四川省安岳中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题含答案解析含答案解析含答案解析

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考试时间：120分钟；满分：150分；
一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分）
1. 若直线与直线平行，则（ ）
A 1B. C. 3D.
2. 在等差数列中，若，则的值为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
3. 已知数列满足：，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ）
A B. C. D.
5. 在数列中，若，则（ ）
A. 1012B. 1013C. 2023D. 2024
6. 已知正三棱柱的各条棱长均相等，棱的中点为，则直线与直线所成的角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
7 已知正项数列满足，若，则（ ）
A. B. 10C. D. 5
8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分）
9. 下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）
A. 数列是等差数列B. 数列是等差数列
C. 数列是递增数列D. 数列是递增数列
10. 已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则点的横坐标为B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D. 周长的最小值为
11. 一组样本数据，，，…的平均数为，方差为，由，，，组成的样本的平均数为，方差为，由，，，，，组成的样本的平均数为，方差为，若，则（ ）
A. ，，，…，的中位数等于，，，，，的中位数
B. ，，，…，的30%分位数等于，，，，，的20%分位数
C.
D
三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分）
12. 在平行六面体中，为棱的中点，为棱上一点．记，若，则______．
13. 已知、分别为等差数列、的前项和，，则_____．
14. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.
四、解答题
15. 设是等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值.
16. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
17. 已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；
18. 已知三棱柱中，，，，．
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
19. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4.
（1）求椭圆的方程.
（2）若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点.
（3）在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值.