山东省枣庄市第八中学2024—2025学年（下）高二年级摸底考试数学试题（含详细答案解析）

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2024—2025学年（下）高二年级摸底考试®
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知为等差数列，为其前项和．若，公差，，则的值为（ ）
A．4B．C．6D．5
3．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种．
A．B．C．D．
4．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．8B．12C．15D．－20
5．为践行“保护环境，绿色出行”的环保理念，李先生每天从骑自行车、坐公交车两种方式中随机选择一种去上班．已知他选择骑自行车的概率为0.6，且骑自行车准时到达单位的概率为0.95．若李先生准时到达单位的概率为0.93，则他坐公交车准时到达单位的概率为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
6．已知数列{an}是等比数列，且公比q不为1，Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论中一定正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设随机变量，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65
B．该校学生中低于65kg的学生大约为1200人
C．样本的第80百分位数为72.5
D．样本的平均值为66.75
10．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．与的面积之比为
11．已知数列满足，（），记的前n项和为，则（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ．
13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个101，111，121，…，191，202，…，999.则5位回文数有
个．
14．已知函数有3个极值点，，（），则的取值范围是 ；若存在，使得，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知数列的前项和为，数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
16．（15分）
新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克.
(1)求的值；
(2)求；
(3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望.
17．（15分）
已知函数．
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
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（17分）
如图，已知平行六面体的底面是菱形且.
(1)求证：；
(2)假设，求二面角的平面角的余弦值；
(3)当的值为多少时，平面？
（17分）
已知圆锥曲线，左右顶点分别为，过点的直线交曲线于两点（在的左侧）．
(1)当离心率时，求的值．
(2)当时，是否存在直线使得，若存在，求出直线方程，若不存在说明理由．
(3)连接，直线交曲线于另一点，恒成立，求的取值范围