数学点和圆的位置关系复习练习题

这是一份数学点和圆的位置关系复习练习题，共23页。

【学习目标】
了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。
掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。
能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。
【知识点梳理】
考点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr点P在⊙O外。
考点2 过三点的圆
过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【典例分析】
【考点1 点与圆的位置关系】
【例1】（2024秋•兴山县期末）已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【变式1-1】（2024秋•河西区期末）已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【变式1-2】（2024秋•沭阳县期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
【变式1-3】（2024秋•滦州市期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，点A与圆心O的距离为6，则下列说法正确在是（ ）
A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．无法判断
【例2】（2025•常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
【变式2-1】（2024秋•定州市期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（ ）
A．点C在⊙B内B．点C在⊙B上C．点C在⊙B外D．无法确定
【变式2-2】（2024秋•越秀区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A．点O在⊙A内B．点O在⊙A外
C．点O在⊙A上D．以上都有可能
【变式2-3】（2024秋•鼓楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D在⊙A ．（填“内”、“上”或者“外”）
【例3】（2024秋•大石桥市期末）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，则OP的长（ ）
A．小于5cmB．大于5cmC．小于10cmD．不大于10cm
【变式3-1】（2025•南山区模拟）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（ ）
A．1.5cmB．1.5cm或4.5cm
C．4.5cmD．3cm或9cm
【变式3-2】（2017•南通一模）一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．1.5cmB．7.5cm
C．1.5cm或7.5cmD．3cm或15cm
【变式3-3】（2024秋•宁波期末）在同一平面上，⊙O外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 cm．
【考点2 确定圆的条件】
【例4】（2025•石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径B．直径
C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点
【变式4-1】（2019秋•东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（ ）
A．1 个B．2个C．3个D．4 个
【变式4-2】（2019•吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4B．0或1或3C．0或1或3或4D．0或1或4
【例5】（2024秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【变式5-1】（2024秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
【变式5-2】（2024秋•甘州区校级期末）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．
【变式5-3】（2024秋•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【考点3 三角形的外接圆与圆心】
【例6】（2025•沈河区校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．3D．4
【变式6-1】（2024•醴陵市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为E，连接BD，则∠CBD的大小为（ ）
A．50°B．60°C．25°D．30°
【变式6-2】（2024•江干区模拟）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧BC上的点，且∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【变式6-3】（2024秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【例7】（2025•宣州区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（ ）
A．B．C．6D．12
【变式7-1】（2019秋•相城区期中）如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（ ）
A．3B．5C．3D．6
【变式7-2】（2019•南岗区校级开学）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则AC的长为（ ）
A．4B．C．D．
【变式7-3】（2024秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
专题24.2.1 点与圆的位置关系（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。 2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。
能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。
【知识点梳理】
考点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr点P在⊙O外。
考点2 过三点的圆
过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【典例分析】
【考点1 点与圆的位置关系】
【例1】（2024秋•兴山县期末）已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵OP＝7，r＝4，
∴OP＞r，
则点P在⊙O外，
故选：C．
【变式1-1】（2024秋•河西区期末）已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，点P与圆心O的距离为4cm，2cm＜4cm，
∴点P在圆外．
故选：C．
【变式1-2】（2024秋•沭阳县期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径为5，
而圆心O的距离为6，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
【变式1-3】（2024秋•滦州市期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，点A与圆心O的距离为6，则下列说法正确在是（ ）
A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴r＝4，
∵d＞r，
∴点A在⊙O外，
故选：A．
【例2】（2025•常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
【答案】D
【解答】解：∵AB＝300cm，BC＝400cm，AC＝500cm，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
∴AD＝CD＝250cm，BD＝AC＝250cm，
∵250＜300，
∴点A、B、C都在圆内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
