人教版（2024）直线和圆的位置关系测试题

这是一份人教版（2024）直线和圆的位置关系测试题，共27页。

【学习目标】
了解直线与圆的三种位置关系；
了解圆的切线的概念；
掌握直线与圆位置关系的性质。
【知识点梳理】
考点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
考点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
考点3 切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴；平分
考点4 三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
B
O
A D
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C
【典例分析】
【考点1 直线与圆的位置关系】
【例1】（2025•东明县一模）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相交或相切D．相离
【变式1-1】（2024秋•泗阳县期末）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相切或相交
【变式1-2】（2024秋•潼南区期末）已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交
【变式1-3】（2024秋•海淀区期末）在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【例2】（2024秋•平罗县期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交
【变式2-1】（2025•越秀区校级模拟）平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．以上都不是
【变式2-2】（2024秋•惠州期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O（ ）
A．相交B．相离C．相切D．相切或相交
【考点2切线的性质与判定定理】
【例3】（2025•泰安一模）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．若∠DAB＝58°，求∠ATC的度数是（ ）
A．51°B．58°C．61°D．58°
【变式3-1】（2025春•东台市期中）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（ ）
A．63°B．54°C．60°D．126°
【变式3-2】（2025•农安县校级模拟）如图，▱ABCD中，以边BC为直径的⊙O与边AD相切于点A，则∠B的大小为（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
【变式3-3】（2025春•渝中区校级月考）如图，在⊙O中，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝40°，则∠OCD为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【例4】（2025•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【变式4-1】（2024秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D．求证：直线BC是⊙O的切线．
【变式4-2】（2024秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【变式4-3】（2024秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【考点3 切线长定理】
【例5】（2024秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【变式5-1】（2024秋•雨花区校级月考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式5-2】（2024•永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
【变式5-3】（2024秋•新兴县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
【考点4 三角形的内切圆与内心】
【例6】（2025•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．25C．30D．35
【变式6-1】（2024秋•雄县期末）如图，△ABC中，内切圆Ⅰ和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【变式6-2】（2024秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．
【变式6-3】（2024秋•肇源县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 ．
专题24.2.2 直线与圆的位置关系（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
了解直线与圆的三种位置关系；
了解圆的切线的概念；
掌握直线与圆位置关系的性质。
【知识点梳理】
考点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
考点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
考点3 切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴；平分
考点4 三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
B
O
A D
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C
【典例分析】
【考点1 直线与圆的位置关系】
【例1】（2025•东明县一模）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相交或相切D．相离
【答案】C
【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：C．
【变式1-1】（2024秋•泗阳县期末）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相切或相交
【答案】D
【解答】解：分为两种情况：①如图1，当OP⊥直线l时，此时直线l与⊙O的位置关系是相切；
②如图2，当OP和直线l不垂直时，此时直线l与⊙O相交；
所以直线l与⊙O的位置关系是相切或相交，
故选：D．
【变式1-2】（2024秋•潼南区期末）已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交
【答案】D
【解答】解：∵⊙O的半径为3，PO＝3，
∴⊙O与直线l有公共点P，
∴直线l与⊙O相切或相交．
故选：D．
【变式1-3】（2024秋•海淀区期末）在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】B
【解答】解：连接CO，
∵CA＝CB，点O为AB中点，
∴OC⊥AB，
∵以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，
∴点C到AB的距离等于⊙C的半径，
∴⊙C与AB的位置关系是相切，
故选：B．
【例2】（2024秋•平罗县期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交
【答案】B
【解答】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，
到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选：B．
【变式2-1】（2025•越秀区校级模拟）平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．以上都不是
【答案】A
【解答】解：∵⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），
∴⊙P到y轴的距离d为4
∵d＝4＜r＝5
∴y轴与⊙P相交
故选：A．
【变式2-2】（2024秋•惠州期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O（ ）
A．相交B．相离C．相切D．相切或相交
【答案】A
【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5cm，r＝6cm，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
【考点2切线的性质与判定定理】
【例3】（2025•泰安一模）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．若∠DAB＝58°，求∠ATC的度数是（ ）
A．51°B．58°C．61°D．58°
【答案】C
【解答】解：如图，连接OT，
∵CT为⊙O的切线，
∴OT⊥CT，
∵TC⊥AC，
∴OT∥AC，
∴∠DAT＝∠OTA，
∵OA＝OT，
∴∠OAT＝∠OTA，
∴∠DAT＝∠OAT＝DAB＝29°，
∵TC⊥AC，
∴∠ACT＝90°，
∴∠ATC＝90°﹣29°＝61°，
故选C．
【变式3-1】（2025春•东台市期中）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（ ）
A．63°B．54°C．60°D．126°
【答案】A
【解答】解：∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠B＝36°，
∴∠AOC＝90°﹣∠B＝54°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝＝＝63°，
故选：A．
【变式3-2】（2025•农安县校级模拟）如图，▱ABCD中，以边BC为直径的⊙O与边AD相切于点A，则∠B的大小为（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
【答案】C
【解答】解：连接OA，
∵AD相切于⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴OA⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴∠B+∠BAO＝90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO＝×90°＝45°，
故选：C．
【变式3-3】（2025春•渝中区校级月考）如图，在⊙O中，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝40°，则∠OCD为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，∵AB与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝50°，
即∠AOC＝50°，
∴∠D＝∠AOC＝25°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD＝∠D＝25°，
故选：B．
【例4】（2025•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【答案】（1） 略（2）3
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝BC＝5，
由勾股定理得，AO＝＝3，
则⊙O的半径为3．
【变式4-1】（2024秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D．求证：直线BC是⊙O的切线．
【答案】略
【解答】证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过圆心O，
∴直线BC是⊙O的切线．
【变式4-2】（2024秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【答案】（1）略 （2）6．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
【变式4-3】（2024秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【答案】（1略 （2）4
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠EDO＝90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DE＝CF，∠CFD＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵OD⊥BC，
∴CF＝BC＝4，
∴DE＝CF＝4，
∴ED的长为4．
【考点3 切线长定理】
【例5】（2024秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【答案】D
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
【变式5-1】（2024秋•雨花区校级月考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解答】解：∵PA，PB均为⊙O切线，
∴PB＝PA＝5，
故选：D．
【变式5-2】（2024•永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
【答案】C
【解答】解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；
所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，
＝PF+FE+EG+PG，
＝PF+FA+GB+PG，
＝PA+PB
＝16cm，
故选：C．
【变式5-3】（2024秋•新兴县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】50
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
【考点4 三角形的内切圆与内心】
【例6】（2025•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．25C．30D．35
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O为三角形内心，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF＝3，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝AB•OE+AC•OF+BC•OD
＝×OD（AB+AC+BC）
＝3×20
＝30．
故选：C．
【变式6-1】（2024秋•雄县期末）如图，△ABC中，内切圆Ⅰ和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【解答】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝55°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣×50°＝65°．
故选：C．
【变式6-2】（2024秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．
【答案】6
【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2，
故（x+2）2+（x+3）2＝52，
解得：x＝1，
∴BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
故答案为：6．
【变式6-3】（2024秋•肇源县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 ．
【答案】5
【解答】解：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14，
∴2（BE+CE）＝10，
∴BC＝5．
故答案为：5．