初中数学人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径综合训练题，共45页。试卷主要包含了利用垂径定理求线段长问题，利用垂径定理求平行弦问题，利用垂径定理求同心圆问题，利用垂径定理解实际应用问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、利用垂径定理求线段长问题
例1．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于，若，，则 ．
【变式1-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ．
【变式1-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为 ．
【变式1-3】（24-25九年级上·广东·期末）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ．
类型二、利用垂径定理求平行弦问题
例2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）．
A．7或17B．7C．7或12D．12
【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ．
【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，．
（1）点到的距离为 ；
（2）的值为 ．
类型三、利用垂径定理求同心圆问题
例3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．C．D．
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
【变式3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
类型四、利用垂径定理解实际应用问题
例4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
【变式4-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ．
【变式4-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径．
【变式4-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)作于点C，求的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川内江·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为( )
A．1B．2C．3D．4
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则 的半径长为（ ）
A．4 米B．5 米C．6 米D．8 米
4．（22-23九年级上·全国·期中）如图所示：两个同心圆，半径分别是与，矩形边分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，矩形的周长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 ．
7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则截面圆的半径为 ．
8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ．
9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ．
10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．

（1）当时，的长为 ；
（2）在滑动过程中，的最大值是 ．
三、解答题
11．（24-25九年级上·广东东莞·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d．
12．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点．
(1)试说明；
(2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径．
13．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯．
(1)求的半径的长；
(2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为，求M，N之间的水平距离．
14．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，
(1)求的半径长；
(2)连接，求的长．
(3)作于点F，求的长．
15．（2025·广西钦州·二模）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，．
(1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22834" 典例详解
\l "_Tc20018" 类型一、利用垂径定理求线段长问题
\l "_Tc12746" 类型二、利用垂径定理求平行弦问题
\l "_Tc16038" 类型三、利用垂径定理求同心圆问题
\l "_Tc13014" 类型四、利用垂径定理解实际应用问题
\l "_Tc241" 压轴专练
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，可拓展为“过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧”知二推三。
2.关键公式：结合勾股定理，设圆半径为r、弦心距为d、弦长为l，则r2 = d2+ (l2)2，用于关联未知线段。
解题技巧
1.构造直角三角形：作圆心到弦的垂线，连接圆心与弦端点，将半径、弦心距、半弦长转化为直角三角形三边。
2.方程思想：设未知量（如半径、弦心距），根据定理和勾股定理列方程，代入已知数据求解，避免漏用半弦长条件。
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对弧，平行弦可共用同一条与它们垂直的直径（或弦心距），该直径平分两条平行弦。
2.关键关系：设圆半径r、弦心距分别为d1、d2，弦长l1、l2，则r2 = d2+ (l12)2和r2 = d2+ (l22)2，两弦心距和或差需结合位置（同侧/异侧）确定。
解题技巧
1.定位弦心距：先作垂直于平行弦的直径，明确两弦与圆心的位置关系（同侧或异侧），确定弦心距是相加还是相减。
2.列方程求解：利用半径相等建立等式，代入已知弦长或弦心距，设未知量求解，避免忽略位置对弦心距关系的影响。
知识点总结
1. 核心性质：同心圆半径不同（设为R、r，R>r），若一条直线截两圆得弦AB（大圆）、CD（小圆），且直线垂直于过圆心的半径，则由垂径定理，半径平分两弦，即OA=R，OC=r，AB=2AE，CD=2CE。
