北京市石景山区2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷（解析版）

这是一份北京市石景山区2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷（解析版），共11页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，
由直线可知斜率为：，
因为，则.
故选：D
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】双曲线中，，所以渐近线方程为，故选C.
3. 已知两条不同直线与两个不同平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】对于A：因为，所以存在直线，使得，
又，所以，所以，故A正确；
对于B：若，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
对于C：若，则或与相交或与异面，故C错误；
对于D：若，则或，故D错误.
故选：A
4. 过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
所以，解得或，
所以切线方程为或，
故选：C.
5. 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，，，
因为，所以点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆．
又点总在椭圆内部，
所以该圆内含于椭圆，即，所以，则．
，，
即椭圆离心率的取值范围是．
故选：C．
6. 如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D.
8. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
9. 正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】连接，相交于点，则为正方形的中心，
故⊥底面，
取的中点，连接，则，，
故为二面角的平面角，所以，
故，
所以该四棱锥的体积为.
故选：D.
10. 如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹为（ ）
A. 两个点B. 线段
C. 圆的一部分D. 抛物线的一部分
【答案】B
【解析】如图，先找到一个平面总是保持与垂直，
取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
易证DM⊥AF，⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF
又点P侧面BCC1B1及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．
故选：B.
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段中点坐标是________.
【答案】
【解析】因为，，所以由中点坐标公式得线段的中点坐标是，化简得中点坐标为.
12. 点到直线的距离是__________．
【答案】
【解析】点到直线的距离是.
13. 若直线与直线平行，则的值为________.
【答案】
【解析】因为直线与直线平行，
所以，解得，经检验符合题意.
14. 已知拋物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则________.
【答案】
【解析】拋物线的准线为，因为点在上且到直线的距离为5，所以，解得，
所以.
15. 如图所示，在四面体中，，截面是矩形，给出下列四个结论：
①平面平面；
②平面；
③平面平面；
④平面．
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①②③
【解析】因为四边形是矩形，所以，，
因为面，面，
所以面，而面，面面，
故，同理，而，得到，
因为，，面，
所以面，因为面，
所以面面，同理可得面面，故①，③正确，
因为，面，面，
所以平面，故②正确，
不能得到或，故不能得到平面，故④错误.
综上，其中所有正确结论的序号是①②③.
三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，是坐标原点，，，求的外接圆方程.
解：设的外接圆的方程为（），
则，解得，
∴的外接圆方程为．
17. 如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
证明：（1）如图：取的中点，连结，由于分别为的中点．
所以，而，所以有，
又因为，
所以四边形是平行四边形，
故，又因为平面，平面，
所以平面；
（2）底面为等边三角形，分别为的中点．可得，
又因为底面， 底面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
18. 拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点．
（1）当时，求；
（2）若的面积为，求的值．
解：（1）拋物线的焦点，
则直线的方程为．
设，
由，得，
则，所以，
所以，
当时，．
（2）因为，
点到直线的距离，
所以，
化简得，
解得，即．
19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，四边形为梯形．，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）判断线段上是否存在点，使得直线平面．（结论不要求证明）
（1）证明：因为，所以，
又四边形为正方形，所以，
又，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥；
（2）解：因为、，
又，故，，两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，解得，令，则，则，
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则；
（3）解：线段BD上存在点M，使得直线平面，
设，即，
当时，与重合，此时与平面不平行，
当时，设，则，
解得，故，
设平面的法向量为n=a,b,c，
则，令，则，故，
则，解得，
故线段BD上存在点M，使得直线平面，此时.
20. 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）判断三点，，是否共线：并证明你的结论．
解：（1）由题知：，所以椭圆：.
（2）由题知：，存在，且不为零，设，，，
则，即.
.
所以直线与的斜率之积为定值.
（3），，三点共线，证明如下：
设直线：，则直线：，
将代入直线，得：，，
，设直线：，
联立，
设，则，解得，
所以，即，
所以，，
所以， 为公共点，所以，，三点共线.