四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），文件包含四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题原卷版docx、四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟；满分：150 分；
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知空间直角坐标系 中的点 关于 平面的对称点为 ，则 为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】写出点 关于 平面的对称点 的坐标，再求 的值．
【详解】空间直角坐标系 中的点 关于 平面的对称点为 ，
所以 ．
故选：A．
2. 以下一些说法，其中正确的有（ ）
A. 一年按 365 天计算，两名学生的生日相同的概率是
B. 买彩票中奖的概率是 0.001，那么买 1000 张彩票一定能中奖
C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从 1～10 共 10 个数中各抽取 1 个，再比较大小，
这种抽签方法是公平的
D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为 90%”是错误的
【答案】C
【解析】
【分析】对于 A 选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于 B 选项，
买彩票中奖的概率是 0.001，这是中奖的可能性，对于 C 选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于 D 选
项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生.
【详解】对于 A 选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为 ，故 A 错误；
对于 B 选项，买彩票中奖的概率是 0.001，这是中奖的可能性，不代表买 1000 张彩票一定能中奖，故 B 错
误；
对于 C 选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故 C 正确；
第 1页/共 18页
对于 D 选项，概率 一种可能性，不代表事件是否一定发生，故 D 错误.
故选：C.
3. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
【详解】圆 ，则圆心 ，半径 ，
圆 ，则圆心 ，半径 ，
则 ，
由于 ，即 ，
故圆 与圆 的位置关系为相交．
故选：D．
4. 在平行六面体 中， ， ，则
的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量运算求得正确答案.
【详解】依题意， ，
所以
第 2页/共 18页
.
所以 .
故选：B
5. 从两名男生，两名女生共 4 名同学中随机选 2 名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型的概率计算公式，利用列举法，可得答案.
【详解】两名男生标记为 ， ，两名女生标记为 ， .
从中随机选 2 名参加社会实践的事件有 ， ， ， ， ， ，共计 6
种.
其中两名同学性别不同的事件有 ， ， ， ，共计 4 种，
所求概率 .
故选：D.
6. 若直线 与曲线 C： 有两个不同的公共点，则 k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据曲线的方程可得曲线 是以原点为圆心， 为半径的圆的 轴的上半部分（含 轴），
求出直线与圆相切时 的值，再结合图形即可求解.
【详解】由 得 ，
第 3页/共 18页
所以曲线是以原点为圆心， 为半径的圆的 轴的上半部分（含 轴），
直线 过定点 ，
当直线 与圆 相切时，
圆心到直线的距离 ，
解得 或 （舍去），
当直线 过点 时，
直线斜率为 ，
结合图形可得实数 的取值范围是 .
故选：C.
7. 已知 M，N 分别是四面体 的棱 ， 的中点，点 P 在线段 上，且 ，设向量
， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
第 4页/共 18页
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得.
【详解】在四面体 中， 分别为 的中点，且 ，
所以
.
故选：C
8. 若圆 上存在两个点到直线 的距离为 ，则实数 m 的取值范围
是（ ）
A. B.
C. 或. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为距离 距离为 的直线与圆 有且只有两个
交点.
【详解】由两平行直线距离公式可知，与 相距 的直线为 与
.
又 的圆心为 ，半径为 ， 与 相距
.
则 与 中一条直线与圆相交，另一条与圆相离.
即一条直线到 距离小于 ，另一条直线到 距离大于 .
则 或 或 .
故选：C
二、多选题（每小题 6 分，部分选按正确答案平均得分，多选或选错得 0 分，共 18 分）
第 5页/共 18页
9. 不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各 2 张，一次任意取出 2 张卡片，则与事件“2 张卡片都为红色
”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2 张卡片都不 红色 B. 2 张卡片恰有一张红色
C. 2 张卡片至少有一张红色 D. 2 张卡片都为绿色
【答案】ABD
【解析】
【分析】列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.
【详解】解：6 张卡片中一次取出 张卡片的所有情况有：
“2 张都为红色”､“2 张都为绿色”､“2 张都为蓝色”､“1 张为红色 1 张为绿色”､“1 张为红色 1 张为蓝色”､“1 张为
绿色 1 张为蓝色”，
选项中给出的四个事件中与“2 张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2 张都不是红色”，“2 张恰有一张红色”，
“2 张都为绿色”，
其中“2 张至少一张为红色”包含事件“2 张都为红色”，二者并非互斥.
故选：ABD.
10. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 已知向量 ， ，若 ，则 为钝角
B. 已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是
C. 若直线 经过第三象限，则 ，
D. 已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四
点共面
【答案】BD
【解析】
【分析】取 可得 ，进而得到 A 错误；由投影向量的计算可得 B 正确；令
可得 C 错误；由空间向量共面定理可得 D 正确；
【详解】对于 A，当 时， ， ， ，
此时 为 ，故 A 错误；
第 6页/共 18页
对于 B，向量 在向量 上的投影向量为 ，故
B 正确；
对于 C，令 ，则直线 为 ，且经过第三象限，
但此时 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ， ，
所以由向量共面定理的推论可得 ， ， ， 四点共面，故 D 正确；
故选：BD.
11. 已知曲线 ，则（ ）
A. 关于 轴对称 B. C 关于原点对称
C. 的周长为 D. 直线 与 有 个交点
【答案】ABC
【解析】
【分析】设点 在曲线 上，分别代入点 与 ，可判断 AB 选项； 分别确定曲
线在各象限时的图形及其对应的曲线，可判断 C 选项与 D 选项.
【详解】
设点 在曲线 上，即 ，
A 选项：代入点 ，可知 ，
即点 在曲线 上恒成立，所以曲线 关于 轴对称，A 选项正确；
B 选项：代入点 ，得 ，
即点 在曲线 上恒成立，所以曲线 关于原点对称，B 选项正确；
C 选项：当 时， ，当 时， 或 ，即 过 ， ， 三点，
当 ， 时方程为 ，即 ，表示以点 为圆
第 7页/共 18页
心， 为半径的圆在第一象限的部分；
当 ， 时方程为 ，即 ，表示以点 为圆心，
为半径的圆在第四象限的部分；
当 ， 时方程为 ，即 ，表示以点 为
圆心， 为半径的圆在第二象限的部分；
当 ， 时方程为 ，即 ，表示以点 为圆
心， 为半径的圆在第三象限的部分；
曲线在第一象限部分的方程为 设圆心为 ，与 轴的两个交点为
， ，则 ，
所以第一象限内图形所表示弧长为 ，
又曲线 关于 轴及原点对称，所以曲线 的周长为 ，C 选项正确；
D 选项：直线 ，过点 ，在曲线 右半部分的内部，
所以与曲线 右半部分有 个交点，且直线不过坐标原点，
又直线 当 时， ，
即过点 ，在曲线 左半部分的内部，
所以直线与曲线 左半部分有 个交点，
综上所述直线与曲线 有 个交点，D 选项错误；
故选：ABC.
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12. 在棱长为 1 的正方体 中， 为棱 上任意一点，则 =_______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.
【详解】如图，在正方体中， 为棱 上任意一点，则 ， ，
第 8页/共 18页
.
故答案为：1.
13. 已知圆 ， 是 x 轴上动点， 分别是圆 的切线，切点分别为 两点，
则直线 恒过定点________．
【答案】
【解析】
【分析】先设 ，然后求出直线 的方程，计算定点即可.
【详解】设 , ，易知
由平面向量数量积的几何意义可知，
所以有
所以点 在直线 上
故直线 的方程为 ，过定点
故答案为：
14. 某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.
规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为 ，第二题答对的概率为 ，第三题答
对的概率为 ，若答对两题，则可获得价值 100 元的奖品，若答对三题，则可获得价值 200 元的奖品，若
第 9页/共 18页
答对的题数不够 2 题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则
两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的事件为甲得 100 元且乙得 200 元，或甲得 200 元且乙
得 100 元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.
【详解】两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的事件为：
甲得 100 元且乙得 200 元，或甲得 200 元且乙得 100 元，
即甲答对 2 题且乙答对 3 题，或甲答对 3 题且乙答对 2 题，
又每位顾客答对 2 题的概率为 ，
每位顾客答对 3 题的概率为 ，
所以两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的概率为：
.
故答案为：
四、解答题（15 题 13 分，16 题和 17 题每题 15 分，18 题和 19 题每题 17 分，共 77 分）
15. 已知空间三点 ，设 .
（1）求 和 的夹角 的余弦值;
（2）若向量 与 互相垂直，求 的值.
【答案】（1）
（2）2 或
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出 ，再利用向量夹角的坐标表示计算即得.
（2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可.
【小问 1 详解】
由点 ，得 ，
第 10页/共 18页
所以 ，所以 和 夹角 的余弦值为
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，
因为向量 与 互相垂直，
则 ，
整理可得 ，解得 或 ，
所以 的值为 2 或 .
16. 求满足下列条件的直线方程.
（1）过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程；
（2）已知 ， ，两直线 ， 交点为 ，求过点 且与
距离相等的直线方程.
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）依题意，考虑截距相等包括均 0 和相等且不为 0 两种情况分类求解；
（2）先求得两直线的交点坐标，由题意，分别求与直线 平行的直线方程和经过 的中点 的直线方
程即可.