2. 关键等式：结合勾股定理，得AE2 = R2- OE2，CE2= r2 - OE2（OE为圆心到直线的距离），可关联两弦长或距离。
解题技巧
1. 作公共弦心距：过圆心作截线的垂线（公共弦心距OE），构建含大圆半径、小圆半径、弦心距的两个直角三角形。
2. 用半径差列算：利用两直角三角形共弦心距的特点，通过勾股定理表示弦长一半，再根据所求（如弦长差、距离）设未知量求解，避免混淆两圆半径。
知识点总结
1.核心关联：实际问题（如隧道、拱桥、管道截面）常可抽象为圆或圆弧模型，垂径定理适用于此类圆形截面，即垂直于弦的直径平分弦，结合勾股定理（r2 = d2+ (l2)2，r为半径，d为弦心距，l为弦长）建立等量关系。
2.关键转化：需将实际中的“跨度”“高度”“直径”等条件，对应为圆中的弦长、弦心距、半径，明确已知量与未知量的几何意义。
解题技巧
1.建模画图：先根据题意画出圆形截面图，标注圆心、半径、弦（对应实际跨度）、弦心距（对应实际高度相关量），将文字条件转化为几何元素。
2.设元列方程：设未知量（如半径r），用r表示弦心距（如r - 实际高度），代入勾股定理列方程，求解后验证是否符合实际场景（如半径为正）。
专题14 垂径定理的四类综合题型
类型一、利用垂径定理求线段长问题
例1．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于，若，，则 ．
【答案】
【分析】连接，根据已知易得：，再根据垂径定理可得：，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
为的直径，，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
【变式1-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案．
【详解】解：，
，
在中，，
，
故答案为：2．
【变式1-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据题意正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图，连接，由垂径定理可得，然后分当C点位于优弧上和劣弧上两种情况，分别根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵的直径，，，
∴，
如图1：当C点位于优弧上时，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图2：当C点位于劣弧上时，同理可得：，
∵，
∴，
∴．
综上，的长为或．
故答案为或．
【变式1-3】（24-25九年级上·广东·期末）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可．
【详解】解：点D是弧的中点，
，
为的直径，，
，
，，
，
，
，
设圆的半径为R，连接，
根据勾股定理，得到，
解得，
故答案为：15．
类型二、利用垂径定理求平行弦问题
例2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）．
A．7或17B．7C．7或12D．12
【答案】A
【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接，
，，，
则，
，
，，
，
此时弦与的距离为17；
当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，
同理，，
，，
，
此时弦与的距离为7，
弦与的距离为17或7．
故选：A．
【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，交于点，连接，．
，，
．
，，，
，．
在中，．
在中，．
当，在圆心的同侧时，
；
当，在圆心的异侧时，
．
故答案为：或．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O，的中点为M，的中点为N，
连接，，则，，且过圆心O，
∴，，
由题意，得，设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴纸杯的直径为．
故答案为：．
【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，．
（1）点到的距离为 ；
（2）的值为 ．
【答案】 4
【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图，连接并延长交于点，先得出，求出，根据勾股定理即可得出答案；
（2）连接．记与的交点为，设，根据勾股定理得出，得出，再求出，再根据勾股定理得出答案即可．
【详解】（1）如图，连接并延长交于点，
∵，两点关于对称，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为4；
故答案为：4；
（2）如图，连接．记与的交点为，
设，
在中，，
解得，
∴，
∵，两点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
类型三、利用垂径定理求同心圆问题
例3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ．
【答案】
【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或r（舍去），
即小圆半径是，
故答案为：．
【变式3-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
【答案】(1)见解析
(2)大圆的半径为
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；
（1）作于E，根据垂径定理得到即可得到；
（2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可．
【详解】（1）证明：如图：作于E，
由垂径定理，得：
即；
（2）解：如图，连接，
，
，
在和中，由勾股定理，得：
，
，
即，
解得：
大圆的半径为．
【变式3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；
（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
类型四、利用垂径定理解实际应用问题
例4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形，通过半径和已知深度求出直角边的长度，再计算弦长．
确定；在中用勾股定理求；由垂径定理得．
【详解】由题意知，的半径，且于点C，根据垂径定理，平分弦，即．
已知液体最大深度，则．
在中，由勾股定理：
代入数据：，解得．
因此，弦．
故答案为：24．
【变式4-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设该拱门的半径，
