北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版），共20页。
1. 复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以的虚部为.
故选：D.
2. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，，所以双曲线的离心率为.
故选：A.
3. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，有，
解得或3．
故选：C.
4. 已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，即；
再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为.
故选：B.
5. 已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
因为到直线的距离为，
所以到准线的距离为，
所以，
故选：A.
6. 已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据为等腰直角三角形，故,
故，，故选：B.
7. 如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 二面角的大小为
D. 直线与平面所成角的大小不变
【答案】D
【解析】对于选项A：因为平面平面，平面，
所以平面，故选项A正确；
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，
，，，
对于选项B：，，
因，
所以，即，故选项B正确；
因为，在棱CD上，所以二面角即二面角，
因为，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
在正方形中，，
所以二面角的大小为，故选项C正确，
直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
所以直线与平面所成角的的正弦值为，
随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误.
故选：D.
8. “”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，
解得；
当时，方程表示焦点在轴上双曲线，
因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件.
故选：C.
9. 已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为圆的方程为，整理得：，
所以，圆心为，半径．
又因为直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，
所以，圆心到直线距离小于或等于，
，化简得，解得，
所以的最大值是．
故选：A．
10. 如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在平面中，以的中点为原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系，因为，，所以，
因为，，，
所以B-2,0，，，，，，
因为的周长为，，
所以，所以点的轨迹为以为焦点的，长轴长为的椭圆，
设点的轨迹方程为，则，，
所以点的轨迹方程为，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
设点的坐标为，，
则点到直线的距离为，
其中，
所以点到直线的距离最小值为，
此时，
又，
所以面积的最小值是.
故选：D.
第二部分 （非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 以为直径的两个端点的圆的标准方程是______．
【答案】
【解析】因为，
所以线段AB的中点坐标为，
即，，
所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是.
12. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】抛物线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，，
由已知，所以，
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
13. 已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是______．
【答案】或（两者填其一即可）
【解析】易知双曲线的渐近线方程为，
由直线与双曲线的一条渐近线垂直，所以可得，
解得.
故答案为：或（两者填其一即可）
14. “中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为______，的值为______．
【答案】 10
【解析】由已知，，，
所以点的纵坐标为，代入抛物线方程，
可得，所以点的横坐标为，
所以的坐标为，
又抛物线的准线方程为x=-1，
且，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
则，，
由抛物线定义可得，，
所以的值为，
所以的值为10.
15. 已知曲线，点，下面有四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线与轴围成的封闭图形的面积大于；
③曲线上任意点满足；
④曲线与曲线的交点个数可以是个、个、个、个．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】①：在上时，也在上，曲线关于轴对称，故①对；
②：当，此时曲线是焦点为，
长轴长为的椭圆的左半部分及点，
当时，曲线的方程可化为，
对应的曲线为以为焦点的，实轴长为的双曲线位于轴右侧的部分，
所以封闭图形面积大于的面积，面积为，故②对；
③：当时，曲线的方程可化为，

