2024-2025学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(1−x)8的展开式的第4项的系数是( )
A. C83B. −C83C. C84D. −C84
2.下列命题中正确的是( )
A. 若y=csπ5，则y′=15sinπ5B. 若y=cs(2x)，则y′=2sin(2x)
C. 若y=ln(3x)，则y′=13xD. 若y=e2x，则y′=2e2x
3.《哪吒之魔童闹海》《唐探1990》《熊出没⋅重启未来》三部贺岁片引爆了2025年春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小王和他的5位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有( )
A. 63种B. C63种C. 36种D. A63种
4.已知随机事件A，B，P(A)=12，P(B)=13，P(A|B)=23，则P(B|A)=( )
A. 29B. 79C. 59D. 49
5.函数f(x)=x3−x2−x+1，x∈[−1,2]的最小值为( )
A. 3227B. 0C. −3D. 3
6.函数f(x)=13ax3+12x2−x在[1,3]上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A. (−14,+∞)B. (2,+∞)C. (0,+∞)D. (−29,+∞)
7.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是(a+b)n的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论不正确的是( )
A. C32+C42+⋯+C82=83
B. 第2025行所有数字之和为22025
C. 第12行从左到右第3个数与第4个数之比为310
D. 第2025行从左到右第1014个数比该行其他数都大
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，且当x>0时，2f(x)+xf′(x)2 e3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x2−x−y)5的展开式中，x5y2项的系数为______．
13.已知f(x)=2f(2−x)+x2−lnx，则f(x)在点x=1处的导数为______．
14.已知直线y=kx+b是曲线y=ex−1与y=ex+2024−2025的公切线，则k= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x4−1 x)n(n∈N∗)的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于46．
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项．
16.(本小题15分)
同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，甲、乙、丙的正品率分别为0.95、0.90、0.96，甲、乙、丙生产该产品所占比例分别为2：3：5，将三家产品混放在一起．
(1)任取一件产品，计算它是次品的概率；
(2)现取到一件产品为次品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=13x3+2ax2+b−1(a,b∈R)在x=2处有极值．
(1)求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间[−2,3]上有三个零点，求b的取值范围．
18.(本小题17分)
已知f(x)=2alnx+12x2−(a+2)x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若任意的x1，x2∈(0,+∞)(x1≠x2)，f(x2)−f(x1)x2−x1>3−a，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax−1在点(1,f(1))处的切线经过点(2,2e−5)．
(1)求a的值；
(2)若f(x)有两个零点x1，x2(x10有解，
即∃x∈[1,3]，使得a>1−xx2成立，即当x∈[1,3]时，a>(1−xx2)min，
令g(x)=1−xx2(1≤x≤3)，则g′(x)=−x2−2x(1−x)x4=x−2x3，
令g′(x)=0，得x=2，
当x∈[1,2)时，g′(x)0，
∴当x=2时，g(x)取得极小值，也是最小值，即当x∈[1,3]时，g(x)≥g(2)=−14，
∴a>−14．
故选：A．
依题意，得∃x∈[1,3]，使得f′(x)=ax2+x−1>0有解，分离参数a，构造函数g(x)=1−xx2(1≤x≤3)，求导分析，可求得其最小值，即可得到答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想及构造法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，C32+C42+...+C82=C33+C32+C42+...+C82−1=C43+C42+...+C82−1=C93−1=83，
即A正确；
对于B，第2025行所有数字之和为C20250+C20251+...+C20252025=22025，
即B正确；
对于C，第12行从左到右第3个数与第4个数之比为C122C123=12×112×112×11×103×2×1=310，
即C正确；
对于D，第2025行共2026个数，