【变式2-1】（2024秋•定州市期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（ ）
A．点C在⊙B内B．点C在⊙B上C．点C在⊙B外D．无法确定
【答案】C
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝AC＝2，
∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，
∴R＜d，
∴点C在⊙B外．
故选：C．
【变式2-2】（2024秋•越秀区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A．点O在⊙A内B．点O在⊙A外
C．点O在⊙A上D．以上都有可能
【答案】B
【解答】解：∵圆心A（﹣4，﹣3）到原点O的距离OA＝＝5，
∴OA＝5＞r＝4，
∴点O在⊙A外，
故选：B．
【变式2-3】（2024秋•鼓楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D在⊙A ．（填“内”、“上”或者“外”）
【答案】上
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴AD＝＝＝2，
∵⊙A半径为2，
∴斜边AB的中点D在⊙A上，
故答案是：上．
【例3】（2024秋•大石桥市期末）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，则OP的长（ ）
A．小于5cmB．大于5cmC．小于10cmD．不大于10cm
【答案】B
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，
∴OP＞5cm，
故选：B．
【变式3-1】（2025•南山区模拟）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（ ）
A．1.5cmB．1.5cm或4.5cm
C．4.5cmD．3cm或9cm
【答案】D
【解答】解：当点在圆外，则该圆的直径＝6cm﹣3cm＝3cm；当点在圆内，则该圆的直径＝6cm+3cm＝9cm，
即该圆的直径为3cm或9cm．
故选：D．
【变式3-2】（2017•南通一模）一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．1.5cmB．7.5cm
C．1.5cm或7.5cmD．3cm或15cm
【答案】C
【解答】解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．
故选：C．
【变式3-3】（2024秋•宁波期末）在同一平面上，⊙O外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 cm．
【答案】3
【解答】解：如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，
∵圆外一点P到⊙O的最长距离为8cm，最短距离为2cm，
∴圆的直径是8﹣2＝6（cm），
∴圆的半径是3cm．
故答案为：3
【考点2 确定圆的条件】
【例4】（2025•石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径B．直径
C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点
【答案】D
【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；
B、已知直径能确定一个圆；
C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；
D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．
故选：D．
【变式4-1】（2019秋•东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（ ）
A．1 个B．2个C．3个D．4 个
【答案】C
【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上，
∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，
故选：C．
【变式4-2】（2019•吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4B．0或1或3C．0或1或3或4D．0或1或4
【答案】C
【解答】解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
【例5】（2024秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【答案】（2，1）
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
【变式5-1】（2024秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
【答案】A
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【变式5-2】（2024秋•甘州区校级期末）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．
【答案】略
【解答】解：作图如右：
【变式5-3】（2024秋•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【答案】（1）略 （2）R＝cm
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
【考点3 三角形的外接圆与圆心】
【例6】（2025•沈河区校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
即⊙O的半径是3，
故选：C．
【变式6-1】（2024•醴陵市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为E，连接BD，则∠CBD的大小为（ ）
A．50°B．60°C．25°D．30°
【答案】C
【解答】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠CDB）＝（180°﹣130°）＝25°，
故选：C．
【变式6-2】（2024•江干区模拟）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧BC上的点，且∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝40°，
∵＝，
∴∠BCD＝∠BAD＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝100°，
故选：D．
【变式6-3】（2024秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【答案】D
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【例7】（2025•宣州区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴∠APO＝90°，
在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，
∴OA＝2OP＝4，
∴圆O的直径为8．
故选：B．
【变式7-1】（2019秋•相城区期中）如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（ ）
A．3B．5C．3D．6
【答案】B
【解答】解：连接OC，OB，
∵CD垂直AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝3，AC＝6，
∴CD＝AC，
∴∠A＝30°，
∴∠O＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵⊙O的半径为5，
∴BC＝5，
故选：B．
【变式7-2】（2019•南岗区校级开学）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则AC的长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴AP＝CP，OA＝2OP＝4，
∴AP＝＝2，
∴AC＝2AP＝4，
故选：C．
【变式7-3】（2024秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB•cs∠OBD＝2×cs30°＝2×＝，OD＝OB＝1，
∴BC＝2．
∴等边△ABC的面积为3S△BCO＝3×BC•OD＝3××1＝3．
故选：D．