根据题意得在的直径上，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中利用勾股定理，得，
∴，
∴，
∴该拱门的半径是，
故答案为：．
【变式4-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径．
【答案】该圆形工件的半径．
【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可．
【详解】解：圆心落在上，平分，
线段垂直平分线段，
、、三点所在圆的圆心在上，
，
连接，则，
设的半径为，
，
，
，
解得：，
该圆形工件的半径．
【变式4-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)作于点C，求的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？
【答案】(1)的长
(2)此时水面截线减少了
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．
（1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答；
（2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答．
【详解】（1）解：如图1：连接，

∵，
∴
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，解得：，
∴的长．
（2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，
∴
由题意可知：
在中，根据勾股定理得：，
∴ ，解得：，
∴，
∴，
∴此时水面截线减少了．
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理并结合题意作出辅助线．
根据题意画出图形，再根据线段长度相等得到等腰直角三角形，进而得到圆心角度数为．
【详解】解：由题意得：
过点O作
是等腰直角三角形，

故选：B ．
2．（2025·四川内江·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．
先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】解∶∵是的直径，且，
∴．
在中，，
∴．
故选∶B．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则 的半径长为（ ）
A．4 米B．5 米C．6 米D．8 米
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为，
∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径长为米．
故选：B．
4．（22-23九年级上·全国·期中）如图所示：两个同心圆，半径分别是与，矩形边分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，矩形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】题目主要考查矩形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
连接，作于P，于M，于N．根据矩形的性质得出矩形的面积是三角形的面积的4倍，再由题意得出当时，三角形的面积最大，利用勾股定理得出，再由等面积法确定，结合图形即可求解．
【详解】解：连接，作于P，于M，于N．
∴四边形为矩形，，
∴，
∴，，
∴矩形的面积是三角形的面积的4倍．
∵的长是定值，
∴当时，三角形的面积最大，
∵，，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴矩形的周长是，
故选：D．
5．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解．
【详解】解：如图，连接，
∵过A作于点C，过B作于点D，
∴，，
∵，A、B是上的两点，
∴ ，
∴，，
∴，，
∴ ，
延长与⊙O相交于点G，
∵MN为的直径，，
∴，，
∴ ，
当点P在直线上时，取最小值，且最小值，
过G作于点H，
又∵，
∴，， ，
∴四边形是矩形，
∴， ，
∴ ，
∴ ，
∴的最小值是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
二、填空题
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 ．
【答案】6
【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键．
【详解】解：∵过圆心O，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴．
故答案为6．
7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则截面圆的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论．
【详解】解：由题意知，
，
设球形的半径，则，
在中，，
，
解得，
故答案为：5．
8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点作于点，连接，由垂径定理得出，再由得出，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
∵是的直径，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ．
【答案】1或7
【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．连接、，过点作于，交于，则，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出、，即可得出答案．
【详解】解：连接，．过点作于，交于，
当和在圆心的同侧时，如图所示，
，，
，
，，
，，
根据勾股定理，得
，，
则．
当和在圆心的两侧时，如图所示，
，，
，
，，
，，
根据勾股定理，得
，，
则．
故答案为：1或7．
10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．

（1）当时，的长为 ；
（2）在滑动过程中，的最大值是 ．
【答案】 3 3
【分析】（1）如图所示，连接，可得是等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，连接，

∵，
∴，
∴，是等边三角形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
（2）如图所示，延长交于点，连接，

∵，是直径，
∴，即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