当x=0时，，
当x>0 时，，
，
当时，，
综上，可知曲线上任意点满足，故③错误.
④：方程可化为，
代入可得，
当时，，
当时，该方程无解，当时，，
当或时，，
当或时，，
当时， ，
所以当或时，方程有一个正根，
当或时，方程没有正根，
所以当或时，曲线与曲线有两个交点，
当或时，曲线与曲线没有交点，
当时，可化为，
化简得，
当时，方程的根为（舍去）
当时，方程的根为，
当时，方程没有解，
当时，方程的根为（舍去）或，
当时，方程的根为或，
当时，方程的两个根为（舍去），（舍去），
当时，方程两个根为（舍去），（舍去），
当时，
方程的两个根为，，
所以当或时，
曲线与曲线没有交点，
当时，
曲线与曲线有四个交点，
当或时，
曲线与曲线有两个交点，
当时，
曲线与曲线有三个交点，
综上：当或时，曲线与曲线有两个交点，
当或时，
曲线与曲线有四个交点，
当时，曲线与曲线有三个交点，
当时，曲线与曲线没有交点，
故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数.
（1）若，当时，求的最大值和最小值及相应的；
（2）若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间.
解：（1）
，
当时，，
由，可得，
当时，取最大值，此时，
当时，取最小值，此时.
（2）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，且，
所以，
由，得，
的单调递增区间为.
17. 在中，为钝角，，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
解：（1）由题意得，
因为为钝角，得，则，
由正弦定理得，
解得，
因为为钝角，则.
（2）当时，由余弦定理，
得，即，解得，
则.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，为线段上的中点．
（1）求证：平面；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使得平面，并求直线与平面所成角的正弦值和二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：；
条件③：平面平面．
（1）证明：设交于点，连结.
因为底面为正方形，所以是中点，为线段上的中点
所以是的中位线， 所以，又平面，平面，
所以直线平面．
（2）选择①，若平面，平面，则，
故，这与矛盾，故错误.
选择②，，又因为底面为正方形，，
可得，所以，所以平面，
以为原点，，，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，，，
，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
由，得n=1,-1,1；
设直线与平面所成角为．
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设二面角的为，为钝角，
平面的法向量为，
，
二面角的余弦值为．
选择③，平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
以为原点，，，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，，，
，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
由，得n=1,-1,1；
设直线与平面所成角为．
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设二面角的为，为钝角，
平面的法向量为，
，
二面角的余弦值为．
19. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且椭圆两个焦点之间的距离为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）如果过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，两点，求的面积；
（3）如果过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，求直线的斜率．
解：（1）由题意椭圆的焦点在轴上，标准方程设为
所以解得，
所以椭圆C的方程为，
椭圆离线率．
（2）过点且斜率为的直线方程为，
联立得．
则，．
，
的高，.
（3）当直线过点且斜率存在时，
设方程为，
联立得．
则，．
因为过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，
设，知成立，
，
解得，经检验可知
当斜率不存在时，不成立.
20. 已知椭圆离心率为，右焦点为，点，且，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线斜率的取值范围；
（3）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.
解：（1）设椭圆的半焦距为，
由题意得，解得，，
所以椭圆C的方程为．
（2）由（1），F1,0，
当直线l的斜率不存在时，有，，
直线的方程为，
令可得，即点的坐标为，
直线的方程为，
令可得，即点的坐标为，
此时，．
当直线l的斜率存在时，设，其中．
联立y=kx-1x24+y23=1，得．
方程的判别式，
设，
则，．
直线的方程为，
令，得，即，同理可得．
所以
将代入整理得
因为，所以，
解得；
（3）观察图象可判断，点在以为直径的圆的内部.
证明：当直线l的斜率不存在时，有，，
直线的方程为，
令可得，即点的坐标为，
直线的方程为，
令可得，即点的坐标为，
则，，
故，即．

当直线的斜率存在时，
由（2）可知，．
所以，．
因为
，
所以，

综上，点在以为直径的圆的内部.
21. 设正整数，若由实数组成集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合.
（1）判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明）
（2）若集合为集合，求出所有集合，并说明理由；
（3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数．
解：（1）对于，
由于当时，此时；当时，此时；
当时，此时.
所以集合是集合，
对于，
由于当时，此时；
故不是集合，
综上可知集合是集合，不是集合，
（2）当时，，
当时，，
当时，，
不妨设，由集合互异性可知：
则且互为相反数，
若，可得，不符合题意，
则，可得，
当时，，不符合题意，
当时，解得，或，，不符合题意，
当时，解得，或，，不符合题意，
当时，解得，或，，符合题意，
所以集合或，
（3）假设中元素全为正实数，不妨设，
当时，，
当时，，
当时，，
由于，
，
所以，
①当中元素至少个大于时，此时，，
②所以中元素至多个大于，此时，
，，
所以，
可得，可得，
即不成立，
③所以中元素小于等于，即，
，
此时，
包含以下几种情况：
第一种：，
可得，可得，
即不成立，
第二种：当时，
可得，可得，
即不成立，
第三种：当或时，
可得，可得，
即，即不成立，
由①②③都错，可知假设集合中全为正实数为错误命题，所以集合中不全为正实数.