北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷 含解析

这是一份北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷 含解析，共15页。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集定义即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
2. 已知命题p：“”，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题．
命题p：“”，的否定为：．
故选：C．
3. 已知等差数列，则等于（ ）
A. B. 0C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，
解得：，.
故选：B.
4. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.
【详解】因为事件A，B相互独立，所以，
所以，
故选：B.
5. 在数列中，，（），则的值为（ ）
A. -2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】数列 中，由 ， ，计算 ， ， ，...，可得，利用周期性计算得出.
【详解】数列 中，由 ， ，得 ，
同理可得 ， ，...，
所以 ，则 .
故选：D.
6. 函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件得到在点处的切线斜率为，进而通过及的值得到答案.
【详解】由知，故.
由于的斜率为，故在点处的切线斜率为.
所以，故，得.
故选：A.
7. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数判断出的单调性可得答案.
【详解】，
当x∈R时，，所以是单调递增函数，
因为，所以.
故选：D
8. 已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】在已知条件下，，都与等价，由此即可得解.
【详解】，
而，所以，充分性成立；
反过来若，若，则一定有，
所以，，故，必要性成立；
也就是说，已知数列是等比数列，则“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
9. 若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】即函数图象与直线有且仅有两个交点，通过导数画出函数图象，即可得答案.
【详解】，则函数有且仅有两个零点等价于函数图象与直线有且仅有两个交点.
又，则当时，，得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.
又时，，据此可得大致图象如下：
则.
故选：C

10. 数列的通项公式为（），前n项和为，给出下列三个结论：
①存在正整数，使得；
②存在正整数，使得；
③记，则数列有最大项和最小项.
其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，可判定②正确；由当时，最小项，当最大，可判定③正确.
【详解】由题意，数列an的通项公式为，
令，即，解得或（舍去），即，
所以，即存在正整数，使得，所以①正确；
由，存在正整数，使得，所以②正确；
由数列an的通项公式为，
可得，且当时，，
所以，所以当时，数列有最小项，
当时，数列有最大项，所以③正确.
故选：A.
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域求解方法即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为： .
12. 已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性和导数之间关系，即可解不等式.
【详解】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
因为，，当时，，
即不等式的解集为；
故答案为：
13. 已知数列是等比数列，且，，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果.
【详解】由等比数列，知.
所以.
故答案为：.
14. 已知函数的导函数为，则__________，过点且与曲线相切的直线方程为_______________.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】求出函数的导数，即可求解，设切点，求斜率，写切线方程，即可求解直线方程.
【详解】的导数为，
，解得，故，即；
设过点且与曲线相切，切点为，且，
故切线斜率为，即切线方程为，
切线方程过点，代入方程可得，解得或，
当时，直线方程为；
当时，直线方程为.
故答案为：4，.
15. 已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：
①可能是负数；
②；
③为定值；
④若存在，使得，则.
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】对于①，分是否大于0进行讨论；对于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于的不等式有解，进一步等价于关于的不等式有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算.
【详解】对于①，，因为函数有两个极值点，
所以有两个相异实根，这意味着，
否则时，f′x≥0，即单调递增，这与已知矛盾，
若，则当时，f′x>0，当时，，当时，f′x>0，
即在的条件下，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以有两个极值点，故①错误；
对于②，是方程的两根，从而，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，若存在，使得，
即关于的不等式有解，
而没有最大值，
故原命题等价于关于的不等式有解，
令,
而函数的最小值为1，
所以当且仅当，即满足题意，
即若存在，使得，则，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点点睛：判断④的关键是将原问题等价转换为关于的不等式有解，由此即可顺利得解.
三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若对都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值；极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解；
（2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解.
【小问1详解】
由，得.
令得或.
当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示：
所以当时取极大值；当时取极小值.
【小问2详解】
由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，
则在上的最小值为.
对都有恒成立，所以.
17. 已知等差数列的前n项和为， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：数列的前n项和．
条件①，条件②，条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）选①②或②③时，利用等差数列的通项公式与求和公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；选①③时，利用等差数列的通项公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；
（2），利用裂项相消法即可证明.
【小问1详解】
（1）由于是等差数列，设公差为，
当选①②时：，解得，
所以的通项公式，．
选①③时，解得，
所以的通项公式，．
选②③时，解得，
所以的通项公式，．
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以，
因为，所以.
18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

（1）求的值；
（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）依题频率和为1可得答案；
（2）求出的取值及相应的概率可得答案；
（3）根据独立重复概率公式可得答案.
【小问1详解】
依题意可得，解得；
【小问2详解】
由（1）可得高度在和的频率分别为和，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
所以可取0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
所以；
【小问3详解】
从所有花卉中随机抽取3株，
记至少有2株高度在为事件，
则.
19. 已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）构造，求导可得，分析的符号可得的单调性，从而可证明；
（2）当时，由（1）知，满足题意. 令，求导，分与讨论即可求解.
【小问1详解】
令，
.
由得，于是，故函数是上的增函数.
所以当时，，即；
小问2详解】
当时，由（1）知，满足题意.
令，则.
当时，若，，
则在上是减函数.
所以时，，不合题意.
当时，，则在上是减函数，
所以，不合题意.
综上所述，实数a的取值范围.
20. 若数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”.
（1）已知数列是首项为1公比为3 的等比数列，判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值.
【答案】（1）数列an是“速增数列”，理由见解析
（2）63
【解析】
【分析】（1）根据“速增数列”的定义判断即可；
（2）根据数列bn为“速增数列”，得可得的答案
【小问1详解】
数列an是“速增数列”，理由如下：
由，则，
，
因为，故，
所以数列an是“速增数列”；
【小问2详解】
数列bn为“速增数列”，，，，
任意项，
时，
，
即，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为63.
【点睛】关键点点睛：根据“速增数列”的定义，紧紧围绕不等式进行，当时，利用累加法的思想确定是解题的关键．
＋
0
－
0
＋
↗
极大
↘
极小
↗
0
1
2