当为直径时，即，的值最大，则的值最大，
∴的最大值是；
故答案为：①；② ．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
三、解答题
11．（24-25九年级上·广东东莞·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，，
∴，
∵，
∴，
∵纸条宽为，，．
∴，，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径长为．
12．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点．
(1)试说明；
(2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径．
【答案】(1)见解析
(2)花园的半径为50米
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理．
（1）根据等腰三角形的性质求得，根据垂径定理求得，再利用线段的和差计算即可得到；
（2）连接，设的半径为r米，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，，
∴，，
∴，即；
（2）解：连接，
设的半径为r，则米，米，
∵，
∴米，
在中，，
解得，即花园的半径为50米．
13．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯．
(1)求的半径的长；
(2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为，求M，N之间的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）设、交于点G，、交于点，设的半径的长为，根据垂径定理求出，用含r的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可；
（2）连接，求出，在中利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出即可．
【详解】（1）解：如图，设、交于点G，、交于点，
设的半径的长为，
，，
，
，
，
，
，
，
在中利用勾股定理，得：，
即，
解得，
的半径的长是．
（2）解：连接，
，
，
，
，
在中利用勾股定理，得：
，
，
，N之间的水平距离是．
14．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，
(1)求的半径长；
(2)连接，求的长．
(3)作于点F，求的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）连接，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）先求出，利用勾股定理计算出，
（3）由和垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】（1）解：连接，如图，
设得半径为r，
∵，
∴， ，
∵，，
∴，
在中， ，
∴，
解得，
即的半径长为5；
（2）解： ∵，，，，
∴，
∴在中，，
（3）∵，，
∴，
∴在中，，
即的长；
15．（2025·广西钦州·二模）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，．
(1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解；
（2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明；
（3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
同理可得，，，
∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22834" 典例详解
\l "_Tc20018" 类型一、利用垂径定理求线段长问题
\l "_Tc12746" 类型二、利用垂径定理求平行弦问题
\l "_Tc16038" 类型三、利用垂径定理求同心圆问题
\l "_Tc13014" 类型四、利用垂径定理解实际应用问题
\l "_Tc241" 压轴专练
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，可拓展为“过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧”知二推三。
2.关键公式：结合勾股定理，设圆半径为r、弦心距为d、弦长为l，则r2 = d2+ (l2)2，用于关联未知线段。
解题技巧
1.构造直角三角形：作圆心到弦的垂线，连接圆心与弦端点，将半径、弦心距、半弦长转化为直角三角形三边。
2.方程思想：设未知量（如半径、弦心距），根据定理和勾股定理列方程，代入已知数据求解，避免漏用半弦长条件。
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对弧，平行弦可共用同一条与它们垂直的直径（或弦心距），该直径平分两条平行弦。
2.关键关系：设圆半径r、弦心距分别为d1、d2，弦长l1、l2，则r2 = d2+ (l12)2和r2 = d2+ (l22)2，两弦心距和或差需结合位置（同侧/异侧）确定。
解题技巧
1.定位弦心距：先作垂直于平行弦的直径，明确两弦与圆心的位置关系（同侧或异侧），确定弦心距是相加还是相减。
2.列方程求解：利用半径相等建立等式，代入已知弦长或弦心距，设未知量求解，避免忽略位置对弦心距关系的影响。
知识点总结
1. 核心性质：同心圆半径不同（设为R、r，R>r），若一条直线截两圆得弦AB（大圆）、CD（小圆），且直线垂直于过圆心的半径，则由垂径定理，半径平分两弦，即OA=R，OC=r，AB=2AE，CD=2CE。
2. 关键等式：结合勾股定理，得AE2 = R2- OE2，CE2= r2 - OE2（OE为圆心到直线的距离），可关联两弦长或距离。
解题技巧
1. 作公共弦心距：过圆心作截线的垂线（公共弦心距OE），构建含大圆半径、小圆半径、弦心距的两个直角三角形。
2. 用半径差列算：利用两直角三角形共弦心距的特点，通过勾股定理表示弦长一半，再根据所求（如弦长差、距离）设未知量求解，避免混淆两圆半径。
知识点总结
1.核心关联：实际问题（如隧道、拱桥、管道截面）常可抽象为圆或圆弧模型，垂径定理适用于此类圆形截面，即垂直于弦的直径平分弦，结合勾股定理（r2 = d2+ (l2)2，r为半径，d为弦心距，l为弦长）建立等量关系。
2.关键转化：需将实际中的“跨度”“高度”“直径”等条件，对应为圆中的弦长、弦心距、半径，明确已知量与未知量的几何意义。
解题技巧
1.建模画图：先根据题意画出圆形截面图，标注圆心、半径、弦（对应实际跨度）、弦心距（对应实际高度相关量），将文字条件转化为几何元素。
2.设元列方程：设未知量（如半径r），用r表示弦心距（如r - 实际高度），代入勾股定理列方程，求解后验证是否符合实际场景（如半径为正）。