北京市东城区2024-2025学年高二上学期期末统一检测数学试题（解析版）

这是一份北京市东城区2024-2025学年高二上学期期末统一检测数学试题（解析版），共14页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若直线l过，两点，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，直线的斜率，
∴直线l的倾斜角为.
故选：A.
2. 已知向量，，若，则实数k的值为（ ）
A. 6B. 2C. D.
【答案】D
【解析】因，，所以，所以，.
故选：D.
3. 已知直线，，若，则实数a的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，解得.
故选：C.
4. 已知抛物线的准线方程为，则p的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】由题意得，抛物线的准线方程为，
∴，解得.
故选：B.
5. 在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况：
设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（ ）
A. B. 且
C. 且D. 且
【答案】A
【解析】由题意得，，
，
∴.
故选：A.
6. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（ ）
A. 5B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由条件可知，平面，平面，
所以，，
设点到平面的距离为，由，
所以，
解得：.
故选：D.
7. 做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记7根横梁的长度从上到下成等差数列，
由题意得，，，
∴，，故，，
∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是.
故选：B.
8. 设坐标原点为O，抛物线的焦点为F，M为线段的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若的周长为8，则p的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】抛物线的方程为，，，
M为线段的中点，，
过点且垂直于轴的直线为，点的横坐标为，
点在抛物线上，根据抛物线的定义，，
由题意可知，，
的周长为8，，即，
.
故选：B.
9. 已知点，，直线，记点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意得，.
由得，，
令，则，
满足，但，故充分性不成立；
令，满足，
但，，，
故必要性不成立.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
10. 在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则这样的圆C的面积（ ）
A. 有最大值，有最小值B. 有最大值，无最小值
C. 无最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值
【答案】C
【解析】如图，圆C与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于两点（点在点的上方），
设，则线段中点坐标为，线段中点坐标为，
∵，∴，
由得，，
整理得，即，
由得，，
∴圆的半径，即圆的半径无最大值，有最小值1，
∴圆C的面积无最大值，有最小值.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.
11. 等比数列满足：，，则数列的前5项和是____________．
【答案】11
【解析】设等比数列的首项为，公比为，
所以，所以，，
所以.
12. 双曲线的离心率为____________，渐近线方程为____________．
【答案】
【解析】由题可得双曲线的焦点在x轴上，且，
所以双曲线的离心率为，渐近线方程为.
13. 已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵，，，∴，
∴，
∴可以构成空间的单位正交基底，
设，则，
∵从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，
∴与中的任意两个向量均不共面，
根据平面向量基本定理可得均不为零，
∴向量的坐标可以为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为____________米；正四棱锥的侧面积为____________平方米．
【答案】
【解析】设平面和平面交于过点的直线，
因为，平面，平面，
所以平面，平面，且平面平面，
所以，
取的中点，
连结，，，即，，
因为平面平面，
所以，且，，
所以，
所以点到的距离为；
正四棱锥的侧面积为.
15. 关于曲线，，给出下列四个结论：
①对任意，曲线与直线没有公共点；
②对任意，曲线上的点的横坐标的取值范围为R；
③对任意，曲线为轴对称图形；
④当为奇数时，曲线与轴、轴所围成区域的面积为，则．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】①③④
【解析】对①：令，则，故曲线与直线没有公共点，故①正确；
对②：当时，有，则，故②错误；
对③：若为奇数，则对点，有，
故对任意点在曲线上，点也在曲线上，
此时曲线关于直线对称，
若为偶数，则对点，有，
故对任意点在曲线上，点也在曲线上，
此时曲线关于直线对称，故③正确；
对④：当为奇数时，令，则y=-1，令，则，
故曲线与轴、轴分别交于点1,0、，
故即为曲线在的部分与轴、轴所围成图形面积，
对曲线与上横坐标相同的点、，
当x∈0,1时，有，则，
有，则，
则，
即当x∈0,1时，，
即，
即在x∈0,1，曲线与曲线上横坐标相同的点，
曲线上的点的纵坐标的绝对值都小于曲线上的点的纵坐标的绝对值，
且两者的绝对值都小于，则，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据该频率分布直方图，求x的值；
（2）已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间内的户数；
（3）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费．
解：（1）由该频率分布直方图，
得．
（2）在样本中，网费落在区间内的频率为，
所以估计该小区中网费落在区间内的户数约为户．
（3）由（1）可知，这六个组频率分别为0.06，0.12，0.22，0.30，0.18，0.12．
因为同组中每个数据用该组区间的左端点值代替，
估计该样本的平均值约为．
所以估计该小区的户均网费为189元．
17. 已知圆与x轴相切．
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长．
解：（1）配方得，
由此可得圆心坐标为．
因为圆C与x轴相切，
所以圆心到x轴的距离为．
所以半径长为2．
（2）因为直线与圆C交于A，B两点，
所以圆心C到直线l距离为．
由（Ⅰ）可知，
所以．
18. 如图，在长方体中，，．
（1）求证：平面；
（2）若点P是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：由题意得，四边形为正方形，∴．
∵平面，平面，∴，
∵，平面，，
∴平面．
（2）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，．
∴，，．
由（1）得，是平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则即
令，得，，故．
设平面与平面的夹角为，
则．
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
19. 已知数列满足：，．
（1）若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和；
（2）若数列是等比数列，求的通项公式．
解：（1）因为数列是等差数列，
所以．所以．
所以，即，解得．
所以数列的通项公式，
即，
所以数列的前n项和，
即．
（2）因为数列是等比数列，所以．
由，得，即，解得．
所以．
数列的通项公式为．
20. 已知椭圆的离心率为，并且经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点M是线段的中点，直线过点M，且与直线l垂直．记直线与y轴的交点为N．请问：是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意椭圆的离心率为，并且经过点,
可知，，所以．
所以．
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，．
联立，整理得，
，．
从而，．
．，
因为M是线段的中点，所以，
则，故．
直线的方程为，即．
令，得，则，
所以．
欲使，只需，，
解得，满足要求．所以，
故存在满足要求的直线l，其方程为，
即或．
21. 设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质．
（1）当时，若，，求，的值；
（2）已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”；
（3）给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值．
解：（1）因为，，
由定义可知：，
．
（2）①若集合具有性质，
任取中不同元素，，令，，
有
．
由的定义可知，对任意正整数n，都有，
所以有，．
②若对中任意两个不同的元素，，
都有，，
那么
．
综上，结论成立．
（3）设具有性质的集合的元素个数最大值为，
下证：，，其中n为偶数．
当时，则，
由于，，，
则，，中至多有一个属于，
当时，元素个数取到最大值为2．即．
一方面，若集合，分别具有性质，，
令集合，其中，
对中任意两个不同的元素，，
都有，
由于，因此．
另一方面，设具有性质的集合元素个数取到最大值为，
设和为的两个不同元素，
则有
．
因此，，
由于，因此．
综上，，n为偶数．
所以．43
44
45
45
46
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49
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