【小问 1 详解】
当直线 过原点时，可得所求直线为 ，即 ，满足题意；
当直线 不过原点时，依题意可设直线 的方程为 ，其中 ，
代入 ，可得 ，解得 ，
所以所求直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 .
第 11页/共 18页
【小问 2 详解】
由题意，联立方程组 ，解得 ，即得 ，
当直线 过点 且与 平行，可得 ，即直线 的斜率 ，
故直线 的方程 ，即 ；
当直线 过点 和 的中点 时，因为 ， ，可得 ，则 ，
所以直线 的方程 ，即 ，
综上，满足条件的直线方程为 或 .
17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有 两
道题目，比赛按先 题后 题的答题顺序各答 1 次，答对 题得 2 分，答对 题得 3 分，答错得 0 分.已知
学生甲答对 题的概率为 ，答对 题的概率为 ，其中 ，学生乙答对 题的概率为
，答对 题的概率为 ，且甲乙各自在答 两题的结果互不影响.已知甲比赛后得 5 分的概率为 ，得 3
分的概率为 .
（1）求 的值；
（2）求比赛后，甲乙总得分不低于 8 分的概率.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.
（2）记甲得分为 i 分的事件为 ，乙得分为 i 分的事件为 ，从而得到不低于
8 分的事件为 ，再结合概率加法、乘法公式即可求解.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
第 12页/共 18页
解得 .
【小问 2 详解】
比赛结束后，甲､乙个人得分可能为 .
记甲得分为 i 分的事件为 ，乙得分为 i 分的事件为 ，
相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于 8 分为事件 E，
则 ，且 彼此互斥.
易得 .
，
所以
所以两轮投篮后，甲总得分不低于 8 分的概率为 .
18. 图 1 是直角梯形 ， ， ，四边形 是边长为 4 的菱形，并且
，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图 2.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ，若存在，则 的值；
（3）在（2）的前提下，求出直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
第 13页/共 18页
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到 ⊥BE， ⊥BE，且 ，由勾股定理逆定理求出 AF
⊥ ，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用空间向量求解出点 P 的坐标，
（3）根据（2）可得 ，利用空间向量求线面夹角.
【小问 1 详解】
取 BE 的中点 F，连接 AF， ，
因为四边形 ABCE 是边长为 4 的菱形，并且 ，
所以 均为等边三角形，
故 ⊥BE， ⊥BE，且 ，
因为 ，所以 ，
由勾股定理逆定理得：AF⊥ ，
又因为 ， 平面 ABE，
所以 ⊥平面 ABED，
因为 平面 ，
第 14页/共 18页
所以平面 平面 ABED；
【小问 2 详解】
以 F 为坐标原点，FA 所在直线为 x 轴，FB 所在直线为 y 轴， 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ， ， ，
即 ，解得： ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
其中
则 ，
解得： 或 （舍去），
所以存在点 ，使得 到平面 的距离为 ，此时 .
【小问 3 详解】
由（2）可得： ，
第 15页/共 18页
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 已知圆 与圆 内切．
（1）求 的值．
（2）直线 与圆 交于 两点，若 ，求 的值；
（3）过点 作倾斜角互补的两条直线分别与圆 相交，所得的弦为 和 ，若 ，求实数
的最大值．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由圆 O 与圆 E 内切以及圆 E 半径和圆心 O 与圆 E 位置关系可得 ，进而
得解.
（2）设 ，联立圆 与直线 方程求出 和 即可由数量积
计算得解.
（3）分直线 斜率不存在、斜率为 0、斜率存在且不为 0 三种情况分类讨论，结合点到直线距离以及点
斜 式 依 次 得 和 ， 接 着 分 和 结 合 对 勾 函 数
的单调性和值域即可求出 时的取值范围，从而得解.
【小问 1 详解】
由题意得 ， ，
第 16页/共 18页
故圆心 ，圆 E 半径为 ，
因为 ，故 在圆 E 上，
所以圆 O 的半径 ，且 ，故 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，联立 ，
设 ，则 恒成立，
且 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
【小问 3 详解】
如图，因为直线 和直线 倾斜角互补，
所以当直线 斜率不存在时，此时直线 的斜率也不存在，
此时 ， ，
当直线 的斜率为 0 时，直线 的斜率为 0，不满足倾斜角互补，
当直线 斜率存在且不为 0 时，设直线 即 ，
圆心 O 到直线 的距离为 ，
第 17页/共 18页
故 ，
由直线 方程得直线 的方程为 即 ，
同理得 ，
则 ，
当 ， ，
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，
所以 时 ，故 ，
所以 ，
当 ， ，
由上知 时 ，故 ，
所以 .
综上， .
第 18页/共 18页