（人教A版）选择性必修二高二上学期期末数学试卷（基础篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．过点1,2且与直线2x+y−3=0平行的直线的方程为（ ）
A．2x−y=0B．2x−y−4=0
C．2x+y−4=0D．2x+y−5=0
【解题思路】设出所求的直线方程，再利用待定系数法求解即得.
【解答过程】依题意，设所求直线方程为2x+y−m=0(m≠3)，因此2×1+2−m=0，解得m=4，所以过点1,2且与直线2x+y−3=0平行的直线的方程为2x+y−4=0.故选：C.
2．利用数学归纳法证明fn=1+2+3+4+⋅⋅⋅+4n−1时，第一步应证明（ ）
A．f1=1B．f1=1+2+3
C．f2=1+2D．f1=1+2+3+4
【解题思路】观察f(n)为4n−1项连续正整数之和的规律，可得f(1).
【解答过程】由题意f(n)=1+2+3+⋯+4n−1，n∈N∗，即从1起连续4n−1项正整数之和.
则f(1)为从1起连续3个正整数之和，故第一步应证明f(1)=1+2+3.故选：B.
3．三棱柱ABC−DEF中，G为棱AD的中点，若BA=a，BC=b，BD=c，则CG=（ ）
A．−a+b−cB．−12a+b+c
C．−12a+12b+cD．12a−b+12c
【解题思路】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.
【解答过程】CG=CA+AG=CA+12AD=BA−BC+12BD−BA=a−b+12c−a=12a−b+12c
故选：D.
4．设a>b>0，若双曲线C1：x2a2−y2b2=1的离心率为72，则椭圆C2：x2a2+y2b2=1的离心率为（ ）
A．22B．12C．32D．233
【解题思路】由双曲线的离心率得a,b关系，再根据椭圆中a,b,c关系变形得出椭圆离心率．
【解答过程】由题意a2+b2a=72，b2a2=34，所以椭圆的离心率为e=1−b2a2=1−34=12故选：B．
5．已知e1、e2、e3为空间三个不共面的向量，向量a=e1+μe2+4e3，b=3e1+9e2+λe3，若a与b共线，则λ+μ=（ ）
A．−3B．3C．−15D．15
【解题思路】设a=kbk∈R，根据空间向量共线的基本定理可得出关于k、λ、μ的方程组，解出这三个量的值，即可得解.
【解答过程】因为e1、e2、e3为空间三个不共面的向量，向量a=e1+μe2+4e3，b=3e1+9e2+λe3，
若a与b共线，设a=kbk∈R，即e1+μe2+4e3=k3e1+9e2+λe3，可得1=3kμ=9k4=λk，解得k=13λ=12μ=3，故λ+μ=15.故选：D.
6．直线l过圆C:x+32+y2=4的圆心，并且与直线x+y+2=0垂直，则直线l的方程为（ ）
A．x+y−2=0B．x−y+2=0C．x+y−3=0D．x−y+3=0
【解题思路】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.
【解答过程】由(x+3)2+y2=4可知圆心为−3,0，又因为直线l与直线x+y+2=0垂直，所以直线l的斜率为k=1，由点斜式得直线l:y−0=x+3，化简得直线l的方程是x−y+3=0．故选：D．
7．已知等比数列an的公比为−12，前n项和为Sn.若S2m=31，Sm=32，则m=（ ）
A．3B．4C．5D．7
【解题思路】由等比数列前n项和列出S2m与Sm，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前n项和的性质得Sm，S2m−Sm，S3m−S2m成等比数列，且公比为qm，即可列式S2m−SmSm=qm，代入值即可解出答案.
【解答过程】法一：因为等比数列an的公比为−12，则S2m=a11−q2m1−q=31，Sm=a11−qm1−q=32，
所以S2mSm=a11−q2m1−qa11−qm1−q=1−q2m1−qm=1+qm=1+−12m=3132，解得m=5.
法二：根据等比数列前n项和的性质得Sm，S2m−Sm，S3m−S2m成等比数列，且公比为qm，
所以S2m−SmSm=qm，即31−3232=−12m，解得m=5..故选：C.
8．双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F122,0，点A的坐标为0,1，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1周长的最小值为8，则a为（ ）
A．2B．3C．2D．1
【解题思路】根据题意，利用双曲线的定义把△APF1的周长用△APF的周长来表示，可求△APF1的最小值，从而求a即可.
【解答过程】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点F，由双曲线的定义可得PF1=PF+2a，AF=AF1=(22)2+12=3，又AP+PF≥AF=3，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立.所以，△APF1的周长为，
AP+AF1+PF1=AF1+AP+PF+2a≥AF+3+2a=6+2a
当且仅当A，P，F三点共线时，△APF1的周长取得最小值，即6+2a=8，解得a=1．故选：D．
二．多选题
9．下列直线中，与圆x2+y2=4相切的有（ ）
A．x+y=2B．3x+y−4=0C．x+y=22D．x−3y+8=0
【解题思路】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.
