从而得出CE的长，在Rt△ACE中求出AE的长，再根据垂径定理得出AF的长，最后在Rt△AOF中，求出OF即可．
解：（1）如图所示，直线即为所求；
（2）连接，
是直径，=4，，
，，
，
，
．
【点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，勾股定理，垂径定理及其推论等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
类型二、垂径定理及弧、弦、圆心角的关系
2．如图，点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，，连接．
(1)填空：_________；（填“>”“=”或“