北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版），共15页。
1. 已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则.
故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由直线，可得斜率为，
设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.
故选：C.
3. 与直线关于x轴对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设对称直线上的点为，
则其关于轴的对称点在直线上，
所以，即.
故选：B.
4. 已知圆与圆外切，则（ ）
A. B. C. 7D. 13
【答案】C
【解析】由，可得圆的圆心，半径为，
由，可得，
所以圆心为，半径为，
因为两圆外切，所，所以，
则，解得．
故选：C.
5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
6. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】连接，圆的圆心坐标为，半径为4．
因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，
所以，所以点的轨迹方程为．
故选：A．
7. 在空间直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】，
，
又因为D在平面内，所以，即，
所以，当且仅当时取等号.
所以.
故选：C.
8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则，
所以，，
所以，且，
则，所以A正确．
故选：A．
9. 在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，第个劣弧的半径为，圆心角为，
第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），
同理第二次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点，
以此类推，每一轮以次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点，
上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，所以曲线H长度的最小值为.
故选：C.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为底面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点Q，使得BQ平面
B. 在棱上存在点Q，使得平面
C. 在线段上存在点，使得直线与所成的角为
D. 存在点，使得三棱锥的体积为2
【答案】D
【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
若平面，所以，则，解得，
此时点不在底面内，故不存在点Q，使得BQ平面，故A错误；
假设在棱上存在点，使得平面，
则，所以，又，所以，解得，
此时点不在棱上，所以在棱上不存在点Q，使得平面，故B错误；
假设在线段上存在点，使得直线与所成的角为，
又，所以，
又，
所以，
所以，
整理得，，无解，
所以在线段上不存在点，使得直线与所成的角为，故C错误；
，
所以点到平面的距离为，
所以，又，
由余弦定理可得，所以，
所以，
所以，
所以存在点，使得三棱锥的体积为2，故D正确.
故选：D.
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______.
【答案】
【解析】根据题意，若，则，又，，
所以，解得，所以.
12. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______.
【答案】
【解析】由圆：，可得圆心，半径，
于是圆心到直线的距离，
从而得，所以弦的长为.
13. 在棱长为2的正四面体中，M，N分别是的中点，则______.
【答案】
【解析】因为四面体是棱长为2的正四面体，所以，
，
所以，
两边平方可得
，
所以.
14. 已知点，直线，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为_______；若直线及分别与曲线C交于异于原点的M，N两点. 当直线MN过点F时，______.
【答案】
【解析】因为动圆P过点F，且与直线l相切，所以点P到点F的距离等于点P到直线l的距离，
所以点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以圆心P的轨迹C的方程为；
因为直线与关于轴对称，抛物线关于轴对称，
所以M，N两点关于轴对称，又直线MN过点F，所以M，N两点的纵坐标为1，
所以，解得，所以M，N两点的坐标为或，
将与代入直线方程，可得，解得，
故答案为：；.
15. 已知方程所表示的曲线为C.给出以下四个结论：
①曲线C与y轴有两个不同交点；
②曲线C关于原点对称；
③x轴及直线为曲线C的两条渐近线；
④若曲线C与圆有公共点，则r的最小值为.
其中，所有正确结论的序号是________.
【答案】①②③
【解析】对于①，令，得，即，所以曲线C与y轴有两个不同交点，故①正确；
对于②，在曲线方程中，用代替，代替，得，即，
所以曲线关于原点对称，故②正确；
对于③，因为方程，所以，所以，
当时，，故为曲线C的一条渐近线；
又时，没有意义，故是曲线C的另一条渐近线，即x轴为曲线C的另一条渐近线，
故x轴及直线为曲线C的两条渐近线，故③正确；
对于④，联立及，消去x并整理得，
因为，当且仅当，即时等号成立，
若曲线C与圆有公共点，则，所以，
所以r的最小值为，故④错误．综上，正确结论的序号是①②③．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知数列是等差数列，，且.
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和的最小值，以及取得最小值时n的值.
解：（1）设等差数列的公差为，则，
因为，，
所以，
所以，解得，
所以.
（2）因为是等差数列，所以，
由（1）可知，，
所以当时，有最小值.
17. 已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程.
解：（1）因为圆心C是直线与轴的交点，
所以圆心C的坐标为，
又因为圆C经过，所以圆C的半径为，
所以圆C的方程为.
（2）因为四边形CAMB为菱形，
所以AB垂直平分CM，
因为，所以
又因为CM的中点坐标为
所以直线AB的方程为，即.
18. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为.
（1）求直线l斜率；
（2）若，求的值.
解：（1）设点A的坐标，
因为点A到抛物线准线的距离是，
所以，所以，代入抛物线方程得：
所以点，又因为点，
所以直线l的斜率.
（2）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为：
由得：，
可知恒成立，
设点B的坐标，则，
，所以.
19. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，平面，.

（1）证明：；
（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：点B到平面PAC的距离为1；
条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°.
（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，，平面PAB，
所以平面，
因为PB⊂平面，所以，
因为平面，平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，
所以，
所以.
（2）解：由（1）可知，PA，AB，AD两两垂直，以A为原点， AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示坐标系.

若选条件①：
方法1：过点B作BMAC，交AC于点M，
因为PA底面ABCD，BM⊂平面ABC，
所以PA BM，
因为AC∩PA=A，
所以BM平面PAC，
又点B到平面PAC的距离为1，所以BM=1，
在Rt△ABC中，AC=2，所以.
因此，，，
又，，
所以，.
设是平面PBC的法向量，则，，
即，取，则，，
所以是平面PBC的一个法向量.
因为BM平面PAC，所以是平面PAC的一个法向量.
设平面ACP与平面BCP的夹角为，
则，
所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为.
方法2：，，设，则
可求得平面PAC的法向量为，
则，得.以下同方法1
若选条件②：
方法1：由（1）知BC平面PAB，
因为直线PC与平面PAB所成角的大小为30°，
所以即为PC与平面PAB所成角，即=30°.
在Rt△PAC中，AC=PA=2，所以，
在Rt△PBC中，，=30°，所以，
方法2：由条件①方法2得到，
是平面的PAB的一个法向量，
所以，得.以下同条件①.
综上，可得平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 已知椭圆过点，长轴长为4.
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点.
解：（1）因为椭圆E过点，所以，
又因为长轴长为4，所以，所以，
所以.
椭圆E的方程为：，离心率.
（2）由得：，
由得：或，
设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标，
，

由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：，
令得：
，
所以直线AD过定点.
21. 已知无穷数列各项均为正数，且.
（1）请判断如下两个结论是否正确：
①；②；
（2）当时，证明：；
（3）记数列的前项和为，若，证明：.
解：（1）由于，则，
两式相加得，即，
所以；
由于，
所以，
则，
所以，
所以①，②均正确；
（2）因为，均有，
所以当时，有，
所以，
所以，
当时，有，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
整理得.
（3）由（2）得，当时，有，
所以，均有，
即，
所以
所以，
即，
又因为，所以.