由组合数的性质可得：从左到右第1013个数与第1014个数相等且比该行其他数都大，
即D错误．
故选：D．
由组合数的性质，结合二项式定理的应用求解即可．
本题考查了组合数的性质，重点考查了二项式定理的应用，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：令g(x)=x2f(x)，
∵当x>0时，2f(x)+xf′(x)0时，g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x)) e2，所以C项不正确；
根据基本不等式，可得ex1+ex2≥2 ex1+x2=2 e3，
结合x1、x2不相等，可知以上不等式的等号不成立，故ex1+ex2>2 e3，所以D项正确．
故选：ABD．
根据指数函数与对数的单调性，可知x1是f(x)的唯一零点，且x2是g(x)的唯一零点，结合指数与对数的运算法则证出x2=ex1，进而可得x1+x2=3，即可判断出A项的正误；根据零点存在性定理，算出x1∈(34,1)，x2∈(2,3)，由此判断出BC两项的正误；最后运用基本不等式对D项作出判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查指数函数与对数函数的性质、函数的零点与方程的根、基本不等式的运用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】−30
【解析】解：由多项式(x2−x−y)5，即为(x2−x−y)(x2−x−y)(x2−x−y)(x2−x−y)(x2−x−y)，
要得到x5y2项，结合组合的运算，可得x5y2项为：
C52⋅(−y)2⋅C31⋅(−x)⋅C22⋅(x2)2=−30x5y2，
所以x5y2项的系数为−30．
故答案为：−30．
根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含x5y项，即可求解．
本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．
13.【答案】13
【解析】解：f(x)=2f(2−x)+x2−lnx，
则f′(x)=−2f′(2−x)+2x−1x，
故f′(1)=−2f′(1)+2−1，解得f′(1)=13．
故答案为：13．
根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：因为y=ex−1与y=ex+2024−2025的导数分别为y′=ex−1与y′=ex+2024，
设直线y=kx+b与曲线y=ex−1，y=ex+2024−2025分别切于点(m,em−1)，(n,en+2024−2025)，
所以k=em−1=en+2024=em−1−en+2024+2025m−n，
所以m=n+2025，所以k=en+2024=2025n+2025−n=1．
故答案为：1．
根据导数的几何意义，建立方程，即可求解．
本题考查函数的公切线问题的求解，属基础题．
15.【答案】512； 18．
【解析】(1)前三项的二项式系数和为Cn0+Cn1+Cn2=1+n+n(n−1)2=46，
解得n=9，
所以(2x4−1 x)9的展开式中所有二项式系数的和为29=512；
(2)(2x4−1 x)9的展开式的通项公式为：
Tr+1=c9r(2x4)9−r(−x−12)r=(−1)rc9r29−rx36−92r，r=0，1，…，9，
令36−92r=0，解得r=8，
故展开式中的常数项为(−1)8×C98×2=18．
(1)求出展开式的前三项的二项式系数和建立方程求出n的值，再根据二项式系数和公式即可求解；
(2)求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】0.06； 次品来自乙广的概率最大，理由见解答．
【解析】(1)设A表示“任取一件产品为次品”，
则B1、B2、B3分别表示“任取一件，产品为甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)=0.2，P(B3)=0.3，P(B3)=0.5，
P(A|B1)=0.05，P(A|B2)=0.1，P(A|B3)=0.04，
∴任取一件产品，它是次品的概率为：
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.2×0.05+0.3×0.1+0.5×0.04=0.06．
(2)P(B1|A)=P(AB1)P(A)=P(B1)P(A|B1)P(A)=0.2×，
P(B2|A)=P(AB2)P(A)=P(B2)P(A|B2)P(A)=0.3×，
P(B3|A)=P(AB3)P(A)=P(B3)P(A|B3)P(A)=0.5×，
∵12>13>16，∴次品来自乙广的概率最大．
(1)设A表示“任取一件产品为次品”，则B1B2B3分别表示“任取一件，产品为甲、乙、丙厂生产”，利用全概率公式能求出结果．
(2)利用贝叶斯公式能求出次品来自乙广的概率最大．
本题考查全概率公式、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】(1,73).
【解析】(1)f(x)的定义域为R，f′(x)=x2+4ax，
由条件知f′(2)=4+8a=0，得a=−12，
所以f′(x)=x(x−2)，
令f′(x)=0，得x=0或2，
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
所以f(x)的极大值为f(0)=b−1，极小值为f(2)=b−73．
(2)由(1)，f(x)在[−2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
又f(−2)=b−233