【解答过程】圆x2+y2=4的圆心为0,0，半径r=2．
对于选项A，圆心到直线的距离d=−21+1=22，所以直线与圆相离．故选：BC.
10．已知空间向量a=2,−1,2，b=4,3,0，则下列说法正确的是（ ）
A．a=3B．2a−b=0,−5,2C．a⊥bD．csa,b=13
【解题思路】根据空间向量坐标运算法则计算可得.
【解答过程】因为a=2,−1,2，b=4,3,0，所以a=22+12+−22=3，故A正确；
2a−b=22,−1,2−4,3,0=0,−5,4，故B错误；
a⋅b=2×4+−1×3+2×0=5，所以a与b不垂直，故C错误；
又b=42+32=5，所以csa,b=a⋅ba⋅b=53×5=13，故D正确；故选：AD.
11．已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦点分别为F1,F2,长轴长为23,点P1,1在椭圆Γ外,点Q在椭圆Γ上,则（ ）
A．椭圆Γ的离心率的取值范围是22,1
B．当椭圆Γ的离心率为32时，QF1的取值范围是3−32,32+3
C．存在点Q使∠F2QF1=90∘
D．1QF1+1QF2的最小值为2
【解题思路】根据点P1,1在椭圆Γ外,求出b的取值范围,即可求出离心率的取值范围,从而判断A;根据离心率求出c,则QF1∈a−c,a+c,即可判断B;设上顶点A,得AF1⋅AF21,解得00，∴q=2，∴bn=1⋅2n−1=2n−1，
∵a3+a5=2a4=b4=8，∴a4=4，
∵a4+2a6−1=4+24+2d−1=S4=1−241−2=15
∴d=1，∴an=a4+n−4d=n，故an=n，bn=2n−1．
（2）由（1）得，Tn=1−20+2−21+3−22+⋅⋅⋅+n−2n−1
=1+2+3+⋅⋅⋅+n−20−21−22−⋅⋅⋅−2n−1=nn+12−1⋅1−2n1−2=n2+n2−2n+1
∴Tn=n2+n2−2n+1．
17．已知圆C的半径为2，圆心在射线y=x(x≥0)上，直线3x+4y+3=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求直线l：2x−y+1=0与圆C相交的弦长．
【解题思路】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C的标准方程.
（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.
【解答过程】（1）由题意可设：圆心为Ca,a,a≥0，
由圆C与3x+4y+3=0相切，有|7a+3|5=2，即可得a=1或a=−137（舍去），
所以圆C的标准方程为(x−1)2+y−12=4.
（2）由（1）可知：C (1,1)，r=2，则C到直线l:2x−y+1=0的距离为d=25=255，
所以直线l与圆C相交的弦长为2r2−d2=2×4−45=855.
18．四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=CD=1，AB=BC=2，PC=3，AB//CD．

(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A−PD−C的余弦值．
【解题思路】（1）由线面垂直的性质得到PA⊥BC、PA⊥AC，从而得到AB⊥BC，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【解答过程】（1）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，BC,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC、PA⊥AC，
又PA=1，AB=BC=2，PC=3，
所以AC=32−12=22，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
（2）如图建立空间直角坐标系，则A2,0,0，C0,2,0，D1,2,0，P2,0,1，
所以AP=0,0,1，DP=1,−2,1，DC=−1,0,0，
设平面APD的法向量为n=x,y,z，则AP⋅n=z=0DP⋅n=x−2y+z=0，令x=2，则n=2,1,0，
设平面PDC的法向量为m=a,b,c，则DC⋅m=−a=0DP⋅m=a−2b+c=0，令c=2，则m=0,1,2，
设二面角A−PD−C为θ，由图可得二面角为钝二面角，
所以csθ=−n⋅mn⋅m=−15×5=−15，所以二面角A−PD−C的余弦值为−15.
19.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1a>b>0，点F1−1,0、C−2,0分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交椭圆M于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A0,3，求△AOB的面积；
(3)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据题意可得c=1,b=3，进而可求a2和椭圆标准方程；
（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△AOB的面积可分割成两个小三角形，其底皆为OF1；
（3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标：xB=−2或−6，而由椭圆范围知这样的B点不存在．
【解答过程】（1）由左焦点F1(−1,0)、左顶点C(−2,0)可知：c=1,a=2，则b2=a2−c2=3，
所以椭圆M的标准方程为x24+y23=1.
（2）因为A(0,3)，F1−1,0，则过A,F1的直线l的方程为：x−1+y3=1，即3x−y+3=0，
解方程组3x−y+3=0x24+y23=1，解得x1=0y1=3或x2=−85y2=−335，
所以△AOB的面积S△AOB=12×OF1×y1−y2=12×1×3+335=435.
（3）若点B在以线段AC为直径的圆上，等价于AB⊥BC，即BF1⊥BC，
设B(x0,y0)(−2